湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二上学期11月测试数学试题

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数z满足，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知有8个样本数据分别为4，6，8，10，12，15，21，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为( ) A.7 B.8 C. 15 D.18 3.过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）. A.或 B. C. D. 4.直线：与圆：的公共点的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 5.已知圆：和圆：，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为( ) A.5 B.6 C. 7 D.8 6. 已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（ ） A． B． C． D． 7.已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 8.中，，，，点为的外心，若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是(    ) A. 事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件 B. 事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件 C. 事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件 D. 事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件 10.下列说法中正确的有(    ) A. 在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 B. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则是(-) C. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 D. 若圆：上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是 11.在棱长为的正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，则下列结论正确的有（   ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．过点，，作正方体的截面，则截面面积为 C．若为线段上一动点(包括端点)，则直线与平面所成角的正弦值的范围为 D．若为线段上一动点(包括端点)， 过点，，的平面分别交，于，，则的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是事件的对立事件，，，，则           ． 13. 直线的倾斜角的取值范围是__________. 14. 在平面直角坐标系中由点发出的一条光，经直线反射后，到达区域的边界. 则光线经过反射到达边界的最短总路程为____________. 四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点（2 , 0）的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被截得的弦长为，求直线l的方程． 16.(本小题15分)某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在中的市民有人． 心理测评评价标准 调查评分 心理等级 Ⅰ求的值及频率分布直方图中的值； Ⅱ在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为层，通过分层随机抽样抽取人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率； Ⅲ该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分 17.本小题15分在三棱柱中，已知，，点在底面的投影是线段的中点. (1)证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 18. 本小题17分在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)若，，求边上的角平分线长； (2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 19.本小题17分蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆的方程为，直线与圆M交于，，直线与圆交于，．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：． ②猜想和的大小关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题(参考答案) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数z满足，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 解：设 则，即 故，解得，，则， 则复数在复平面内对应的点为，点位于第一象限， 故选： 2.已知有8个样本数据分别为4，6，8，10，12，15，21，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为( ) A.7 B.8 C. 15 D.18 【答案】 D 解：由题意，数据的总体的第三四分位数即第75百分位数，又样本数据有8个， 由，所以第三四分位数为 8 . 故答案为： 3.过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）. A.或 B. C. D. 【答案】 B 解析：由题知：直线的斜率存在，则即， 则，所以 解得或，又，所以. 4.直线：与圆：的公共点的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【解析】由直线，可得直线过定点， 又由圆：，可得点在圆C上， 因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选：C. 5.已知圆：和圆：，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为( ) A.5 B.6 C. 7 D.8 【答案】 D 解：圆：和圆：两个方程相减， 即可得到两圆的公共弦：， 又点在两圆的公共弦上， 即，则 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为 故答案为 6. 已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设，则， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故选：C. 7.已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】 D 由题意可得直线恒过定点，恒过定点， 且两直线的斜率之积为，所以两直线相互垂直， 所以点在以线段为直径的圆上运动， ，设，则， 所以， 所以当时，即时，取得最大值，此时点的坐标为. 故选：D. 8.中，，，，点为的外心，若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】 A 解：中，，，， 则， ， 又， 同理可得：， 又， 代入式，，解得：则， 故选：． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是(    ) A. 事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件 B. 事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件 C. 事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件 D. 