湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二上学期10月测试数学试题

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.“”是“方程表示的曲线是椭圆”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.直线与椭圆恒有交点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4. 已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5.过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 6. 设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知椭圆的焦距为，为椭圆的右焦点，过点在轴上方作两条斜率分别为和的射线，与分别交于，两点，且的面积为，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 8.已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，, 则下列说法正确的是(    ) A. 存在点，使得 B.存在点，使得 = C. 最小值为2 D. 最小值为 10.一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆若圆柱底面圆半径为，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为，则下列对椭圆的描述中，正确的是(    ) A. 短轴为，且与大小无关 B. 离心率为，且与大小无关 C. 焦距为                                          D. 面积为 11.如图，已知椭圆的左右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一点，连结交直线于点，连结交于点是坐标原点，则下列结论正确的是(    ) A. 为定值 B. C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知复数满足，则的取值范围为          ． 13.设、为双曲线：左右焦点，点在双曲线上，若，且，则          ． 14.在等腰直角中，，点在所在的平面内，若，则正整数的最大值为          ． 四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知圆：． 过点向圆作切线，求切线的方程； 若为直线：上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 16.已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点． 求证：平面平面； 若直线与平面所成角的正弦值为时，求点到平面的距离． 18.本小题分 已知椭圆：的离心率为，焦距为斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ若，求的最大值； Ⅲ设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为若，和点共线，求． 19.本小题分 出租车几何或曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间平面直角坐标系上的绝对轴距总和。 例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离 已知点，，求的值 记为点与直线上一点的曼哈顿距离的最小值。已知点，直线，求 已知三维空间内定点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了直线的方向向量平面，直线的斜率和倾斜角，属于基础题． 由题意，求出直线的斜率，从而得出结果． 【解答】 解：依题意，是直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为． 故选C． 2.设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】解：方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选B． 3. 直线与椭圆恒有交点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】 解：恒过点， 由点在椭圆内或椭圆上， 得，得， 又椭圆，则， 所以的取值范围是，且． 故选． 4. 已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C  【解析】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为. 则椭圆的焦点为.又,，， 故，当且仅当分别在的延长线上时取等号. 此时最大值为.故选：C. 5.过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  6.如图、是椭圆：与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解答】解：，设双曲线的方程为． ，， ，． 在中，， ， 即， ，． 故选：． 7. 设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点， 则, 且需满足以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，    即，即，又， 故椭圆离心率的取值范围是， 故选：C 8.已知椭圆的焦距为，为椭圆的右焦点，过点在轴上方作两条斜率分别为和的射线，与分别交于，两点，且的面积为，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B  【解答】解： 由焦距为知，， 设直线与的另外一个交点为，，， 则，关于轴对称，即， 由的面积为，得，即， 将直线：代入的方程整理，得， 显然，且判别式大于， ，， 因为， 所以， 即， 所以解得或舍去， 所以． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 已知双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的是(    ) A. B. 的离心率为 C. 曲线经过的一个顶点 D. 与有相同的渐近线 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查双曲线的渐近线方程以及离心率，属于基础题． 根据双曲线的渐近线方程求出即可判断；根据双曲线的离心率公式即可判断；求出双曲线的顶点即可判断；求出双曲线的渐近线方程即可判断． 【解答】 解：双曲线的渐近线方程为， 所以，解得舍去，故A正确； 双曲线， 所以的离心率为，故 B错误； 双曲线的顶点为， 因为，所以曲线经过的一个顶点，故 C正确； 对于，令，则， 即的渐近线方程为，故 D正确． 故选：． 10. 已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，, 则下列说法正确的是(    ) A. 存在点，使得 B.存在点，使得 = C. 最小值为2 D. 最小值为 【答案】BD 11. 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一个异于的点，连结交直线于点，连结交于点是坐标原点，则下列结论正确的是(    ) A. 为定值 B. C. D. 的最大值为 【答案】  【解答】 解：椭圆的左右顶点分别， 因为点在椭圆上，所以设点的坐标为，， 对于选项A，，所以选项A正确； 对于选项B，因为， 所以直线方程为， 令，得，所以点的坐标为，所以， 所以，所以选项B正确； 对于选项C，因为， 所以，所以，所以选项C正确； 对于选项D，直线为，直线为， 由两直线的方程联立方程组，解得， 所以点的坐标为， 因为， 所以， 当时， ， 所以的最大值不为，选项D错误． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知复数满足，则的取值范围为(    ) 【答案】   13.设、为双曲线：左右焦点，点在双曲线上，若，且，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了双曲线的性质和双曲线的标准方程，属于基础题． 根据双曲线的性质即可得到且，进而利用已知条件代入方程式求解即可． 【解答】 解：且，又因为， 得，将其代入前式中，解得． 故答案为：． 14.在平面直角坐标系中，过点向直线：为任意实数作垂线，垂足为，若为定值，则定点的坐标为          ． 【答案】  【解答】解：方程可化为， 由，可得所以直线过定点，设，因为， 所以为直角三角形，为直角，设的中点为，则， ，所以点的轨迹方程为，因为为定值， 所以点与点重合，即定点的坐标为， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 本小题分在中，角，，的对边分别是，，，且 求角的大小 若，且的面积为，求的周长 【答案】解：  ， 由正弦定理可得：  ， 因为  ，所以  ， 即  ， 即  ，由余弦定理，  ，  ，  ；  由三角形面积公式可得：  ，解得  ，  由余弦定理可得：  ，即  ，  解得：  ，  三角形的周长为   本小题分 已知圆：． 过点向圆作切线，求切线的方程； 若为直线：上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【答案】解：切线的斜率不存在时，满足条件． 切线的斜率存在时，设方程为，即， 圆心到切线的距离，解得， 可得切线方程为：， 综上可得切线的方程为：，或． 当时，取得最小值，此时， ．  17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点． 求证：平面平面； 若直线与平面所成角的正弦值为时，求点到平面的距离． 【答案】解：证明：底面，又底面， ，又易知，且， 平面， 平面，又平面， 平面平面； 如图，以为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，根据题意可得： ，，，，， 设，， 则， ， 又易知平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得， ，又，设平面的法向量为， 则，取，又， 点到平面的距离为 ．  18. 已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点， 若 ，且不过坐标原点，求三角形面积的最大值，并写出求得此最大值时的值 点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【详解】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，，∴椭圆的方程为. （2）时，设坐标原点到直线的距离为， 联立得，可得， 设，，则， 所以此时，当，即时， 三角形面积有最大值 联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 19.本小题分 出租车几何或曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间平面直角坐标系上的绝对轴距总和。 例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离 已知点，，求的值 记为点与直线上一点的曼哈顿距离的最小值。已知点，直线，求 已知三维空间内定点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积． 【答案】解：， 所以 设动点为直线上一点，则， 故最小值为． 将平移到处，设， 若则， 当，，时，即， 设，，，则， 所以，，，四点共面， 所以当，，时，在边长为的等边三角形内部含边界． 同理可知等边三角形内部任意一点，均满足． 所以满足方程的点，构成的图形是边长为的等边三角形内部含边界． 由对称性可知，围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形． 故该几何体表面积．  【解析】本题主要考查新定义问题，考查了点到直线的距离和空间向量与立体几何的内容，属于较难题． 根据曼哈顿距离的定义，且已知、的坐标，即可求出． 根据题意，可以求得的解析式，根据解析式可以求出最小值． 先平移坐标系，将平移到处，设定曼哈顿距离条件，即，然后构建几何图形，即可求出几何体的表面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$