专题02 二次根式的运算（专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题02 二次根式的运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的乘除运算 1 题型二、二次根式的加减运算 4 题型三、二次根式的四则混合运算（常考点） 6 题型四、已知字母的值化简求值（重点） 11 题型五、已知条件式化简求值 15 题型六、分母有理化（难点） 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次根式的乘除运算 1．计算等于（    ） A．4 B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）化简：① ；② ． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘法运算等知识点，掌握二次根式的性质以及乘法运算法则成为解题的关键． ①根据二次根式的性质化简即可；②根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：①或； ②． 故答案为：或，． 4．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）计算： = ． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，再计算二次根式的乘法，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 故答案为：x 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）化简： ． 【分析】本题考查二次根式的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用二次根式的除法法则计算后再进行化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算，则中的数是 ． 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘法运算解答即可求解，掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴中的数是， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质可得：原式，根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 8．（24-25八年级下·广东汕头·期末）简化： 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先利用二次根式性质化简，再变除法为乘法，约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 题型二、二次根式的加减运算 9．计算的结果是（   ） A． B． C．4 D． 【分析】本题考查了二次根式的化简及其加减法，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先对化简，然后按照二次根式的加减法进行计算，然后即可求解； 【详解】解： ； 故选：B； 10．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式的加减运算，根据二次根式的性质将化简为，再与合并即可．掌握相应的运算法则、性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴的值是． 故选：B． 11．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查二次根式的加减，根据二次根式加减法法则进行计算后再判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，故此选项符合题意； B、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能计算，原选项计算错误，故此选项不符合题意； D、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 12．若，则 ． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．先合并同类二次根式，然后把两边平方即可得的值． 【详解】解：， ， ． 故答案为：8． 13．计算： (1)． (2)． 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算顺序是解题关键． （1）先对每一项进行化简，再合并同类二次根式即可． （2）先对每一项进行化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型三、二次根式的四则混合运算（常考点） 14．（24-25八年级下·广西防城港·期末）化简的结果是（      ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，正确运用运算律及公式是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则求解即可． 【详解】解：原式， 故选：A． 15．下列计算中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的乘除法则对A、C选项进行判断；根据二次根式的减法法则对B选项进行判断；运用完全平方公式结合二次根式的运算法则对D选项进行判断． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项错误，符合题意； D、，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 16．如表，甲、乙、丙三人手中各有一张卡片，卡片上分别写有一个算式，在这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（   ） 甲： 乙： 丙： A．3张 B．2张 C．1张 D．0张 【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，有理数的定义，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照运算法则求出每个算式的结果，根据有理数的定义“整数和分数统称为有理数”判断即可． 【详解】解：∵，5是有理数， ，是有理数， ，是有理数， ∴计算结果是有理数的卡片有3张， 故选：A． 17．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ． 故选：B． 18．计算： （1） ； （2） ． 【分析】本题考查了二次根式的加减、利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加法即可得解； （2）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的减法即可得解． 【详解】解：（1）， 故答案为：，； （2）， 故答案为：，． 19．计算： (1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简各二次根式后合并同类二次根式； （2）根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算题： (1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可得解； （2）先根据二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的除法即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 21．（23-24八年级上·宁夏·期中）求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、零指数幂与负整数指数幂的运算，解题的关键是掌握二次根式的化简法则（将二次根式化为最简二次根式）、平方差公式 及幂的运算法则 ． （1） 先将 、 化为最简二次根式（，），再合并同类二次根式； （2） 直接运用平方差公式展开，计算后化简结果； （3） 先利用乘法分配律将 分别与 、 相乘，化简各二次根式，再将 化为最简二次根式，最后合并同类二次根式； （4） 先化简 为 ，计算分子中同类二次根式的和，再进行除法运算，同时计算零指数幂 和负整数指数幂 ，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 22．墨迹“□”挡住了二次根式运算“”的一部分． (1)若“□”覆盖的是，嘉琪进行如下计算： ………① …② …………………③ ………………………………④ 嘉琪是从第___________步开始出错的，正确的结果应该是___________； (2)若原式的计算结果为，求墨迹覆盖的数． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）第②步的运算顺序和二次根式的减法运算错误，应该先计算二次根式的除法运算，然后合并同类二次根式； （2）设“□”覆盖的数为，则，然后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：嘉琪是从第②步开始出错的，正确的结果应该； 故答案为：②，； （2）解：设“□”覆盖的数为，则， ， ， 即墨迹覆盖的数为． 题型四、已知字母的值化简求值（重点） 23．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 24．