事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件 【答案】AC  解：显然，A选项正确，B选项错误，C选项正确． D选项中至少一人投1点的事件为 M ，则  ， 甲投1点且乙没投得2点的事件为 N ，则为  ，   ，  ，故D选项错误． 故选 10.下列说法中正确的有(    ) A. 在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 B. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于，则是(-) C. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 D. 若圆：上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 【答案】BCD  解：A选项中的直线不能表示截距为 0 的直线，故A选项错误． 选项B，若圆上恰有个点到直线的距离等于， 则圆心到直线的距离1<d<3,即1<<3，解得<b<-或，故B正确 选项C，因为点为直线上一动点，所以设， 显然点不能在圆上，即或， 因为、是圆的两条切线，切点分别为、，为圆心， 所以，所以点在以为直径的圆上， 即弦是圆和圆的公共弦． 因为圆心的坐标是，且半径， 所以圆的方程为 ， 又， 所以，得， 即公共弦所在的直线方程为， 所以由，得 所以直线过定点，C正确； 选项，依题可知以  为圆心，为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为，所以  ， 又  ，所以  ，解得  ，故D正确． 11.在棱长为的正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，则下列结论正确的有（   ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．过点，，作正方体的截面，则截面面积为 C．若为线段上一动点(包括端点)，则直线与平面所成角的正弦值的范围为 D．若为线段上一动点(包括端点)， 过点，，的平面分别交，于，，则的范围是 【答案】BCD 【详解】对于选项A：由题意可得：，且平面， 则，即，可知三角形外接圆的半径为， 所以三棱锥的外接球的球心为的中点， 可得三棱锥的外接球的半径为， 所以其表面积为，故A错误；   对于选项B：取的中点分别为， 可知过点，，作正方体的截面为，其截面正六边形，边长为 所以其面积为，故B正确； 对于选项C：设点到平面的距离为， 由正方体的性质可得：，不在平面内，平面， 则平面， 当点在线段上运动时，则点到平面的距离即为点到平面的距离， 由的体积可得，解得， 设直线与平面所成角，则， 若为的中点时，，； 当点为线段的端点时，； 即，所以，故C正确； 对于选项D：设， 可知平面即为平面，则， 可得，设， 当时，由相似三角形知识可得：，， 即，， 且当或时，也符合，； 则， 且，可得， 所以的取值范围是，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是事件的对立事件，，，，则           ． 【答案】  解：因为， 所以．又，所以． 13. 直线的倾斜角的取值范围是__________. 【详解】设直线的倾斜角为， 当时，直线为，； 当时，，当且仅当时取等号， ∴； 当时，， 当且仅当时取等号， ∴，综上可得. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中由点发出的一条光，经直线反射后，到达区域的边界. 则光线经过反射到达边界的最短总路程为____________. 答案：. 解析：设光的反射点为，到达区域边界的点为. 由题意，直线方程为，则点关于直线的对称点为，总路程为，要使的总路程最短，只需最短，即点到边界的距离最短. 当时，化为，表示由圆心为，半径为的圆与轴、轴所围成的区域， 所以到边界的最短距离为.所以，光线经过的最短总路程为 四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被截得的弦长为，求直线l的方程． 【详解】（1）解：设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为.   （2）解：由（1），曲线C的方程为，圆心C（3,4），半径r=2, 由弦长为，半径为2，则圆心到直线的距离d=1, ①当直线的斜率不存在时，即：x=2，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为 15x-8y-30=0 综上，直线的方程为x=2或15x-8y-30=0.   16.(本小题15分)某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在中的市民有人． 心理测评评价标准 调查评分 心理等级 Ⅰ求的值及频率分布直方图中的值； Ⅱ在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为层，通过分层随机抽样抽取人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率； Ⅲ该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分 【答案】解：Ⅰ由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面积之和为． 所以，解得； Ⅱ由Ⅰ知：， 所以调查评分在中的人数是调查评分在中人数的， 若按分层抽样抽取人，则调查评分在中有人，在中有人， 设事件“在抽取的人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为”． 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 所以， 所以， 故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率为； Ⅲ由频率分布直方图可得， ． 估计市民心理健康调查评分的平均值为， 所以市民心理健康指数平均值为． 所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．  17.本小题15分在三棱柱中，已知，，点在底面的投影是线段的中点. (1)证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：连接，在中，作于点； 因为，可得， 又因为平面，平面，所以； 因为可得， 又，平面，所以平面； 因为平面，所以， 而，平面，可得平面； 易知，，又∽， 可得，即； 即在侧棱上存在一点，使得平面，且； （2）由（1）可知两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 由，可得点的坐标为； 由（1）的平面的一个法向量为， 又 设平面的一个法向量为， 则，令，可得； 可得即为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 因此可得， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18. 本小题17分在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)若，，求边上的角平分线长； (2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，因为，所以； 又因为，，所以， 即，解得，设边上的角平分线长为， 则 ，即， 即，解得，即边上的角平分线长为； （2）延长交于，延长交于，设， 所以，在中， 在中，，，所以， 在中， 同理可得在中，所以 ， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为. 19.本小题17分蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆的方程为，直线与圆M交于，，直线与圆交于，．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：． ②猜想和的大小关系，并证明． 【详解】（1）当，，，时， 圆：， 直线：，由或，故，； 直线：，由或，故，. 所以直线:，令得，即； 直线:，令得，即. 所以：. （2）①由题意：. 由， 则，是该方程的两个解，由韦达定理得：， 所以. 同理可得：，所以. ②猜测，证明如下：设点，. 因为三点共线，所以：， 又因为点在直线上，所以；点在直线上，所以. 所以； 同理因为三点共线，可得：. 由①可知：， 所以. 即，所以成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$