2.3.2 两点间的距离公式（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.3.2 两点间的距离公式 导学案 （1）掌握平面上两点间的距离公式 （2）会运用坐标法证明简单的平面几何问题 （3）能解决简单的“距离型”最值问题 第一环节 情境引入 情境引入 学校的年度文化节即将来临，学生会策划了一场特别的“校园寻宝”游戏.游戏中，参与者需要根据一系列提示找到隐藏在校园各处的宝藏.而每个提示都是一个谜题，解开谜题后会得到两个地点的坐标（如智慧楼标记为A(5,3)，创新楼标记为B(10,8)，以及一个挑战——计算这两个地点之间的直线距离，作为通往下一个宝藏的线索. 思考：我们知道了校园内两个地点的坐标，我们该如何计算距离呢？ 第二环节 新知探究 引言：我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的. 所以，在解析几何中，最基本的公式自然是：用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式. 探究：如图2.3-2，已知平面内两点，，如何求，间的距离? 练习：若两个点中，其中一个为原点，另一个为，则 思考：除了向量法，还能借助其他知识，推导两点间的距离公式吗？ 思考：“当直线P1P2平行于x轴时”与“当直线P1P2平行于y轴时”，两点间距离公式可以化简为怎样的形式？ 思考：有些代数式子表示的几何意义就是两点间的具体，那么你能识别吗？ 比如式子的几何意义是什么？ 牛刀小试 练1：平面上、两点的距离是 . 练2：已知两点，，则（     ） A．3 B．5 C．9 D．25 练3：已知点为中点，则 ． 练4： 的三个顶点的坐标分别为，则边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 练5： 已知的三个顶点分别为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 例3 已知点，，在轴上求一点，使，并求的值． 跟踪练习：已知点，，在轴上求一点，使，并求的值． 归纳总结：两点间的距离公式求两点间距离的方法： 第1步： ，若某点坐标未知，就根据题意设点的坐标 第2步：代入两点间距离公式： 两种特殊情况：若坐标的纵坐标相等，则 若坐标的横坐标相等，则 第3步：计算化简即可求得距离. 例4用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 转化： 思考：如图，若设点的坐标为，点的坐标为，如何利用平行四边形的性质得到点的坐标？ 师生归纳总结：“坐标法”解决平面几何问题的四个基本步骤： 第一步： ：建立适当的平面直角坐标系； 第二步： ：用坐标表示点、距离等相关量； 第三步： ：进行相关代数运算； 第四步： ：把代数运算结果“翻译”成几何结论. 跟踪练习：换一个建平面直角坐标系的方法，再证明一次例题4 思考：体会例题4中两种不同建系方法中证明过程，说说适当建立坐标系，对证明的重要性? 思考：如何建立适当的平面直角坐标系？ 课后练习：如右图所示，建立坐标系，该建系方法是否遵循了以上三个建系原则？ 课后同学们尝试再证明一次, 体会证明过程，并比较. 回顾：在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题． 思考：比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会? 题型一：两点间的距离公式求两点间的距离 例题：已知，，，则的周长为 ． 方法总结：① ：若有点的坐标未知，先求出点坐标； ② ：代入两点间的距离公式即可求得两点间的距离. 题型二：利用两点间的距离公式求参数值 例题：已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为________ 方法总结：① ：若有点的坐标未知，引入参数设点的坐标； ② ：利用已知等式建立关于参数的方程. 题型三：两点距离公式与其他知识交汇 例题1：（1）直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（　　） A． B． C．3 D． （2）若动直线定点A和动直线定点B， 求. 3、若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 方法总结：先利用已知条件求出点的 ，或者 整体的值，再代入两点间的距离公式求距离. 题型四：“距离型”的最值问题 例题：（1）已知，求的最小值. 方法总结：先用两点的距离公式求距离，表示成只含 的式子，再利用 的观点求最值. （2）函数的最小值为____________． 方法总结：双根号和的最值：理解式子的几何意义，转化为两个点的“距离和”问题，动点P到两定点A、B的距离和大于等于定点的距离：_________________________________________ （3）已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)．试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小. 方法总结：同侧距离和最小值：先求两定点A、B中A点关于直线对称点，则：_______________ （4）已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)．试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大. 预设：如图，设B关于l的对称点为B′(m，n)，则＝－ 且3·－－1＝0，解得B′(3，3)．又A(4，1) 此时|AQ|－|BQ|=|AQ|－|B′Q|≤|AB′| 又|AB′|=，故所求最大值为 方法总结：异侧距离差最小值：先求两定点A、B中A点关于直线对称点，则：_______________ 题型五：由顶点坐标判断三角形的形状 例题：已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状；(2)求的面积. 