第四章　实　数课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）（2024）七年级数学上册

第3课时　立方根 2．[2024·南召县期中]一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是( ) A．1 B．0 C．1或0 D．1或0或－1 －7 10 1或－17 11.[中华传统文化]每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节， 这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏 月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体 积为216 cm3，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积比李师傅 制作的小91 cm3，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 _______． 150 cm2 12．求下列各式中x的值． (1) (x－1)3＝－4; (2)(2x＋5)3＝－125. 解：(1) (x－1)3＝－4， (x－1)3＝－8， x－1＝－2， x＝－1； (2)(2x＋5)3＝－125， 2x＋5＝－5， 2x＝－10， x＝－5. 13.[探究创新题][2024·十堰期中]王老师在《给数学学习插上 想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象(如 图)： 解：(1)±2； (2)因为一个正数的两个平方根互为相反数， 所以(a＋5)＋(2a＋1)＝0， 所以a＝－2. 因为b－60的立方根是－4， 所以b－60＝(－4)3＝－64， 所以b＝－4， 所以a－b＝－2－(－4)＝2. 14．已知2a－1为4的算术平方根，2为3b＋2的立方根． (1)求a，b的值； (2)求2a＋3b的平方根． (1)上述各式成立吗？若成立，请写出第⑤个等式； (2)请你用含有n(n为非零自然数)的等式表示上述规律． 17.[阅读理解题]根据表格，回答下列问题： 12.26 1．[2024·朝阳区期末]数eq \r(3,64)的算术平方根是( ) A．2 B．eq \r(8) C．±2 D．±eq \r(8) 3．下列各数互为相反数的一组是( ) A．－3与eq \r(3,（－3）3) B．eq \r(3,（－3）3)与eq \r(32) C. eq \r(3,－27)与－eq \r(3,33) D．eq \r(3,27)与|－3| 4．[2024·长宁县期中]若eq \r(3,3.75)≈1.554，eq \r(3,37.5)≈3.347，则eq \r(3,3 750)≈( ) A．33.47 B．15.54 C．155.4 D．334.7 5．[2024·嵩县期末]已知eq \r(3,x－1)＝x－1，则x2＋x的值为( ) A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 6．[2024·禅城区期末]在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是( ) A.eq \r(3,2) B．eq \r(2) C．2 D．8 7．[2024·金牛区期中]若eq \r(3,x－1)＝－2，则x＝ ． 8．[2024·平谷区期末]已知数a，b，a的平方根分别是2x－5 与x－7，b是27的立方根，则a－2b的算术平方根为 ． 9．[2024·乐清期中]把一个长、宽、高分别为8 cm，5 cm， 25 cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方 体铁块的棱长为 厘米． 10．[2024·钱塘区期中]已知a2＝81，eq \r(3,b)＝－2，则a＋b的值 为 ． eq \r(3) eq \f(1,2) eq \f(1,2) 然后引导同学们解决以下两个问题： (1)求eq \r(16)的平方根； 解：由eq \r(16)＝4知，求eq \r(16)的平方根也就是求4的平方根；eq \r(16)的平方根是_________；(填空) (2)一个正数的平方根分别是a＋5和2a＋1，b－60的立方根是－4，求a－b的值． 解：(1)因为2a－1为4的算术平方根，2为3b＋2的立方根， 所以2a－1＝2，3b＋2＝8， 解得a＝eq \f(3,2)，b＝2； (2)因为a＝eq \f(3,2)，b＝2， 所以2a＋3b＝2×eq \f(3,2)＋3×2＝9， 则2a＋3b的平方根是±3. 15.[规律探究题]判断下列各式是否成立： ①eq \r(3,2＋\f(2,7))＝2eq \r(3,\f(2,7))； ②eq \r(3,3＋\f(3,26))＝3eq \r(3,\f(3,26)) ③eq \r(3,4＋\f(4,63))＝4eq \r(3,\f(4,63)) ④eq \r(3,5＋\f(5,124))＝5eq \r(3,\f(5,124)) … 解：(1)上述各式成立，第⑤个等式是eq \r(3,6＋\f(6,215))＝6eq \r(3,\f(6,215))； (2)用含有n(n为非零自然数)的等式表示上述规律为eq \r(3,n＋\f(n,n3－1))＝n·eq \r(3,\f(n,n3－1)). 16.[阅读理解题][2024·江苏期中]小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出－50 653的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103＝1 000，1003＝1 000 000，所以eq \r(3,50 653)是两位数； ②其次观察了立方数：猜想13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93 ＝729；猜想eq \r(3,50 653)的个位数字是7； ③接着将50 653往前移动3位小数点后约为50，因为33 ＝27，43＝64，所以eq \r(3,50 653)的十位数字应为3，于是猜想eq \r(3,50 653)＝37，验证得：50 653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到eq \r(3,－50 653)＝－37，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)eq \r(3,－117 649)＝________； (2)若eq \r(3,1－2x)＋eq \r(3,5)＝0，则x＝________； (3)已知eq \r(3,x－2)＋2＝x，且eq \r(3,3y－1)与eq \r(3,1－2x) 互为相反数，求x，y的值． 解：(1)－49； (2)因为eq \r(3,1－2x)＋eq \r(3,5)＝0， 所以eq \r(3,1－2x)和eq \r(3,5)互为相反数， 所以1－2x＝－5， 所以x＝3； 故答案为：3; (3)eq \r(3,x－2)＋2＝x，即eq \r(3,x－2)＝x－2， 所以x－2＝0或1或－1， 解得 x＝2或3或1， 因为eq \r(3,3y－1)与eq \r(3,1－2x)互为相反数， 所以3y－1＋1－2x＝0，即3y－2x＝0， 所以x＝2时，y＝eq \f(4,3)；当x＝3时，y＝2； 当x＝1时，y＝eq \f(2,3). (1)想一想表中数a的小数点的移动与它的立方根eq \r(3,a)的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知eq \r(3,0.214)≈0.598 1，eq \r(3,2.14)≈1.289，eq \r(3,21.4)≈2.776，则eq \r(3,2 140)介于哪两个整数之间？ ②已知eq \r(3,0.001 843)≈0.122 6，则eq \r(3,1 843)≈ ； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？ (结果精确到0.01平方米) ④根据规律写出eq \r(3,a)与a的大小情况． 