湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二上学期11月27日测试数学试题

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的一个方向向量是 A. B. C. D. 2.经过两点、的直线方程都可以表示为(     ) A. B. C. D. 3.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 4.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为则的标准方程为(     ) A. B. C. D. 5.已知点，，，则外接圆的方程是     A. B. C. D. 6.椭圆上的点到直线的最短距离为(      ) A. B. C. D. 7.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且若，则的取值范围为(     ) A. B. C. D. 8.已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为(      ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有(      ) A. 的周长为 B. 当时，在中 C. 当时，的面积为 D. 椭圆上有且仅有个点，使得 为直角三角形 10.已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则(      ) A. B. C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线的斜率为 11.过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，且，则下列说法正确的是(     ) A. 直线的斜率之积为定值 B. 直线交抛物线的准线于点，若，则直线的斜率为 C. 若，则抛物线的准线方程为 D. 直线交抛物线的准线于点，则直线轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为           ． 13.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点．若，，则的离心率为______． 14.设为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，且，则的面积最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知的三个顶点的坐标为、、． 求边的垂直平分线所在直线的截距式方程；求的平分线所在直线的一般式方程； 16.本小题分 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． 求双曲线的方程；已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求实数的值． 17.本小题分 已知点和点为椭圆上两点． 求椭圆的率心率若过点的直线交椭圆于另一点，且的面积为，求直线的方程． 18.本小题分 已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，为双曲线上任意一点，且的最小值是． 求双曲线的方程 记双曲线的左、右顶点分别为，，直线与的右支交于，两点． (ⅰ)求实数的取值范围(ⅱ)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 19．本小题分 类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面S和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知曲面的方程为. (1)写出坐标平面的方程（无需说明理由），并说明平面截曲面所得交线是什么曲线； (2)已知直线过曲面上一点，以为方向量，求证：直线在曲面上； (3)已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线（第二间中的直线）与所成角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的一个方向向量是 A. B. C. D. 【答案】A 解：依题意，直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 而，也是直线的一个方向向量，故选：． 2.经过两点、的直线方程都可以表示为(     ) A. B. C. D. 【答案】C 解：当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用表示， 由于直线可能与轴平行，所以、、中方程不能表示所有经过两点、的直线， 只有选项C满足包括与轴平行的直线．故选C． 3.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 【答案】B 解：将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得． 故选：． 4.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为则的标准方程为(     ) A. B. C. D. 【答案】A 解：由题意可得，解得，，因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为 ．故选：． 5.已知点，，，则外接圆的方程是     A. B. C. D. 【答案】B 解：由题，得是直角三角形，且，所以圆的半径为，圆心为，所以外接圆的方程为．故选：． 6.椭圆上的点到直线的最短距离为(      ) A. B. C. D. 【答案】A 【解答】解：设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去，整理得，所以，解得，当时，两平行直线的距离为，当时，两平行直线的距离为．所以最小值为．故选：． 7.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且若，则的取值范围为(     ) A. B. C. D. 【答案】B 解：由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义，可得，， 又，由余弦定理得，，可得，得，即，可得，即， 又时，可得，即，亦即，得． 8.已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为(      ) A. B. C. D. 【答案】B 解：依题意得，半径，设点坐标，易知直线恒过点，直线恒过，且，则，即，点轨迹为，圆心为，半径为，但是去掉点，若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接，由易知，则当在处取等号， 即的最大值为．故选：． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有(      ) A. 