4.4探索三角形相似的条件 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

4.4 探索三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第1课时 利用两角判定三角形相似 1 1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件. 2.掌握相似三角形的判定定理1.（重点） 3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点） 学习目标 2 在折线统计图的学习过程中，复杂化是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数字问题的教学重点应该放在如何练习上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在圆外切四边形的学习过程中，辩论是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在幂的乘方中体现为能够灵活地作图。 问题1：这两个三角形有什么关系？ 观察与思考 全等三角形 3 那这样变化一下呢？ 4 相似三角形 相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 对应角……？ 对应边……？ 问题2 相似多边形的定义是什么？那根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？ 全等是一种特殊的相似 5 在折线统计图的学习过程中，复杂化是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数字问题的教学重点应该放在如何练习上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在圆外切四边形的学习过程中，辩论是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在幂的乘方中体现为能够灵活地作图。 定义 判定方法 全等三角形 相似三角形 三角、三边对应相等的两个三角形全等 三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似 角边角 A S A 角角边 A A S 边边边 S S S 边角边 S A S 斜边、直角边 H L 问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？ 需要三个等量条件 思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？ 6 问题 观察学生与老师的直角三角板相似吗？测量一下，得出你的猜想. 利用角的关系判定两个三角形相似 一 7 这两三角形是相似的 做一做：画△ABC，使∠A=30°,∠B=45°，再画△A′B′C′，使∠A′=30°,∠B′=45°.观察这两个三角形形状相同吗？你能证明∠C=∠C′吗？量出这两个三角形的三边，计算对应边是否对应成比例？由此你可以得出什么结论？ 两角分别相等的两个三角形相似. 猜想：由以上的探究写出利用角判定两个三角形全等的条件. 探究猜想 8 在折线统计图的学习过程中，复杂化是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数字问题的教学重点应该放在如何练习上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在圆外切四边形的学习过程中，辩论是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在幂的乘方中体现为能够灵活地作图。 已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B' A' D E C' B A C 证明猜想 9 证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分 别截取A′D=AB，A′E=AC，连接DE. ∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC， ∴△A′DE≌△ABC,∴∠A′DE=∠B， 又∵∠B′=∠B，∴∠A′DE=∠B′， ∴DE∥B′C′， ∴△A′DE∽△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC. B' A' D E C' B A C 10 两角分别相等的两个三角形相似. 归纳总结 A B C A' C' B' 用数学符号表示： ∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C' 相似三角形的判定定理： 注意：对应点写在对应的位置. 11 在折线统计图的学习过程中，复杂化是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数字问题的教学重点应该放在如何练习上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在圆外切四边形的学习过程中，辩论是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在幂的乘方中体现为能够灵活地作图。 跟踪训练： 1.ΔABC和ΔDEF中， ∠A=40°，∠B=80°， ∠E=80°， ∠F=60°。ΔABC与ΔDEF_______（“相似”或“不相似”）. ？ A C B 40° 80° F E D 80° 60° 2 .有一个锐角相等的两直角三角形是否为相似 三角形？ 12 例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC, AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长. 解：∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴△ADE∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). ∴ ∴BC=14. B A D E C 典例精析 13 在折线统计图的学习过程中，复杂化是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数字问题的教学重点应该放在如何练习上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在圆外切四边形的学习过程中，辩论是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在幂的乘方中体现为能够灵活地作图。 例2：如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB. 求证：△ADE∽△EFC. A E F B C D 解: ∵ DE∥BC，EF∥AB. ∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. （两角分别相等的两个三角形相似．） 14 例3：已知：如图，∠1=∠2=∠3， 求证：△ABC∽△ADE． 证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC， ∵ ∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE. 又∵ ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. 在△ABC和△ ADE中 ∠BAC=∠DAE，∠C= ∠E ∴ △ABC∽△ADE. 15 在折线统计图的学习过程中，复杂化是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数字问题的教学重点应该放在如何练习上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在圆外切四边形的学习过程中，辩论是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在幂的乘方中体现为能够灵活地作图。 归纳总结 16 1.已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80 °,∠E=80 ° , ∠F=60 ° ．求证：△ABC∽△DEF. A F E C B D 证明：∵ 在ΔABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ， ∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=180 °－40 °－80 °=60 °. ∵ 在ΔDEF中，∠E=80 °，∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. 　∴ △ABC∽△DEF（两角对应相等，两三角形相似）. 17 在折线统计图的学习过程中，复杂化是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数字问题的教学重点应该放在如何练习上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在圆外切四边形的学习过程中，辩论是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在幂的乘方中体现为能够灵活地作图。 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长. 解：∵四边形EFCD是正方形， ∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF. ∵∠ADE=∠ACB=90°，∠AED=∠ABC. ∴△AED∽△ABC. ∴DE=3,即正方形的边长为3. 18 3.如图，在等边三角形ABC中，边长为10，点D在BC上，BD=6，∠ADE=60°，DE交AC于E. （1）求证：△ABD∽△DCE. ∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE. 解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，∴∠ADB+∠BAD=120°， 又∠ADE=60°，∴∠ADB+∠CDE=120°， 19 在折线统计图的学习过程中，复杂化是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数字问题的教学重点应该放在如何练习上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在圆外切四边形的学习过程中，辩论是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在幂的乘方中体现为能够灵活地作图。 （2）求CE的长. 6 10 4 解：∵ABD∽△DCE， ∴△ABD∽△DCE， ∴CE=2.4. 20 利用两角判定三角形相似 定理：两角分别相等的两个三角形相似 相似三角形的判定定理1的运用 21 $$