解：(1)规律：数a的小数点每移动三位，它的立方根eq \r(3,a)的小数点就向相同方向移动一位； (2)①因为eq \r(3,2.14)≈1.289， 所以eq \r(3,2 140)≈12.89， 所以eq \r(3,2 140)介于整数12和13之间； ②因为eq \r(3,0.001 843)≈0.122 6， 所以eq \r(3,1.843)≈1.226，eq \r(3,1 843)≈12.26， 故答案为：12.26； ③设正方体的棱长为a米，则a3＝1.843， 所以a≈1.226， 所以6a2≈9.02 (平方米)， 答：需要大约9.02平方米的铁皮； ④当－1<a<0或a>1时，eq \r(3,a)<a； 当a＝－1或a＝1或a＝0时，eq \r(3,a)＝a； 当a<－1或0<a<1时，eq \r(3,a)>a. $$4　实　数 第1课时　实数及其分类 4．[2024·南充]如图，数轴上表示 的点是( ) A．点A B．点B C．点C D．点D 5．[2024·北京]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( ) A．b＞－1 B．|b|＞2 C．a＋b＞0 D．ab＞0 6．[黔东南州中考]在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x＋1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数－1的点的距离，|x－2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当|x＋1|＋|x－2|取得最小值时，x的取值范围是( ) A．x≤－1 B．x≤－1或x≥2 C．－1≤x≤2 D．x≥2 ②③⑤ 8．[2024·嘉祥县期末]若实数a＋5的一个平方根是－3，b的立 方根是－2，则2a＋b的值是__． 0 9．[2024·思明区二模]如图，在做浮力实验时，小华用一根细 线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量 筒量得溢出水的体积为34 mL，则该铁块棱长大小的范围是_____ _______．(精确到1 cm) 3 cm ～4 cm 10．[2023·宁夏]如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数 是－1，点B是AC的中点，线段AB＝ ，则点C表示的数 是_______． 11．[2024·乐清期末]如图是一个数值转换机示意图，当输入 x的值为－7时，则输出y的值为____． 12．[2024·潜江期中]已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0， 且a，b互为相反数，则 ＝－1；②若a＋b＜0，ab＞0，则|2a ＋3b|＝－2a－3b；③若|a－b|＋a－b＝0，则b＞a；④若a＜b， ab＜0且|a－3|＜|b－3|，则a＋b＞6，其中正确的是_______． (填序号) ①②④ 13．[2024·崇义县期中]类比平方根(二次方根)、立方根(三次方根)的定义可给出四次方根、五次方根的定义：①如果x4＝a(a≥0)，那么x叫作a的四次方根； ②如果x5＝a，那么x叫作a的五次方根； 请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题： (1)81的四次方根为______；－32的五次方根为______ ； 14．[2024·桥西区期末]在一次活动课中，嘉琪同学用一根绳子围成一个长宽之比为3∶1，面积为48 cm2的长方形． (1)求长方形的长和宽； (2)她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3 cm.”请你判断她的说法是否正确，并说明理由． 解：(1)根据题意设长方形的长为3x cm，宽为x cm， 则3x·x＝48， 即x2＝16. 因为x＞0， 所以x＝4， 所以3x＝12， 答：长方形的长为12 cm，宽为4 cm； 16.[探究创新题][2025·贵阳期末]学习了无理数之后，数的领域扩大到了实数的范围，且实数和数轴上的点是一一对应的．因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图1，一个直径为1的圆从原点O出发向右滚动一圈，圆上的一点P(开始滚动时与点O重合)由原点到达点A，则点A表示的实数是_____； (2)如图2，在数轴上有一个直角三角形如图所示放置，直角边BC落在数轴上，点B与数轴原点O重合，BC＝1，AC＝2，∠ACB＝90°，以B为圆心，BA长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的实数是_____； 1．[2024·东营]－3的绝对值是( ) A．3 B．－3 C．±3 D．eq \r(3) 2．[2024·成都期末]下列各数是无理数的有( ) eq \r(36)，2.030 030 003…(相邻两个3之间0的个数逐次加1)， eq \f(1,7)，π，eq \r(3,11)，－eq \r(5) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．[2024·观山湖区期中]若a＝eq \r(3)，b＝|－eq \r(2)|，c＝－eq \r(3,（－2）3)，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a eq \r(2) 7．[2024·雁塔区期末]以下各数：①－1　②eq \f(π,2)　③eq \r(8)　④eq \f(5,7)　⑤1.010 010 001…(相邻两个1之间依次多一个0)，其中是无理数的有 ．(只填序号) eq \r(2) 2eq \r(2)－1 eq \r(3) eq \f(a,b) (2)若eq \r(4,a－1)有意义，则a的取值范围为______；若eq \r(5,a)有意义，则a的取值范围为______； (3)解方程： ①x4＝16；　 ②100 000x5＝243. 解：(1)±3　－2； (2)a≥1　任何实数； (3)①x＝±2； ②x＝eq \f(3,10). (2)不正确． 设正方形的边长为y cm，根据题意可得y2＝48， 因为y＞0，所以y＝eq \r(48)， 因为原来长方形的宽为4 cm， 所以正方形的边长与长方形的宽之差为eq \r(48)－4， 因为eq \r(48)＜eq \r(49)，即eq \r(48)＜7， 所以eq \r(48)－4＜3， 所以她的说法不正确． 15．[2025·宁德期末]已知代数式eq \r(2n＋3) (n≥0，且n为整数)． (1)当n＝0时，eq \r(2n＋3)是______(填“有理数”或“无理数”)； (2)当n＝1时，通过画图在数轴上找出表示eq \r(2n＋3)的点； (3)当n≥2时，eq \r(2n＋3)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 解：(1)有理数； (2)当n＝1时，eq \r(2n＋3)＝eq \r(2＋3)＝eq \r(5)， 数轴表示如图： (3)当n≥2时，eq \r(2n＋3)不是偶数，理由如下： 若eq \r(2n＋3)是偶数，则(eq \r(2n＋3))2是偶数， 即2n＋3是偶数①. 因为2n是偶数，3是奇数， 所以2n＋3是奇数②， 所以①和②矛盾， 所以eq \r(2n＋3)不是偶数； 当n≥2时，eq \r(2n＋3)不是奇数，理由如下： 假设eq \r(2n＋3)是奇数，不妨设eq \r(2n＋3)＝2k＋1(k>0的整数)， 所以2n＋3＝(2k＋1)2， 整理得2n－1＋1＝2(k2 ＋k)． 因为2n－1为偶数，1为奇数， 所以2n－1 ＋1为奇数． 因为2(k2＋k)为偶数， 所以2n－1＋1＝2(k2 ＋k)不成立， 所以eq \r(2n＋3)不是奇数． (3)在图3中，利用尺规作出实数eq \r(10)－2所在的位置．(保留必要的作图痕迹) 解：(1)π；　(2)－eq \r(5)； (3)直角△ABC如图所示， 直角边BC落在数轴上，点B表示的数为1，点C表示的数为－2， 则BC＝3，AB＝1，∠ABC＝90°， 由勾股定理得AC＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)， 以点C为圆心，CA长为半径画弧，交数轴于点E， 则点E表示的实数为eq \r(10)－2. $$第四章　章末能力突破 考点一 实数 1．[2024·泸州]下列各数中，无理数是( ) A． B．3.14 C．0 D．π 2．