的周长为 B. 当时，在中 C. 当时，的面积为 D. 椭圆上有且仅有个点，使得 为直角三角形 【答案】AD 解：椭圆，所以．由椭圆的定义可得，的周长为，故A正确；当时，点的横坐标为，代入椭圆方程可得，解得，所以在 中，故错误；当时，设利用余弦定理得：．则又，所以， 所以的面积为，故错误；为直角三角形时，分三类， 当时，易知这样的点有个；当时，易知这样的点有个； 当时，在以为直径的圆上，其轨迹方程为，是以原点为圆心，半径为的圆，正好经过椭圆的短轴的端点，与椭圆恰好有两个交点，故此时的有两个．综上，满足条件的点有个，故正确．故选． 10.已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则(      ) A. B. C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线的斜率为 【答案】BC 解：由，设，，由，得， 则，，而，解得，因此，， 对于，， A错误；对于，显然，则， B正确；对于，令，在中，由，得，则，，即，因此双曲线的渐近线方程为， C正确；对于，由，结合对称性，图中位置可互换，则直线的斜率为， D错误． 故选：． 11.过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，且，则下列说法正确的是(     ) A. 直线的斜率之积为定值 B. 直线交抛物线的准线于点，若，则直线的斜率为 C. 若，则抛物线的准线方程为 D. 直线交抛物线的准线于点，则直线轴 【答案】ACD 解：对于选项A结合题意：连接，易知直线的斜率不为，故可设直线：， 且设两点的坐标分别为，联立可得， 所以，，所以 ，所以，故选项A正确； 对于选项B过点作垂直准线于，设准线与轴的交点为，易得， 因为，所以，，由抛物线的定义可知：， 所以，直线的斜率为 ，同理结合抛物线的对称性可知：直线斜率，故选项 B错误； 对于选项C过点作垂直轴于点，过点作垂直准线于点，因为，所以，所以点，结合抛物线的定义可知 ，解得，故抛物线的准线方程为，故选项C正确； 对于选项D设两点的坐标分别为，因为点在抛物线上， 所以，故点，所以，故直线的方程为，联立，解得所以点，所以点的纵坐标为，结合选项A可知， 所以，故点的纵坐标为，因为点的纵坐标与点的纵坐标相等，所以直线轴，故选项 D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为           ． 【答案】或 解：当截距为时，设直线的方程为，将代入得，，解得，故直线的方程为，当截距不为时，设直线的方程为，将代入得，，解得，故直线的方程为，故直线的方程为或． 故答案为：或． 13.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点．若，，则的离心率为______． 【答案】 解：如图， ，且，，又点是的中点，点是的中点，， ，则，则，所以一条渐近线的斜率为，所以，故答案为：． 14.设为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，且，则的面积最小值为          ． 【答案】 解：由已知，设直线的方程为，联立，消得，，则，由，得， 即 ，所以， 化简得，所以， 化简得，解得或，则 ，则或，所以或， ，所以当时，，所以的面积最小值为．故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知的三个顶点的坐标为、、． 求边的垂直平分线所在直线的截距式方程；求的平分线所在直线的一般式方程； 解：易知的中点为，，边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的一般式方程为：，截距式方程为+=1． ，，，，，即的平分线的一个方向向量为，故的平分线的斜率为， 所以的平分线所在直线的一般式方程：．  16.本小题分 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． 求双曲线的方程； 已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求实数的值． 解：根据题意，设双曲线的方程为，代入，得，解得， 所以双曲线的方程为． 由，消去得，恒成立， 设，，由根与系数的关系可得，所以， 所以线段的中点坐标为，即，因为点在圆上， 所以，解得．所以实数的值为．  17.本小题分 已知点和点为椭圆上两点． 求椭圆的率心率 若过点的直线交椭圆于另一点，且的面积为，求直线的方程． 解：由点，在椭圆：上，得，解得，， 则，故椭圆的离心率为； 由题得，设三角形底边上的高为，由，解得，又可求得直线的方程：，设过点与直线平行的直线， 由，解得或，当时，经检验此时与椭圆相离，故舍去；当时，直线与直线关于原点对称，可得与椭圆的交点即为点，关于原点的对称点，记作、，分别与可求得直线方程为或，因此，直线即直线的方程为或．  18.本小题分 已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，为双曲线上任意一点，且的最小值是． 求双曲线的方程 记双曲线的左、右顶点分别为，，直线与的右支交于，两点． (ⅰ)求实数的取值范围(ⅱ)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 解：由题意知，，设，故，则，当时，取到最小值，即，，又因为，则，，所以双曲线的方程为 设，，由，得：，由直线与双曲线的右支交于，两点，可得．解得，所以的取值范围是 由可得，， 因为，，所以，即是定值．  19．本小题分 类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面S和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知曲面的方程为. (1)写出坐标平面的方程（无需说明理由），并说明平面截曲面所得交线是什么曲线； (2)已知直线过曲面上一点，以为方向量，求证：直线在曲面上； (3)已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线（第二间中的直线）与所成角的余弦值. 【解析】（1）根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为， 已知曲面的方程为，当时,平面截曲面所得交线上的点满足， 从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为对称中心，焦点在轴上，实轴长为2，虚轴长为4的双曲线. （2）设是直线上任意一点，由，均为直线的方向向量，有，从而存在实数，使得，即，则，解得，，， 所以点的坐标为，于是， 因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上. （3）直线在曲面上，且过点,设是直线上任意一点，直线!的方向向量为，由，均为直线的方向向量，有，从而存在实数，使得，即，则，解得，，， 所以点的坐标为，在曲面C上，， 整理得，由题意，对任意的，有恒成立， ，且，或，不妨取，或， ，或，又直线的方向向量为 则异面直线与所成角的余弦值均为. 学科网（北京）股份有限公司 $$