学易金卷：高二数学上学期第一次月考卷（湘教版2019选择性必修第一册，数列+直线）

1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+直线方程。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知经过 ( 3,2), (2, )A B m 两点的直线的斜率为 1 2  ，则实数m的值为（ ） A. 3 2  B. 1 2  C. 1 2 D. 5 2 2．已知等差数列 na 的公差为 2 ，若 1a ， 3a ， 4a 成等比数列， nS 是 na 的前 n项和，则 9S 等于（ ） A. 8 B. 6 C. 10 D. 0 3．直线 l的方程为： ( 2) (1 3 ) 1a y a x    ，若直线 l不经过第一象限，则实数 a的取值范围为（ ） A. 2a  B. 1 2 3 a  C. 2a  D. 1 3 a  4．等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 11S 为定值时 2 72 ka a a  也是定值，则 k的值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 不能确定 5．已知点  2, 3A  ，  3, 2B   ，若过点  1,1 的直线与线段 AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A.  3, 4, 4        B.   3 , 4 , 4        C. 3 ,4 4     D. 34, 4     6．如图所示，已知  2,0A  ，  2,0B ，  0,2C ，  1,0E  ，  1,0F ，一束光线从 F 点出发射到 BC上 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 的D点经 BC反射后，再经 AC反射，落到线段 AE上（不含端点），则直线FD的斜率的取值范围是（ ） A.  , 2  B.  4, C.  2, D.  1, 7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第 三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若此数 列被 2除后的余数构成一个新数列 nb ，则数列 nb 的前 2026项的和为（ ） A. 1350 B. 676 C. 1351 D. 1352 8．过定点A的直线  1 2 0a x y    与过定点 B的直线  1 5 2 0x a y a     交于点 P（ P与 A B､ 不 重合），则 PAB 面积的最大值为（ ） A. 4 B. 9 2 C. 2 D. 3 2 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线2 1 0x y   在 x轴上的截距是 1 B. 直线 0x ky  和 2 3 8 0x y   的交点为 P，且 P在直线 1 0x y   上，则 k的值是 1 2  C. 设点 ( , )M x y 是直线 2 0x y   上的动点，O为原点，则 OM 的最小值是 D. 直线  1 2: 3 1 0 : 2 1 1 0L ax y L x a y      ， ，若 1 2/ /L L ，则 3a   或 2 10.已知数列 na 满足 11 2 2nn na a    ，且 1 4a  ，则下列正确的有（ ） A. 3 32a  B. 数列 1 na n      的前 n项和为 12n C. 数列 2log n a n       的前 n项和为   2 2log 1 2 n nn   3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 D. 若数列 1 4n n na a        的前 n项和为 nT ，则 1 1 12 4n T  11．对于数列 na （ Nna  ），定义 kb 为 1a ， 2a ，…， ka 中最大值（ 1,2, ,k n   ）（ Nn  ），把数列 nb 称为数列 na 的“M值数列”.如数列 2，2，3，7，6的“M值数列”为 2，2，3，7，7，则（ ） A. 若数列 na 是递减数列，则 nb 为常数列 B. 若数列 na 是递增数列，则有 n na b C. 满足 nb 为 2，3，3，5，5的所有数列 na 的个数为 8 D. 若   1 ( )2 Nn na n    ，记 nS 为 nb 的前 n项和，则 100100 2 (2 1) 3 S   第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知 na 是公比为 1 2 的等比数列，若 1 4 7 97 100a a a a     ，则 3 6 9 99a a a a     ______. 13．若直线 l过点  3,2 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线 l的方程为______． 14．已知数列{ }na 满足  *1 11 1,2 1 n n n ana a n n na      N ，若不等式 2 10 1 0nan n    对任意的 *nN 都成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知 ABCV 中，  2,1A ，  3,4B ，BC边所在直线方程为 2 5 0x y   ，AC边上的高所在直线方程 为 7 0x y   . （1）求 AC边所在直线的方程； （2）求 BC边的中线所在直线的方程. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 16．（15分）在等差数列{ }na 中， 3 97, 5,a a   { }na 的前 n项的和为 nS ． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）求 nS 取最大值时 n的值； （3）设 1 2 3| | | | | | | |n nT a a a a    ，求 nT ． 17．（15分） 已知直线 1 : 3 0l x y   和直线 2 : 2 1 0l x y   交于点C，求满足下列条件的一般式直线方程. （1）过点C且与直线 4 1 0x y   平行； （2）过点C且到原点的距离等于 2； （3）直线 1l 关于直线 2l 对称的直线. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 18．（17分） 如图，将一块等腰直角三角板 ABO置于平面直角坐标系中，已知 1AB OB AB OB  ， ，点 1 1( ) 2 4 P ， 是三角板内一点，现因三角板中部分（ POBV 内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经 过 P的任意一直线MN 将其锯成 AMN ． （1）求直线MN的斜率的取值范围； （2）若 P点满足 1 3 MP PN   ，这样的直线MN 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时 直线MN 的方程； （3）如何确定直线MN 的斜率，才能使锯成的 AMN 的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 19．（17分） 在数列 na 中，按照下面方式构成“次生数列”     1 1 2 1 2 3 1 2 3: , min , , min , ,nb b a b a a b a a a   ，…，   1 2min , , , 2n nb a a a n  ，其中   1 2min , , , 2ia a a i n  表示数列 1 2, , , ia a a 中最小的项. （1）若数列 na 中各项均不相等，只有 4项， 2 1a  ，且   1,2,3,4 1,2,3,4na n  ，请写出 na 的 所有“次生数列” nb ； （2）若 na 满足 1 42, 64a a   ，且 n a n       为等比数列， na 的“次生数列”为 nb . （i）求 3 10b b 的值； （ii）求 nb 的前 n项和 nS . 试题 第 1页（共 6页） 试题 第 2页（共 6页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … 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的直线与线段 AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A.  3, 4, 4        B.   3 , 4 , 4        C. 3 ,4 4     D. 34, 4     6．如图所示，已知  2,0A  ，  2,0B ，  0,2C ，  1,0E  ，  1,0F ，一束光线从 F 点出发射到 BC上 的D点经 BC反射后，再经 AC反射，落到线段 AE上（不含端点），则直线 FD的斜率的取值范围是（ ） A.  , 2  B.  4, C.  2, D.  1, 7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第 三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若此 数列被 2除后的余数构成一个新数列 nb ，则数列 nb 的前 2026项的和为（ ） A. 1350 B. 676 C. 1351 D. 1352 8．过定点A的直线  1 2 0a x y    与过定点 B的直线  1 5 2 0x a y a     交于点 P（ P与 A B､ 不 重合），则 PAB 面积的最大值为（ ） A. 4 B. 9 2 C. 2 D. 3 2 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线2 1 0x y   在 x轴上的截距是 1 B. 直线 0x ky  和 2 3 8 0x y   的交点为 P，且 P在直线 1 0x y   上，则 k的值是 1 2  C. 设点 ( , )M x y 是直线 2 0x y   上的动点，O为原点，则 OM 的最小值是 D. 直线  1 2: 3 1 0 : 2 1 1 0L ax y L x a y      ， ，若 1 2/ /L L ，则 3a   或 2 10.已知数列 na 满足 11 2 2nn na a    ，且 1 4a  ，则下列正确的有（ ） A. 3 32a  B. 数列 1 na n      的前 n项和为 12n C. 数列 2log n a n       的前 n项和为   2 2log 1 2 n nn   D. 若数列 1 4n n na a        的前 n项和为 nT ，则 1 1 12 4n T  试题 第 3页（共 6页） 试题 第 4页（共 6页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 11．对于数列 na （ Nna  ），定义 kb 为 1a ， 2a ，…， ka 中最大值（ 1,2, ,k n   ）（ Nn  ），把数列  nb 称为数列 na 的“M值数列”.如数列 2，2，3，7，6的“M值数列”为 2，2，3，7，7，则（ ） A. 若数列 na 是递减数列，则 nb 为常数列 B. 若数列 na 是递增数列，则有 n na b C. 满足 nb 为 2，3，3，5，5的所有数列 na 的个数为 8 D. 