[2024·连江县期末]下列说法正确的是( ) A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数 ①有理数：{_________________________________________…}； ②无理数：{____________________________…}； ③整数：{___________________…}； ④负实数：{_______________________________________…}． (2)面积为3的正方形的边长为m，下列关于m的说法： ①m是3的算术平方根 ②m可以用数轴上的一个点来表示 ③m的立方是有理数 ④1＜m＜2. 正确的是_______．(填序号) ①②④ 考点二 平方根与立方根 4．[2024·北林区期末]下列表述正确的是( ) A．27的立方根是±3 B. 的平方根是±4 C．9的算术平方根是3 D．立方根等于平方根的数是1 8或10 ±4 2 3 考点三 实数大小比较 10．[2024·巴中]实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( ) A．ab＞0 B．a＋b＜0 C．|a|＞|b| D．a－b＜0 【拓广探索】 (3)若[－2n－1，－2n＋1]－(m，m＋1)＝2.求代数式(m＋2n)2 025 －2m－4n＋5的值． (3)因为[－2n－1，－2n＋1]－(m，m＋1)＝2， 所以－2n＋1－m＝2， m＋2n＝－1， 所以(m＋2n)2 025－2m－4n＋5 ＝(m＋2n)2 025－2(m＋2n)＋5 ＝(－1)2 025－2×(－1)＋5 ＝－1＋2＋5 ＝6. 考点四 实数与数轴 13．在学习实数时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是______，由此可知，以原点为圆心，OA长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B 表示的数为______；说明______可以在数轴 上表示； (2)按照(1)中的思路，在方格网中设计图 形，并求出线段CD的长． 15．[2024·荔湾区期中]实数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＜”连接：0，a，b，c； (2)化简代数式：|b－a|－|c＋a|＋|b－c|. 解：(1)从数轴可知b＜c＜0＜a； (2)从数轴可知b＜c＜0＜a，|c|＜|a|， 所以|b－a|－|c＋a|＋|b－c| ＝a－b－(c＋a)＋(c－b) ＝a－b－c－a＋c－b ＝－2b. ±8 解：(1)因为a，b互为倒数， 所以ab＝1. 因为c是最小的正整数， 所以c＝1. 因为d是绝对值最小的数， 所以d＝0. 因为|x＋2|＝0， 所以x＝－2， (2)因为2a－1的平方根是±3， 所以2a－1＝9，所以a＝5. 因为a＋3b－1的算术平方根是4， 所以a＋3b－1＝16， 所以b＝4， 所以ab＋5＝5×4＋5＝25. 因为25的平方根是±5， 所以ab＋5的平方根±5. 24．[2024·河北期末]如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8. (1)求这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形ABCD，它的面积是魔方侧面EFGH面积的一半，求正方形ABCD的边长a； (3)把正方形ABCD放到数轴上， 如图2，使得点A与－1重合， 那么点D在数轴上表示的数为____． －eq \f(1,3) 3．数的大家族数量众多，请根据你的理解填空． (1)把下列各数填入相应的大括号里： －1，eq \r(3)，π，－3.14，eq \r(9)，－eq \r(6)－eq \r(2)，－eq \f(\r(2),2)，0，0.131 331 333，－eq \r(3,8). －1，－3.14，eq \r(　,9)，0，0.131 331 333，－eq \r(3,8) eq \r(　,3)，π，－eq \r(　,6)－eq \r(　,2)，－eq \f(\r(　,2),2) －1，eq \r(　,9)，0，－eq \r(3,8) －1，－3.14，－eq \r(　,6)－eq \r(　,2)，－eq \f(\r(　,2),2)，－eq \r(3,8) eq \r(16) 5．下列计算或判断： ①±3都是27的立方根 ②eq \r(3,a3)＝a ③64的立方根是2 ④eq \r(3,±8)＝±2， 其中正确的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．[2024·肇庆期末]如果eq \r(1－3x)和eq \r(y－27)互为相反数，那么eq \r(xy)的平方根是 ． 7．[2024·淮北期中]已知：直角三角形ABC的三边长为a，b，c 且b的平方根分别为2－a与2a－5，则c的平方的值为 ． 8．已知m，n都是实数，且满足|3－m|＋(2＋n)2＝m－3－eq \r(m－7)，则2m－n的平方根为 ． ±eq \r(3) 9．[2024·江汉区期中]一个正数a的两个平方根分别是2x－3和 1－x，且eq \r(3,1－2b)＋eq \r(3,3b－5)＝0，则x＝ ，eq \r(a＋2b)＝ ． 11．[2024·双牌县期末]下列各式比较大小正确的是( ) A．－eq \r(2)＜－eq \r(3) B．－eq \f(\r(5),5)＞－eq \f(\r(6),6) C．－π＜－3.14 D．－eq \r(10)＞－3 12.[新定义]【阅读理解】若a≠b，规定符号[a，b]表示a，b两个数中较大的一个．规定符号(a，b)表示a，b两个数中较小的一个． 例如[2，1]＝2，(2，1)＝1. 【尝试应用】 (1)[2，eq \r(　,3)]＝_______； (－eq \f(1,2)，－eq \f(2,3))＝_______； 【拓展探究】 (2)若eq \f([x，x＋2],3)＋eq \f(（－2x，－2x－1）,4)＝1，求x的值； 解：(1)2，－eq \f(2,3)； (2)因为eq \f([x，x＋2],3)＋eq \f(（－2x，－2x－1）,4)＝1， 所以eq \f(x＋2,3)＋eq \f(－2x－1,4)＝1， 4(x＋2)＋3(－2x－1)＝12， 解得x＝－3.5； 解：(1)2，eq \r(　,2)，无理数； (2)如图，构造以CD为边的格点正方形CDMN， 因为S正方形CDMN＝3×3－4×eq \f(1,2)×1×2＝5， 所以CD2＝5， 所以CD＝eq \r(　,5). 14．[2024·通江县期中]实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，M＝eq \r(（a＋2）2)－eq \r(（b－2）2)＋eq \r(（a－b）2)＋eq \r(b2). (1)化简M； (2)当a＝eq \r(3)－eq \r(2)，b＝－eq \r(3)时，求M的值． 解：(1)由数轴可得b＜－2，0＜a＜2， 所以a＋2＞0，b－2＜0，a－b＞0， 所以M＝eq \r(（a＋2）2)－eq \r(（b－2）2)＋eq \r(（a－b）2)＋eq \r(b2) ＝a＋2－[－(b－2)]＋a－b＋(－b) ＝a＋2＋b－2＋a－b－b ＝2a－b； (2)当a＝eq \r(3)－eq \r(2)，b＝－eq \r(3)时，原式＝2×(eq \r(3)－eq \r(2))－(－eq \r(3))＝2eq \r(3)－2eq \r(2)＋eq \r(3)＝3eq \r(3)－2eq \r(2). 考点五 实数的运算 16．[2023·凉山州]计算(π－3.14)0＋eq \r(（\r(2)－1）2)＝____． 17．利用教材中的计算器依次按键如图，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是( ) eq \x(\r(　)) eq \x(7) eq \x(－) eq \x(2ndF) eq \x(\r(　)) eq \x(8) eq \x(＝) A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9 eq \r(2) 18．[2024·河西区期末]估计eq \r(10)的值应在两个连续整数之间，则eq \r(10)的值在( ) A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 19．[2025·连江县期中]在实数这章我们学习了无理数，数的范围从有理数扩充到实数，有理数与有理数，有理数与无理数，无理数与无理数之间的加、减、乘、除四种运算的结果存在一般规律．