（24-25八年级上·河北唐山·期末）已知，代数式的值为 ． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，把所求式子可变形为，进一步变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 25．先化简，再求代数式的值，其中 【分析】本题考查了二次根式的运算、分式的化简求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先将分式化简，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 26．先化简，再求值：，其中． 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将括号内的分式通分并计算，然后将除法化为乘法并约分，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 27．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 【分析】本题主要考查了整式化简求值，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，分式混合运算法则． （1）先根据整式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可； （2）先根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式． （2）解： ， 当，时，原式． 28．（24-25八年级下·新疆·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，正确计算是解题的关键： （1）先求出，再代入求值即可； （2）先求出，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 29．先化简，再求值：，其中． 【分析】先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则计算，然后去括号合并化简，再把a的值代入计算． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适用． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 题型五、已知条件式化简求值 30．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 31．已知，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 根据代入求解即可． 【详解】 原式 ． 故选：D． 32．已知，则的值为（） A． B． C．2024 D．2025 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算．本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得； 解得． ． 把代入得 ， 解得． ∴． 故选：B． 33．（24-25八年级下·广西·期中）已知，则的值为 ． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 34．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 35．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 【分析】本题考查了二次根式化简求值，熟练掌握平方差公式，二次根式性质，是解题的关键． 计算，把条件式代入，即得结果式的值． 【详解】解：∵ ， 且， ∴． 题型六、分母有理化（难点） 36．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式的化简，平方差公式，通过分母有理化，将原式中的分母根号消去，转化为有理数形式． 【详解】解： ． 故选A． 37．（24-25八年级下·重庆巫山·期末）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查了分母有理化的应用，解题的关键是熟练运用分母有理化的方法对式子进行变形、计算和比较． 依次对四个结论进行分析，通过分母有理化、根式的性质及大小比较方法来判断对错． 【详解】①由题意，，则．分子分母同乘，得：等式成立，①正确； ②     因为，根据分子相同，分母越大分数越小， 所以，即， ②错误； ③交叉相乘验证等式：左边，右边．展开后合并同类项得，等式不成立，③错误； ④每一项可以表示为：， ， ， ④错误． 综上，仅①正确， 故答案为：A． 38．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简 ． 【分析】根据提供的解题方法，解答即可． 本题考查了分母有理化，利用平方差公式正确找到有理化因式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 39．化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果 ①________； ②________． (2)应用：化简． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练的进行计算是解题的关键． （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）先进行分母有理化，然后进行计算即可得到答案； 【详解】（1）解：①； ② （2）解：原式 ． 40．小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值是解题的关键． （）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （）将式子中的每一个分式进行分母有理化，即可求解； （）仿照题例求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 41．阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ．； ．． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照b式化简＝______； (2)化简：； (3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化： （1）根据分母有理化的方法计算即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）根据分母有理化的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：能， ． 1．（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，完全平方公式的变形求值，根据，可得，再由可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）照如图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为 ． 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 将代入程序框图，然后利用二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】若输入x的值为， ∴ ． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，计算负整数指数幂，再算乘法，然后算加法即可； （2）先化简，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算 (1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； 利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2) (3)已知，求代数式的值． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式，准确计算． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式性质进行计算即可； （3）先将代数式变形为，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ． 6．（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等方法化简分式，再代入数值计算． 先对括号内的分式进行通分，计算减法；将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解；约分后得到最简分式；最后将代入最简分式，求出结果． 【详解】 当时，原式． 7．（2025·青海西宁·三模）先化简，再求值其中． 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．先计算括号内的分式的减法，再将除法转化为乘法，然后利用分式的乘法运算法则化简原式，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 8．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． (1)将下列二次根式分母理化：___________，___________ (2)甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错    B．