方法总结：① ：利用三角形顶点坐标求出三条边的长度； ② ：确定距离是否相等，是否满足勾股定理等关系，从而可以判断形状. 1．（24-25高二上·全国·课后作业） 已知三角形的三个顶点为，则过点的中线的长为（     ） A．2 B． C． D．3 2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，且，则 ． 3．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习） 函数的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 1．两点间的距离公式 平面上任意两点，间的距离公式为 . 特别地，原点与任一点的距离 . 2．中点坐标公式 平面上任意两点，的中点为的坐标 . 3.利用 “坐标法”解决平面几何问题的基本步骤 第一步：建立____________，用_______表示有关的量 第二步：进行有关_______运算 第三步：把代数运算的结果“_________”成几何结论 学科网（北京）股份有限公司1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.2 两点间的距离公式 导学案 （1）掌握平面上两点间的距离公式 （2）会运用坐标法证明简单的平面几何问题 （3）能解决简单的“距离型”最值问题 第一环节 情境引入 情境引入 学校的年度文化节即将来临，学生会策划了一场特别的“校园寻宝”游戏.游戏中，参与者需要根据一系列提示找到隐藏在校园各处的宝藏.而每个提示都是一个谜题，解开谜题后会得到两个地点的坐标（如智慧楼标记为A(5,3)，创新楼标记为B(10,8)，以及一个挑战——计算这两个地点之间的直线距离，作为通往下一个宝藏的线索. 思考：我们知道了校园内两个地点的坐标，我们该如何计算距离呢？ 第二环节 新知探究 引言：我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的. 所以，在解析几何中，最基本的公式自然是：用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式. 探究：如图2.3-2，已知平面内两点，，如何求，间的距离? 学生：从平面向量的知识入手，考虑求法： 如图，由点，，得． 于是，. 练习：若两个点中，其中一个为原点，另一个为，则 学生：应用自己推导出来的两点间的距离公式， 代入计算，得到两点间的距离的特殊情况： 平面坐标系上任意一点到原点的距离公式：. 思考：除了向量法，还能借助其他知识，推导两点间的距离公式吗？ 学生：回顾初中勾股定理的知识，进行做图求解： 如图，在中，易知， 所以|P1P2|＝. 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝. 思考：“当直线P1P2平行于x轴时”与“当直线P1P2平行于y轴时”，两点间距离公式可以化简为怎样的形式？ 当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 思考：有些代数式子表示的几何意义就是两点间的具体，那么你能识别吗？ 比如式子的几何意义是什么？ 牛刀小试 练1：平面上、两点的距离是 . 解析：，故答案为： 练2：已知两点，，则（     ） A．3 B．5 C．9 D．25 解析：因为，，则. 故选：B 练3：已知点为中点，则 ． 解析：由于是中点，所以，即，所以. 故答案为： 练4： 的三个顶点的坐标分别为，则边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 解析：因为，，所以边的中点的坐标为. 所以，故选：A 练5： 已知的三个顶点分别为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 解析：由题意知，，，故的周长为. 故选：C． 例3 已知点，，在轴上求一点，使，并求的值． 预设： 设所求点为，则 ， ． 由，得 解得． 所以，所求点为，且 ． 跟踪练习：已知点，，在轴上求一点，使，并求的值． 预设：解：设所求点为，则： ， ， 由，得，解得， 当时，所求点为，且； 当时，所求点为，且. 归纳总结：两点间的距离公式求两点间距离的方法： 第1步：确定两点的坐标，若某点坐标未知，就根据题意设点的坐标 第2步：代入两点间距离公式： 两种特殊情况：若坐标的纵坐标相等，则 若坐标的横坐标相等，则 第3步：计算化简即可求得距离. 例4用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 转化： 证明：如图2.3-4，四边形是平行四边形．以顶点为原点，边所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 思考：如图，若设点的坐标为，点的坐标为，如何利用平行四边形的性质得到点的坐标？ 解析： 在中，点的坐标是，设点的坐标为，点的坐标为，由平行四边形的性质，得点的坐标为． 由两点间的距离公式，得，，，． 所以，． 所以， 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 师生归纳总结：“坐标法”解决平面几何问题的四个基本步骤： 第一步：一建：建立适当的平面直角坐标系； 第二步：二表：用坐标表示点、距离等相关量； 第三步：三算：进行相关代数运算； 第四步：四翻译：把代数运算结果“翻译”成几何结论. 跟踪练习：换一个建平面直角坐标系的方法，再证明一次例题4 预设：证明：以对角线的交点为原点，建立如图所示坐标系，在中，设由平行四边形的性质，得. 由两点间的距离公式，可得 所以 所以 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 思考：体会例题4中两种不同建系方法中证明过程，说说适当建立坐标系，对证明的重要性? 预设：不同的建系，相关量的表示不同，证明过程的计算量不同 思考：如何建立适当的平面直角坐标系？ 