请解答下列问题： 已知x，y都是有理数，且满足(x＋1)eq \r(　,5)＋x－7＝4eq \r(　,5)－y2，则yx的值为 ． 20．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和eq \r(3)的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等，设点C所表示的数为x. (1)x的值为_______； (2)求x(x＋2)的值，并写出x(x＋2)的平方根． 解：(1)eq \r(3)－1； (2)因为x＝eq \r(3)－1， 所以x(x＋2) ＝(eq \r(3)－1)(eq \r(3)－1＋2) ＝(eq \r(3)－1)(eq \r(3)＋1) ＝3－1 ＝2， 因为2的平方根是±eq \r(2)， 所以x(x＋2) 的平方根为±eq \r(2). 21．[2024·新昌县期中](1)用“＞”“＜”或“＝”填空： eq \r(1)_____eq \r(2)_____eq \r(3)_____eq \r(4)； (2)由(1)可知： ①|1－eq \r(2)|＝_____； ②|eq \r(2)－eq \r(3)|＝_____； ③|eq \r(3)－eq \r(4)|＝_____； (3)计算(结果保留根号)： ①|1－eq \r(2)|＋|eq \r(2)－eq \r(3)|＋|eq \r(3)－eq \r(4)|； ②|1－eq \r(2)|＋|eq \r(2)－eq \r(3)|＋|eq \r(3)－eq \r(4)|＋…＋|eq \r(2 023)－eq \r(2 024)|. 解：(1)＜，＜，＜； (2)①eq \r(2)－1；②eq \r(3)－eq \r(2)；③eq \r(4)－eq \r(3)； (3)①原式＝eq \r(2)－1＋eq \r(3)－eq \r(2)＋eq \r(4)－eq \r(3) ＝eq \r(4)－1 ＝1； ②|1－eq \r(2)|＋|eq \r(2)－eq \r(3)|＋|eq \r(3)－eq \r(4)|＋…＋|eq \r(2 023)－eq \r(2 024)| ＝eq \r(2)－1＋eq \r(3)－eq \r(2)＋eq \r(4)－eq \r(3)＋…＋eq \r(2 024)－eq \r(2 023) ＝eq \r(2 024)－1. 22．[2024·黄埔区期中]计算： (1)|eq \r(3)－eq \r(2)|＋|eq \r(3)－2|－|eq \r(2)－1|； (2)eq \r(3,8)＋eq \r(（－2）2)－eq \r(\f(1,4))＋(－1)2 025. 解：(1)原式＝eq \r(3)－eq \r(2)＋2－eq \r(3)－(eq \r(2)－1) ＝eq \r(3)－eq \r(2)＋2－eq \r(3)－eq \r(2)＋1 ＝－2eq \r(2)＋3； (2)原式＝2＋2－eq \f(1,2)＋(－1)＝eq \f(5,2). 23．[2024·西湖区期中]解答下列问题： (1)已知a，b互为倒数，c是最小的正整数，d是绝对值最小的数，|x＋2|＝0，求3ab－x2＋eq \f(2c＋d,x)的值； (2)已知2a－1的平方根是±3，a＋3b－1的算术平方根是4，求ab＋5的平方根． 所以3ab－x2＋eq \f(2c＋d,x) ＝3×1－(－2)2＋eq \f(2×1＋0,－2) ＝3－4－1 ＝－2； 解：(1)eq \r(3,8)＝2， 答：这个魔方的棱长为2； (2)因为侧面EFGH面积＝2×2＝4， 所以正方形ABCD的面积＝2，即a2＝2， 因为a为正数， 所以a＝eq \r(2)， 答：正方形ABCD的边长a＝eq \r(2)； (3)－1－eq \r(2). $$第4课时　估算 2．[2025·绍兴期中]要制作一只如图所示容积为120 cm3的小玻璃杯，设计正方体内壁时，内壁边长大致长度在( ) A．4.4 cm～4.6 cm之间 B．4.6 cm～4.8 cm之间 C．4.8 cm～5.0 cm之间 D．5.0 cm～5.2 cm之间 4．如图，已知数轴上的点A，B，C，D，E分别表示数－2，0，1， 2，3，则表示4－ 的点应落在线段( ) A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．DE上 5．[2024·朝阳区期末]表格记录了一些数的平方： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 x 17.6 17.7 17.8 17.9 18 x2 309.76 313.29 316.84 320.41 324 ①③④ －13 1．[2024·红桥区三模]估计－eq \r(17)的值在( ) A．－5和－4之间 B．－4和－3之间 C．－3和－2之间 D．－2和－1之间 3．[2024·郑州期中]比较下列各组数的大小，错误的是( ) A.eq \r(8)＜eq \r(10) B．eq \f(\r(5)－1,2)＜0.5 C.eq \f(\r(5)＋1,2)＞0.5 D．eq \r(50)＞7 eq \r(2) 下列结论：①eq \r(302.76)＝17.4　②24－eq \r(300)的整数部分为7　 ③30 976的平方根是±176　④一定有4个整数的算术平方根 在17.4～17.5之间．其中正确的是 ．(填序号) 6．[2024·雨花区期末]若9＋eq \r(13)与9－eq \r(13)的小数部分分别为 a和b，则(a＋3)(b－4)的值 ． 7．[2024·武汉期中]若用[x]表示任意正数的整数部分，例如： [2.5]＝2，[2]＝2，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)))＝1，则式子eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(4)))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(5)))＋… ＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2 022)))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2 023)))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2 024)))的值为(式子中的“＋”“－” 依次相间)( ) A．22 B．－22 C．23 D． －23 8．【探究题】数学吴老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：eq \r(2)≈1.414……，它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少．”小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用eq \r(2)－1来表示它的小数部分，吴老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)eq \r(11)的整数部分是_______； (2)a为eq \r(3)的小数部分，b为eq \r(5)的整数部分，求a＋b－eq \r(3)的值； (3)已知8＋eq \r(3)＝x＋y，其中x是一个正整数，0<y<1，求2x＋ (y－eq \r(3))2 025的值． 解：(1)3； (2)因为a为eq \r(3)的小数部分，b为eq \r(5)的整数部分， 所以a＝eq \r(3)－1，b＝2， 所以a＋b－eq \r(3)＝eq \r(3)－1＋2－eq \r(3)＝1； (3)因为8＋eq \r(3)＝x＋y，其中x是一个正整数，0<y<1， 所以x＝9，y＝eq \r(3)－1， 所以2x＋(y－eq \r(3))2 025＝2×9＋(eq \r(3)－－eq \r(3))2 025＝18＋(－1)2 025＝ 18－1＝17. $$第四章　实　数 1　无理数 2．[2024·和平区期中]下列说法中，正确的个数为( ) ①无限小数都是无理数　②无限不循环小数都是无理数　③无理数都是无限小数　④无理数也有负数　⑤无理数分为正无理数、零、负无理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．一个长方形的长与宽分别是6 cm，3 cm，则它的对角线的长是( ) A．整数 B．分数 C．有理数 D．无限不循环小数 4．[2024·管城区期中]下列各数中，表示无理数的是( ) A．面积为16的正方形的边长 B．