甲错乙对    C．甲、乙全对    D．甲、乙全错 (3)已知有理数a、b满足求a、b的值． 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． （1）根据乘以有理化因式或根据平方差公式因式分解化简计算即可； （2）根据（1）中方法进行判断即可； （3）根据方法一，进行分母有理化计算得出，根据为有理数，进而即可求得的值，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：，； （2）根据（1）中的方法进行计算可知，甲、乙都对 故选：C． （3）解： 是有理数 ． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）； 的有理化因式是______． (2)把下列式子分母有理化：． (3)化简：． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式，解决本题的关键是读懂材料中所给的解题思路，按照材料中的解题思路进行计算． （1）因为，所以的有理化因式是，因为，所以的有理化因式是； （2）把的分子、分母同时乘以可得：原式，利用完全平方公式和平方差公式把分子、分母分别展开，再约去分子、分母的公约数即可； （3）把每一项的分子、分母分别乘以分母的有理化因式，可得：原式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是， ， 的有理化因式是， 故答案为：，； （2） ； （3） ． 10．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则=这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： _______，_______； (2)m是正整数，，且，求m． 【分析】本题考查二次根式的混合运算和整体思想，掌握二次根式的混合运算，特别是分母有理化的方法是解题的关键． （1）采用分母有理化，结合二次根式的混合运算的法则，计算即可； （2）先利用分母有理化，结合二次根式的混合运算化简a和b，再利用完全平方公式变形求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ； ， =10． 故答案为：；10； （2）， ， ， 即 ， 又m是正整数，， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的乘除运算 1 题型二、二次根式的加减运算 2 题型三、二次根式的四则混合运算（常考点） 2 题型四、已知字母的值化简求值（重点） 4 题型五、已知条件式化简求值 4 题型六、分母有理化（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次根式的乘除运算 1．计算等于（    ） A．4 B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）化简：① ；② ． 4．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）计算： = ． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）化简： ． 6．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算，则中的数是 ． 7．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 8．（24-25八年级下·广东汕头·期末）简化： 题型二、二次根式的加减运算 9．计算的结果是（   ） A． B． C．4 D． 10．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 11．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．若，则 ． 13．计算： (1)． (2)． 题型三、二次根式的四则混合运算（常考点） 14．（24-25八年级下·广西防城港·期末）化简的结果是（      ） A． B． C． D． 15．下列计算中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 16．如表，甲、乙、丙三人手中各有一张卡片，卡片上分别写有一个算式，在这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（   ） 甲： 乙： 丙： A．3张 B．2张 C．1张 D．0张 17．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 18．计算： （1） ； （2） ． 19．计算： (1)； (2) 20．计算题： (1)； (2)． 21．（23-24八年级上·宁夏·期中）求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 22．墨迹“□”挡住了二次根式运算“”的一部分． (1)若“□”覆盖的是，嘉琪进行如下计算： ………① …② …………………③ ………………………………④ 嘉琪是从第___________步开始出错的，正确的结果应该是___________； (2)若原式的计算结果为，求墨迹覆盖的数． 题型四、已知字母的值化简求值（重点） 23．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 24．（24-25八年级上·河北唐山·期末）已知，代数式的值为 ． 25．先化简，再求代数式的值，其中 26．先化简，再求值：，其中． 27．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 28．（24-25八年级下·新疆·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 29．先化简，再求值：，其中． 题型五、已知条件式化简求值 30．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 31．已知，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 32．已知，则的值为（） A． B． C．2024 D．2025 33．（24-25八年级下·广西·期中）已知，则的值为 ． 34．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 35．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 题型六、分母有理化（难点） 36．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级下·重庆巫山·期末）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 38．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简 ． 39．化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果 ①________； ②________． (2)应用：化简． 40．小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． 41．阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ．； ．． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照b式化简＝______； (2)化简：； (3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 1．（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）照如图所示的操作步骤，若输入x的值为，则输出的值为 ． 3．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）计算： (1)； (2)． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算 (1)； (2)． 5．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2) (3)已知，求代数式的值． 6．（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 7．（2025·青海西宁·三模）先化简，再求值其中． 8．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． (1)将下列二次根式分母理化：___________，___________ (2)甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错    B．甲错乙对    C．甲、乙全对    D．甲、乙全错 (3)已知有理数a、b满足求a、b的值． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）； 的有理化因式是______． (2)把下列式子分母有理化：． (3)化简：． 10．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则=这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： _______，_______； (2)m是正整数，，且，求m． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$