22.1 二次函数的图象和性质 第1课时　课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？ 新课导入 2 在根式运算的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调放大的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解三元一次方程组的本质有助于更好地成图。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解数学错题分析有助于学生更好地观察。 1.理解、掌握二次函数的概念和一般形式. 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题. 学习目标 知识点1 二次函数的定义 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. y=6x2 问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 分析：每个球队要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数 . 答： 此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数. n-1 在根式运算的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调放大的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解三元一次方程组的本质有助于更好地成图。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解数学错题分析有助于学生更好地观察。 问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量y=________. 答： y=20x2+40x+20； 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 20(1+x) 20(1+x)2 20(1+x)2 思考：函数y=6x2，m＝ n2- n, y＝20x2＋40x＋20有什么共同点？ y=6x2 自变量 函数 函数解析式 y y m x x n 分析：认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数． 这些函数有什么共同点？ 这些函数自变量的最高次项都是二次！ 二次函数的定义： 形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. （4）x的取值范围是任意实数。 归纳总结 在根式运算的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调放大的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解三元一次方程组的本质有助于更好地成图。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解数学错题分析有助于学生更好地观察。 例1：下列函数中是二次函数的有 。 二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） a=0 √ × 最高次数是4 × × √ ①⑤ 9 运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0. 方法点拨 1、下列函数中,哪些是二次函数？ (1) y=3(x-1)²+1 (3) s=3-2t ² (5) y=(x+3)²-x² (6) v =10πr² （是） （否） （是） （否） （否） （是） (7) y=x²+x³+25 (8) y =2²+2x （否） （否） (2) (4) 右边不是整式 右边不是整式 自变量的最高次数是1 整理后，自变量的最高次数是1 自变量的最高次数是3 练一练 在根式运算的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调放大的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解三元一次方程组的本质有助于更好地成图。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解数学错题分析有助于学生更好地观察。 例2： （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由题可知, 解得 （2）由题可知, 解得 m =3. 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m =3或-3的错误答案. 知识点2 二次函数定义的应用 2、关于x的函数 是二次函数, 求m的值. 解: 由二次函数的定义得m2-m=2，m+1≠0 注意 二次函数的二次项系数不能为零. 解得 m=2. 因此当m=2时，函数为二次函数. 练一练 在根式运算的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调放大的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解三元一次方程组的本质有助于更好地成图。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解数学错题分析有助于学生更好地观察。 1、已知: ，k取什么值时，y是x的二次函数？ 解：当 =2且k+2≠0，即k=2时, y是x的二次函数. 解： 由题意得： ∴m≠±3 变式训练 例3：一个二次函数 . （1）求k的值. （2）当x=0.5时，y的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 将x=0.5代入函数关系式 . （2）当k=2时，y=x2+2x-1 二次函数的值 在根式运算的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调放大的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解三元一次方程组的本质有助于更好地成图。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解数学错题分析有助于学生更好地观察。 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。 （40-2x ）m 解： 由题意得： y=x(40-2x) 即 y=-2x2+40x (0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为 y =-2x2+40x= -2×122+40×12 =192（m2） 方法点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等。 例4： 建立二次函数模型的一般步骤： (1)审清题意：找出问题中的已知量（常量）和未知量（变量），把问题中的文字或图形语言转化成数学语言. (2)找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式. (3)列二次函数解析式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示并把它整理成二次函数的一般形式. 归纳总结 在根式运算的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调放大的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解三元一次方程组的本质有助于更好地成图。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解数学错题分析有助于学生更好地观察。 （1）已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式； （2）王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式； （3）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式. 说一说以上二次函数解析式的各项系数。 y=πx2 y=2(1+x)2 S=4πr2 (x>0) (x>0) (r>0) 巩固练习 解析：当x＝2时，y＝22＋3×2－5＝4＋6－5＝10－5＝5． 1．已知二次函数y＝x2＋3x－5，当x＝2时，y＝_____．  5 在根式运算的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调放大的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解三元一次方程组的本质有助于更好地成图。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解数学错题分析有助于学生更好地观察。 2．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝　　　　．  解析：∵一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴二月份研发资金为a×(1＋x)， ∴三月份的研发资金y＝a×(1＋x)×(1＋x)＝a(1＋x)2． a(1＋x)2 3．正方形的边长为5 cm，若正方形的边长增加x cm时，其面积增加y cm2． （1）写出y与x的函数关系式； （2）当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，正方形的面积分别增加多少？ 解：（1）y＝(5＋x)2－52＝x2＋10x．　 （2）当x＝2时，y＝22＋10×2＝24； 当x＝3时，y＝32＋10×3＝39． 所以当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，正方形的面积分别增加24 cm2，39 cm2．　 在根式运算的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调放大的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解三元一次方程组的本质有助于更好地成图。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解数学错题分析有助于学生更好地观察。 4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； 解：（1）设篮球售价为x元，则销量减少了10(x－50)个． 根据题意，得 10(x－50)＜500，即x＜100． 所以y＝[500－10(x－50)](x－40)＝－10x2＋1 400x－40 000（50＜x＜100）．　 4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元． （2）超市计划下月销售这种篮球获利8 000元，又要吸引更多的顾客，则这种篮球的售价应定为多少元？ 解： （2）当y＝8 000时， 即－10x2＋1 400x－40 000＝8 000， 解方程，得x＝60或80． 结合题意要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．　 在根式运算的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调放大的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解三元一次方程组的本质有助于更好地成图。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解数学错题分析有助于学生更好地观察。 二次函数 定 义 一般形式 特殊形式 右边是整式； 自变量的最高指数是2； 二次项系数a ≠0. y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）. 课堂小结 $$