体积为125的正方体的棱长 C．两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长 D．长为3，宽为4的长方形的对角线长 5．[2025·福州期末]把2个面积为5的正方形纸片沿着对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形纸片，那么大正方形纸片的边长大小在( ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 6．[2024·海淀区期中]若m，n都是无理数，且m＋n＝5，请写 出一组满足条件的值，m＝___，n＝__________________． 7．以下各正方形的边长不是有理数的是___．(填序号) ①面积为25的正方形　②面积为 的正方形　③面积为8的正方 形　④面积为1.44的正方形 π 5－π(答案不唯一) ③ 9．如图，小涛同学家的客厅是面积为28平方米的正方形． (1)请你判断一下这个正方形客厅的边长x是不是无理数； (2)x的整数部分是多少？ (3)如果结果精确到0.1米，请估计x的值． 解：(1)边长x是无理数； (2)因为25＜28＜36，所以5<x<6，所以x在5和6两个相邻的整数之间，所以x的整数部分是5； (3)如果结果精确到0.1米，那么x≈5.3. 10．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.如果把图2中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，OA3…OA25，这些线段中有多少条线段的长度为无理数？ 解：这些线段中长度为无理数条数是25－5＝20. 1．[2024·北林区期末]在下列数3，0.35，eq \f(π,3)，eq \f(1,7)，0.eq \o(35,\s\up6(··))， 1.212 212 221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数 的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 eq \f(4,25) eq \f(π,2)… 8．[2024·宝应县期中]把下列各数分别填入相应的集合里． －5，|－eq \f(3,4)|，0，－3.14，eq \f(22,7)，－12，＋1.99，eq \f(π,2) (1)正数集合：{ }； (2)负数集合：{ }； (3)整数集合：{ }； (4)无理数集合：{ }． |－eq \f(3,4)|，eq \f(22,7)，＋1.99，eq \f(π,2)… －5，－3.14，－12… －5，0，－12… $$3　用计算器开方 3．[2025·渝北区期中]用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： < < < < ＝___． 10 100 1 000 10 000 10n 6．[2024·高唐县期中]在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，溢出水的体积为40 cm3，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.6 cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？(用计算器计算，π取3.14，结果精确到0.01 cm) 解：设铁块的棱长为a cm，根据题意，得 a3＝40，解得a≈3.42. 设烧杯内部的底面半径为r cm，根据题意，得 πr2·0.6＝40，即3.14r2·0.6＝40，解得r≈4.61. 答：烧杯内部的底面半径是4.61 cm，铁块的棱长是3.42 cm. 7．在科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： 10 0.264 6 26.46 104.04 1 040 400 6.69 14.42 1．[2025·烟台期末]用科学计算器进行计算，按键顺序依次 为eq \x(\r(　)) eq \x(10) eq \x(＋) eq \x(2ndF) eq \x(\r(　)) eq \x(1) eq \x(＝)则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是( ) A．3.2 B．4.0 C．4.2 D．4.4 2．[2024·龙口期末]用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是( ) A．计算eq \r(　,\f(2,3))，按键：eq \x(\r(　)) eq \x(2) eq \x(÷) eq \x(3) eq \x(＝) B．计算eq \r(　,3)＋1，按键：eq \x(\r(　)) eq \x(3) eq \x(＋) eq \x(1) eq \x(＝) C．计算eq \r(3,－2)，按键：eq \x(2ndF) eq \x(\r(　)) eq \x(（－）) eq \x(2) eq \x(2ndF) eq \x(＝) D．计算eq \r(3,1.2)，按键：eq \x(3) eq \x(\r(　)) eq \x(1) eq \x(·) eq \x(2) eq \x(＝) 根据以上规律，若eq \r(　,1.71)≈1.31，eq \r(　,17.1)≈4.14，则eq \r(　,1 710)≈( ) A．41.4 B．13.1 C．414 D．131 4. [规律探究题]利用计算器比较大小： eq \r(6)－eq \r(5) eq \r(5)－eq \r(4)； eq \r(7)－eq \r(6) eq \r(6)－eq \r(5)； eq \r(8)－eq \r(7) eq \r(7)－eq \r(6)…… 由此可推出：eq \r(n＋1)－eq \r(n) eq \r(n)－eq \r(n－1)(n≥1)． 5．[2024·天河区期末]用计算器计算： (1)eq \r(9×9＋19)＝ ； (2)eq \r(99×99＋199)＝ ； (3)eq \r(999×999＋1 999)＝ ； (4)eq \r(9 999×9 999＋19 999)＝ ； 观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出结果： (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知eq \r(　,7)≈2.646，根据上述规律直接写出下列各式的值：eq \r(　,0.07)≈ ，eq \r(　,700)≈ ； (3)已知eq \r(　,10 404)＝102，eq \r(　,x)＝10.2，eq \r(　,y)＝1 020，则x＝ ，y＝ ； (4)小明思考如果把平方根换成立方根，若eq \r(3,0.3)≈0.669， eq \r(3,3)≈1.442，则eq \r(3,300)≈ ，eq \r(3,3 000)≈ . $$2　平方根与立方根 第1课时　算术平方根 5.[跨学科][2024·榆阳区期中]电流通过导线时会产生热量，电流I(单位：A)、导线电阻R(单位：Ω)、通电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足Q＝I2Rt.已知导线的电阻为10 Ω，1 s时间导线产生1 000 J的热量，电流I的值是( ) A．2 A B．5 A C．8 A D．10 A 6．[2024·城阳区期中]观察表格，被开方数a的小数点的位置移 动和它的算术平方根 的小数点的位置移动符合一定的规律． 11 4或7或8 10 351 13．[2024·蒲城县期中]小明的爸爸打算用如图一块面积为900 cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为600 cm2的长方形桌面． (1)求正方形木板的边长； (2)若要求裁出的桌面的长宽之比为3∶2， 你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算 出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． 解：(1)因为正方形木板的面积为900 cm2， 所以正方形木板的边长为30 cm； (2)能， 设要求裁出的桌面的长为3x cm，宽为2x cm， 则3x·2x＝600， 解得x＝±10.因为x＞0，所以x＝10， 则长方形纸片的长为3x＝30 cm，宽为2x＝20 cm， 故小明的爸爸能做到． 