总结建系的三大原则： 原则一：让尽可能多的点落在坐标轴上； 原则二：条件中有两条线垂直，一般的这两条线作为坐标轴 原则三：轴对称图形，对称轴一般作为坐标轴 课后练习：如右图所示，建立坐标系，该建系方法是否遵循了以上三个建系原则？ 课后同学们尝试再证明一次, 体会证明过程，并比较. 回顾：在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题． 思考：比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会? 题型一：两点间的距离公式求两点间的距离 例题：已知，，，则的周长为 ． 预设：，， ， 的周长为. 方法总结：①求坐标：若有点的坐标未知，先求出点坐标； ②代公式：代入两点间的距离公式即可求得两点间的距离. 题型二：利用两点间的距离公式求参数值 例题：已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为________ 预设：因为点与点之间的距离为5，则，整理得，解得或． 方法总结：①设点：若有点的坐标未知，引入参数设点的坐标； ②建方程：利用已知等式建立关于参数的方程. 题型三：两点距离公式与其他知识交汇 例题1：（1）直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（　　） A． B． C．3 D． 预设：由得，即， 由得，即， 则|AB|. 故选：D （2）若动直线定点A和动直线定点B， 求. 预设：由可得：，由可得， 所以定点， 直线可化为，由可得， 所以定点， 3、若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 预设：由题意得＝2，即b－a＝2. 所以. 故选：D 方法总结：先利用已知条件求出点的坐标，或者整体的值，再代入两点间的距离公式求距离. 题型四：“距离型”的最值问题 例题：（1）已知，求的最小值. 预设：， 当时， 方法总结：先用两点的距离公式求距离，表示成只含一个未知数的式子，再利用函数的观点求最值. （2）函数的最小值为____________． 预设：， 函数y表示点到点和的距离之和. . 故答案为： 方法总结：双根号和的最值：理解式子的几何意义，转化为两个点的“距离和”问题，动点P到两定点A、B的距离和大于等于定点的距离： （3）已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)．试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小. 预设：如图，设C关于l的对称点为C′(a，b)，则＝－， 且3·－－1＝0，解得C′(－1，1)．又A（4,1）， 当P在直线上运动式，|AP|＋|CP|≥|AC|=. 方法总结：同侧距离和最小值：先求两定点A、B中A点关于直线对称点，则： （4）已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)．试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大. 预设：如图，设B关于l的对称点为B′(m，n)，则＝－ 且3·－－1＝0，解得B′(3，3)．又A(4，1) 此时|AQ|－|BQ|=|AQ|－|B′Q|≤|AB′| 又|AB′|=，故所求最大值为 方法总结：异侧距离差最小值：先求两定点A、B中A点关于直线对称点，则： 题型五：由顶点坐标判断三角形的形状 例题：已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状；(2)求的面积. 预设：因为 ，， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 方法总结：①求距离：利用三角形顶点坐标求出三条边的长度； ②找距离关系：确定距离是否相等，是否满足勾股定理等关系，从而可以判断形状. 1．（24-25高二上·全国·课后作业） 已知三角形的三个顶点为，则过点的中线的长为（     ） A．2 B． C． D．3 解析：由题得线段的中点坐标为，故过点的中线的长为．故选：B 2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，且，则 ． 解析：因为且，所以，解得 3．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ． 解析：点在轴上，设，点与点的距离等于13， ，解得或，点的坐标为或， 故答案为：或． 4．（2025高三·全国·专题练习） 函数的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 解析：由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和， 如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小， 则．故选：B 5．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 解析：（1）由已知条件得， ,, 则,所以△为直角三角形； （2）设的中点坐标为，则边上的中线, 由中点坐标公式可得，，即的坐标为， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 1．两点间的距离公式 平面上任意两点，间的距离公式为 . 特别地，原点与任一点的距离 . 【答案】 2．中点坐标公式 平面上任意两点，的中点为的坐标 . 【答案】 3.利用 “坐标法”解决平面几何问题的基本步骤 第一步：建立____________，用_______表示有关的量 第二步：进行有关_______运算 第三步：把代数运算的结果“_________”成几何结论 【答案】 学科网（北京）股份有限公司1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$