14．[2024·原阳县期中]已知3b＋3的算术平方根为3，3a＋2b的算术平方根为5. (1)求a，b的值； (2)求4a－6b的算术平方根． 解：(1)因为3b＋3的算术平方根为3， 所以3b＋3＝9， 所以b＝2. 因为3a＋2b的算术平方根为5， 所以3a＋2b＝25， 所以a＝7， 则a＝7，b＝2， 15．[2024·路北区期中]如图，是一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的x值为16时，求输出的y值； (2)是否存在输入x的值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． (3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x＝_______． 16．(1)如图，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中A，B两点表示的数分别为_______，_______； (2)小丽想用一块面积为36 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为20 cm2的长方形纸片(如图3)，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由． 1．[2024·泗水县期末]eq \r(81)的算术平方根是( ) A．±9 B．±3 C．9 D．3 2．[2024·皇姑区期末]下列式子中，正确的是( ) A.eq \r(36)＝±6 B．eq \r(－36)＝－6 C.eq \r(36)＝6 D．±eq \r(36)＝6 3．[2024·江油期中]若数a，b满足|a－1|＋eq \r(b＋2)＝0，则 (a＋b)2 025＝( ) A．1 B．－1 C．－2 025 D．2 025 4．[2024·海州区期末]下列各式中，正确的是( ) A.eq \r(（－2）2)＝－2 B．eq \r(（－3）2)＝9 C.eq \r(（－9）2)＝±3 D．eq \r(（－13）2)＝13 eq \r(a) 若eq \r(2)≈1.414，则eq \r(200)≈( ) A．1.414 B．14.14 C．141.4 D．1 414 7．[2024·成武县期末]若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足eq \r(a2－6a＋9)＋|b－4|＝0，则该直角三角形的第三边长为( ) A．5 B．eq \r(7) C．4 D．5或eq \r(7) 8．[2024·金凤区期末]若eq \r(3x－2)＝3x－2，则x＝ ． 9．[2024·西城区期中]已知x＝eq \r(25)，y是4的算术平方根，则3x－2y的值为 ． 10．[南充中考]若eq \r(8－x)为整数，x为正整数，则x的值 是 ． eq \f(2,3)或1 11．[2024·龙湾区期中]在草稿纸上计算：①eq \r(13)，②eq \r(13＋23)， ③eq \r(13＋23＋33)，…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写 出下面式子的值：eq \r(13＋23＋33＋43)＝ ，eq \r(13＋23＋33＋…＋263)＝ ． 12．[2024·义乌期中]经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离h(米)和下落时间t(秒)可以用公式t＝eq \r(\f(h,5))来估计． (1)一个物体从125米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 解：(1)当h＝125米时， t＝eq \r(\f(h,5))＝eq \r(\f(125,5))＝5(秒)， 答：一个物体从125米高的塔顶自由下落，落到地面需要5秒； (2)当t＝2秒时，eq \r(\f(h,5))＝2，eq \f(h,5)＝4，解得h＝20， 答：物体下落前离地面20米． (2)因为a＝7，b＝2， 所以eq \r(4a－6b)＝eq \r(28－12)＝eq \r(16)＝4. 解：(1)eq \r(16)＝4，eq \r(4)＝2，则y＝eq \r(2)； (2)存在，x＝0或1或负数； (3)25或36或49或64. 解：(1)－eq \r(2)，eq \r(2)； (2)不能，理由略． $$第2课时　平方根 1．[2024·内江]16的平方根是( ) A．2 B．－4 C．4 D．±4 3．[2024·海州区期中]下列说法正确的是( ) A．9的平方根是3 B．－9的平方根是－3 C．(－2)2没有平方根 D．2是4的一个平方根 4．[2024·通河县期末]一个数的平方根与它本身相等，这个数是( ) A．0 B．2 C．1 D．3 5．[2024·原阳县期中]已知一个正数的两个平方根分别是m＋1和2m－16，则这个正数为( ) A．4 B．36 C．－6 D．±6 6．[2024·遵化期中]下列有关平方根的叙述，正确的个数 是( ) ①如果a存在平方根，那么a＞0 ②如果a有两个不相等的平方根，那么a＞0 ③如果a没有平方根，那么a＜0 ④如果a＞0，那么a的平方根也大于0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．[2024·耒阳期中]如果 的平方根等于±2，那么a＝___． 9．若m－4没有平方根，则m－5__0(填“<”“＝”或“>”)． 10．若－2xmy2与3x4y2m－n是同类项，则2m－n的平方根是_____． 11．数a满足a2＝52，则a＝____；已知2(x＋1)2－49＝1，x的值 是_______． 16 < ±5 4或－6 －2b 13．已知某正数的两个不同平方根分别是m＋4和2m－16，则m的 值为__，这个正数为___． 14．[2024·思明区期末]如果x为有理数，式子2 025－|x＋4| 存在最大值，这个最大值是______． 4 64 2 025 16．[2024·永吉县期末]求x的值． (1)3x2－12＝0； (2)4(2－x)2＝9. 解：(1)3x2－12＝0， 3x2＝12， x2＝4， 解得x＝±2； 17．[2024·蓝田县期末]如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂AB＝1.3 m，BC⊥CD，AD⊥CD，点B到地面CD的距离BC＝DE＝2 m，点B到AD的距离BE＝1.2 m，BE⊥AD于E，求点A到地面CD的距离AD的长为多少米？ 解：(1)因为2a＋1的平方根是±3， 所以2a＋1＝9， 解得a＝4. 因为5a＋2b－2的算术平方根是4， 所以5a＋2b－2＝16， 解得b＝－1， 所以3a－4b＝3×4－4×(－1)＝12＋4＝16， 所以3a－4b的平方根是±4； 19．[2024·赣州期末]根据表格回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 x 16.5 16.6 16.7 16.8 x2 272.25 275.56 278.89 282.24 2．[2024·左权县期中]“eq \f(9,64)的平方根是±eq \f(3,8)”用数学式子表示为( ) A.eq \r(\f(9,64))＝±eq \f(3,8) B.eq \r(\f(9,64))＝eq \f(3,8) C．±eq \r(\f(9,64))＝±eq \f(3,8) D．－eq \r(\f(9,64))＝－eq \f(3,8) 7．[2024·西山区期末]若2＜a＜3，则eq \r(（2－a）2)－eq \r(（3－a）2) ＝( ) A．5－2a B．1－2a C．2a－1 D．2a－5 eq \r(a) ±eq \r(2) 12．[2024·江北区期末]数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简：eq \r(a2)－eq \r(b2)－eq \r(（a－b）2)＝ ． 15．求下列各数的平方根． (1)eq \r(81)； (2)5－2； (3)0.36； (4)(－eq \f(3,2))2. 解：(1)eq \r(81)＝9，平方根为±3； (2)5－2＝eq \f(1,25)，平方根为±eq \f(1,5)； (3)0.36的平方根为±0.6； (4)(－eq \f(3,2))2＝eq \f(9,4)，平方根为±eq \f(3,2). (2)4(2－x)2＝9， (2－x)2＝eq \f(9,4)， 2－x＝eq \f(3,2)或2－x＝－eq \f(3,2)， 解得x＝eq \f(1,2)或x＝eq \f(7,2). 解：由题知，∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \r(1.32－1.22)＝0.5(m)， 所以AD＝ED＋AE＝2＋0.5＝2.5(m)， 答：点A到地面的距离AD的长为2.5米． 18．(1)已知2a＋1的平方根是±3，5a＋2b－2的算术平方根是4，求3a－4b的平方根； (2)已知a，b，c满足|a－eq \r(2)|＋eq \r(b－5)＋(c－3eq \r(2))2＝0，求a，b，c的值． (2)a＝eq \r(2)，b＝5，c＝3eq \r(2). (1)275.56的平方根是___________，eq \r(259.21)＝_______，eq \r(2.788 9)＝_______； (2)设eq \r(28 000)的整数部分为a，求a－142的平方根． 解：(1)±16.6；16.1；1.67； (2)因为16.7＜eq \r(280)＜16.8， 所以167＜eq \r(28 000)＜168， 故a＝167， 则a－142＝167－142＝25， 所以25的平方根为±5. 20．[2024·南昌期中]探究：eq \r(22)＝2，eq \r(0.52)＝________，eq \r(（－5）2)＝________，eq \r(（－2）2)＝2，eq \r(02)＝0.完成上述计算并根据计算结果回答下面问题： (1)观察可知，________； (2)利用你总结的规律计算： eq \r(（2\r(2)－3）2)＋eq \r(（π－3）2)＋2eq \r(2)； (3)已知a，b，c为△ABC 的三边长．化简：eq \r(（a＋b＋c）2)＋eq \r(（a－b－c）2). 解：0.5，5； (1)eq \r(a2)＝|a|； (2)eq \r(（2\r(2)－3）2)＋eq \r(（π－3）2)＋2eq \r(2) ＝3－2eq \r(2)＋π－3＋2eq \r(2) ＝π； (3)因为a，b，c为△ABC 的三边长， 所以a＋b＋c＞0，a－b－c＜0， 所以eq \r(（a＋b＋c）2)＋eq \r(（a－b－c）2) ＝a＋b＋c－(a－b－c) ＝a＋b＋c－a＋b＋c ＝2b＋2c. 21.[阅读理解题][2024·合肥期中]阅读材料： eq \r(1)和eq \r(4)为整数，4－1＝3＝2×1＋1； eq \r(4)和eq \r(9)为整数，9－4＝5＝2×2＋1； eq \r(9)和eq \r(16)为整数，16－9＝7＝2×3＋1； …… 小明发现结论：若eq \r(a)和eq \r(b)为相邻的两个整数，其中a＜b，则 有b－a＝2eq \r(a)＋1.并给出了证明： 因为eq \r(a)和eq \r(b)为相邻的两个整数， 所以eq \r(a)＋1＝eq \r(b). 等式两边同时平方，得a＋2eq \r(a)＋1＝b._____，得___________． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程； (2)若eq \r(a)和eq \r(a＋11)为两个相邻整数，则a＝______； (3)若eq \r(a)和eq \r(a＋216)为相差4的两个整数，求a的值． 解：(1)移项； b－a＝2eq \r(a)＋1； (2)因为eq \r(a)和eq \r(a＋11)为两个相邻整数， 所以由(1)的结论可知 a＋11－a＝2eq \r(a)＋1， 所以eq \r(a)＝5， 所以a＝25. 故答案为：25； (3)因为eq \r(a)和eq \r(a＋216)为相差4的两个整数， 所以eq \r(a)＋4＝eq \r(a＋216)， 等式两边同时平方得 a＋8eq \r(a)＋16＝a＋216， 所以eq \r(a)＝25， 所以a＝625. $$第2课时 实数的运算及大小比较 明考点·识方法 1.[2024·威海]下列各数中，最小的数是() B.-(-2) C. D.-2 2 2.[2024·淄博]下列运算结果是正数的是() B.-32 C.-|-3 D.-3 3.[2023金湾区期末]a,b是实数，它们在数轴上的对应点的 位置如图所示.把a,一a,b,一b按照从小到大的顺序排列， 正确的是(） A.-b<-a<a<b B.-a<-b<a<b b a -1 0 1 C.-b<a<-a<b D.D<-a<a<-b 4.如果x为有理数，式子2024一|x一2024|存在最大值，那 么这个最大值是() 4.2024 B.4048 C.20 D.0 5.[2024·涵江区期中]下列说法： ①若a是正数，那么一a一定是负数 ②0.01,10，-6.67,0，-90，-（←3），--21，-（←40中 的非负整数共有3个 ③一个有理数的绝对值一定比0大 ④若a,b互为相反数，且ab≠0，则--1 ⑤倒数和绝对值都等于本身的数只有1，其中错误的有() A.1个 2个 C.3个 4个 6.[新定义对于实数a,b,定义min{a,b}的含义为：当a<b时， min{a,b}=a,当a>b时，min{a,b}=b,例如：min{1,-2} =-2,已知，minN15,x}=x,minV15,y}=V15,且x和y 为两个连续正整数，则V4x十y的算术平方根为() A.16 B.8 C.4 7.[2023·陕西]在实数2，-1,0，-5，π中，最小的无理 数是 -V5 8.[2024武侯区期中们]已知a,b互为相反数，c,d互为倒数， m的绝对值为3，求m+(a十b)一5cd的值为-2或-8 9.[2024大庆期末]如图，在数轴上，点A,点B分别表示实数 一1,2，过点B作BC⊥AB,且BC=2,连接AC.若以点A为圆心， AC长为半径画弧，交数轴正半轴于点D,则点D对应的实数是 /13-1 B D -2-1012 3 10.[2024·兴庆区期末](1)比较大小： (2) 的倒数为 2 11. [2024·日照]计算：V2-2+V2-2024=1 12.[2024·安徽]我国古代数学家张衡将圆周率取值为V10,祖冲之给 出圈周率的种分数形式的近似值为号比较大小：0之头慎 “>”或“<”)第四章综合测试卷 2．[2024·浏阳期末]下列各数中，没有平方根的是( ) A．2 B．(－2)2 C．－22 D．23 3 4 2c < > < 15．[2024·曾都区期中]有一个数值转换机，原理如下： 当输入的x＝81时，输出的y＝____． －3 无理数集合：{_____…}； 整数集合：{_____…}； 分数集合：{___________…}． ④⑥ ①② ③⑤⑦⑧⑨ 解：(1)如图1中的Rt△ABC即为所求； (2)如图2中的Rt△ABC即为所求． 23.[归纳类比](12分)[2025·青岛期末]小林在学习了估算以后，做了进一步的思考：若一个正数的算术平方根在两个相邻整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根会与其中哪个整数更接近呢？ 要研究这个问题，我们可以先从特例入手，得出猜想，再用字母进行一般验证． (1)2.5的算术平方根在整数1和2之间，且2.5与1和4同样接近，则2.5的算术平方根与整数1和2中的_____更接近； (2)请判断56.5的算术平方根在哪两个相邻整数之间，与其中哪个整数更接近？写出你的判断过程； (3)通过特例的研究，请写出你的猜想，并进行验证． 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1．[2024·姑苏区期中]下列各数：eq \f(22,7)，eq \r(3,9)，5.12，0，eq \f(π,2)，－eq \f(\r(3),2)，2.181 181 118…(两个8之间1的个数逐次多1)．其中无理数 有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．[2024·河北区一模]估计eq \r(17)的值在( ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 4．[2024·长沙期末]若eq \r(（a－4）2)＝a－4，则a的取值范围 是( ) A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4 5．[2024·罗定期末]下列判断：①10的平方根是±eq \r(10)　②3eq \r(6)与3eq \r(－6)是相反数　③0.1的算术平方根是0.01　④(eq \r(3,a))3＝a　⑤eq \r(a4)＝±a2.其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．[2023·扬州]已知a＝eq \r(5)，b＝2，c＝eq \r(3)，则a，b，c的大小关系是( ) A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a 7．[2024·永州]若用初中数学教材上使用的某种计算器进行计算，则按键的结果为( ) eq \x(2ndF) eq \x(\r(　)) eq \x(2) eq \x(7) eq \x(＋) eq \x(4) eq \x(yx) eq \x(3) eq \x(＝) A．21 B．15 C．84 D．67 8．[2024·椒江区期末]已知eq \r(3,2.37)≈1.333，eq \r(3,23.7)≈2.872， 则eq \r(3,2 370)≈( ) A．0.133 3 B．13.33 C．0.287 2 D．28.72 9．[2024·兰州期中]如图，长方形ABCD的边AD＝2，AB＝1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数是( ) A.eq \r(5)＋1 B．eq \r(5)－1 C.eq \r(5) D．1－eq \r(5) 10.[规律探究][2024·平罗县期中]请你观察、思考下列计算过程：因为112＝121，所以eq \r(121)＝11；因为1112＝12 321，所以eq \r(12 321)＝111；…，由此猜想eq \r(12 345 678 987 654 321)＝( ) A．111 111 B．1 111 111 C．11 111 111 D．111 111 111 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 11．[2024·巴中]27的立方根是 ． 12．[2024·中站区期中]若|a|＝5，eq \r(b)＝3，ab＜0，则a＋b＝ ． 13．[2024·洪雅县期末]表示实数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，化简|a－c|＋eq \r(（b－c）2)－eq \r(（b＋a）2)＝ ． 14．填空： (1)比较大小：3 2eq \r(3)； (2)比较大小：－2eq \r(3) －3eq \r(2)； (3)比较大小：－eq \f(\r(5)－1,2) －eq \f(1,2)； (4)已知m，n为两个连续的整数，且m＜eq \r(13)＜n，则mn的立方 根为 ． eq \r(3,12) eq \r(3) 16．[广元中考]如图，实数－eq \r(5)，eq \r(15)，m在数轴上所对应的点 分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D.若m为整数， 则m的值为 ． 三、解答题(共72分) 17．(9分)把下列各数所对应的序号分别填入相应的集合里： ①－(－11)，②0，③－|－2eq \f(3,5)|，④－5.010 100 1…(两个1间的0的个数依次多1)，⑤－15%，⑥π－1，⑦eq \f(22,7)，⑧0.3，⑨－0.314. 18．(10分)计算： (1)[2024·任城区期末]－12 024＋eq \r(（－2）2)－eq \r(3,27)＋|2－eq \r(3)|; (2)[2024·雨花区期末](3.14－π)0－(eq \f(1,2))－2＋|eq \r(3)－1|＋eq \r(16). 解：(1)原式＝－1＋2－3＋2－eq \r(3)＝－eq \r(3)； (2)原式＝1－4＋eq \r(3)－1＋4＝eq \r(3). 19．(9分)已知正数a的两个平方根分别是2x＋1和x－4，且eq \r(3,1＋2b)与eq \r(3,1－3b)互为相反数，求3a－b的平方根． 解：因为正数a的两个平方根分别是2x＋1和x－4， 所以2x＋1＋x－4＝0，解得x＝1， 所以2x＋1＝3，x－4＝－3，所以a＝9. 因为eq \r(3,1＋2b)与eq \r(3,1－3b)互为相反数， 所以1＋2b＋1－3b＝0，解得b＝2.当a＝9，b＝2时， 3a－b＝3×9－2＝27－2＝25， 则3a－b的平方根为±eq \r(25)＝±5. 20．(10分)如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图1中，画一个直角三角形，使它的斜边长为eq \r(13)； (2)在图2中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，直角边长都是无理数． 21．(10分)如图，已知OA＝OB，点C对应的数是1，A是线段CD的中点． (1)数轴上点A所表示的数是______； (2)点E到点A的距离是1，请直接写出点E表示的数______； (3)数轴上点D表示的数是什么？ (4)请你在数轴上画出表示－eq \r(13)的点． 解：(1)－eq \r(5)； (2)1－eq \r(5)或－1－eq \r(5)； (3)由条件可知CA＝DA， 设点D表示的数为x，则 1－(－eq \r(5))＝－eq \r(5)－x， x＝－2eq \r(5)－1， 所以数轴上点D表示的数是－2eq \r(5)－1； (4)如图所示， 则eq \r(32＋22)＝eq \r(13)， 因为在数轴的负半轴上， 所以点F即为表示－eq \r(13)的点． 22．(12分)[2024·永年区期中]阅读下面的文字，解答问题： 大家知道eq \r(2)是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此eq \r(2)的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用eq \r(2)－1来表示eq \r(2)的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为eq \r(2)的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为eq \r(4)＜eq \r(7)＜eq \r(9)，即2＜eq \r(7)＜3， 所以eq \r(7)的整数部分为2，小数部分为eq \r(7)－2. 请解答： (1)eq \r(17)的整数部分是______，小数部分是_____； (2)如果eq \r(5)的小数部分为a，eq \r(13)的整数部分为b，求a＋b的值； (3)已知：10＋eq \r(3)＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x－y的相反数． 解：(1)4；eq \r(17)－4； (2)因为eq \r(4)＜eq \r(5)＜eq \r(9)， 所以2＜eq \r(5)＜3， 所以eq \r(5)的整数部分为2，小数部分为a＝eq \r(5)－2. 因为eq \r(9)＜eq \r(13)＜eq \r(16)， 所以3＜eq \r(13)＜4， 所以eq \r(13)的整数部分为b＝3， 所以a＋b＝eq \r(5)－2＋3＝eq \r(5)＋1； (3)因为1＜eq \r(3)＜2， 所以11＜10＋eq \r(3)＜12， 即10＋eq \r(3)的整数部分为11，小数部分为10＋eq \r(3)－11＝eq \r(3)－1， 所以x＝11，y＝eq \r(3)－1， 所以x－y＝11－(eq \r(3)－1)＝12－eq \r(3). 因为12－eq \r(3)的相反数为eq \r(3)－12， 所以x－y的相反数为eq \r(3)－12. 解：(1)因为1.52＝2.25，1.62＝2.56， 所以1.5<eq \r(2.5)<1.6， 所以2.5的算术平方根与整数2更接近，故答案为：2； (2)因为72＝49，82＝64，且49<56.5<64， 所以56.5的算术平方根在整数7和8之间， 因为7.52＝56.25，7.62＝57.76，且56.25<56.5<56.76， 所以7.5<eq \r(56.5)<7.6， 所以56.5的算术平方根与整数8更接近； (3)猜想：若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根与较大数更接近； 证明：设a<eq \r(x)<a＋1(a，x均大于0，且a为整数)， x＝eq \f(（a＋1）2＋a2,2)＝a2＋a＋eq \f(1,2)， 因为(eq \f(a＋a＋1,2))2＝(a＋eq \f(1,2))2＝a2＋a＋eq \f(1,4)<a2＋a＋eq \f(1,2)， 所以x的算术平方根与a＋1更接近． $$