若   1 ( )2 Nn na n    ，记 nS 为 nb 的前 n项和，则 100100 2 (2 1) 3 S   第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知 na 是公比为 1 2 的等比数列，若 1 4 7 97 100a a a a     ，则 3 6 9 99a a a a     ______. 13．若直线 l过点  3,2 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线 l的方程为______． 14．已知数列{ }na 满足  *1 11 1,2 1 n n n ana a n n na      N ，若不等式 2 10 1 0nan n    对任意的 *nN 都成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分） 已知 ABCV 中，  2,1A ，  3,4B ， BC边所在直线方程为 2 5 0x y   ， AC边上的高所在直线方 程为 7 0x y   . （1）求 AC边所在直线的方程； （2）求 BC边的中线所在直线的方程. 16．（15 分）在等差数列{ }na 中， 3 97, 5,a a   { }na 的前 n项的和为 nS ． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）求 nS 取最大值时 n的值； （3）设 1 2 3| | | | | | | |n nT a a a a    ，求 nT ． 17．（15 分） 已知直线 1 : 3 0l x y   和直线 2 : 2 1 0l x y   交于点C，求满足下列条件的一般式直线方程. （1）过点C且与直线 4 1 0x y   平行； （2）过点C且到原点的距离等于 2； （3）直线 1l 关于直线 2l 对称的直线. 试题 第 5页（共 6页） 试题 第 6页（共 6页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 18．（17 分） 如图，将一块等腰直角三角板 ABO置于平面直角坐标系中，已知 1AB OB AB OB  ， ，点 1 1( ) 2 4 P ， 是三角板内一点，现因三角板中部分（ POBV 内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经 过 P的任意一直线MN 将其锯成 AMN ． （1）求直线MN的斜率的取值范围； （2）若 P点满足 1 3 MP PN   ，这样的直线MN 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时 直线MN的方程； （3）如何确定直线MN 的斜率，才能使锯成的 AMN 的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 19．（17 分） 在数列 na 中，按照下面方式构成“次生数列”     1 1 2 1 2 3 1 2 3: , min , , min , ,nb b a b a a b a a a   ，…，   1 2min , , , 2n nb a a a n  ，其中   1 2min , , , 2ia a a i n  表示数列 1 2, , , ia a a 中最小的项. （1）若数列 na 中各项均不相等，只有 4项， 2 1a  ，且   1,2,3,4 1,2,3,4na n  ，请写出 na 的 所有“次生数列” nb ； （2）若 na 满足 1 42, 64a a   ，且 n a n       为等比数列， na 的“次生数列”为 nb . （i）求 3 10b b 的值； （ii）求 nb 的前 n项和 nS . 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C A B B C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．25 13．或 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为边所在直线方程为，故可设， 因为边上的高所在直线方程为， 所以，（2分） 所以， 所以，（4分） 故所求为，即；（6分） （2）因为，，设中点为，所以，（8分） 因为，所以，（10分） 故所求为，即（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式．（4分） （2）结合（1）可得， 当时，取最大值．（8分） （3）， 由，得， 即时有，时有，（10分） 若，，（12分） 若时， ，（14分） 综合上述.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）联立方程，解得，．（2分） 由题意得：，， 故满足要求的直线方程为：．（5分） （2）①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2； （6分） ②当所求直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 原点到该直线的距离为， 解得， 直线方程为， 综上所述，符合题意的直线方程为或．（9分） （3）在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则 ，解得，， （12分） 又，则直线的方程即所求直线方程，为， 化简得，. 故所求的直线方程为：． （15分） 18．（17分） 【解析】（1）依题意，得MN方程为：，即，（2分） ∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，∴直线OA方程为：y＝x ，直线AB方程为：x＝1， 联立 ，得．（3分） 联立，得.（4分） 所以，解得；（6分） （2）若，可得，解得，（8分） 所以直线的方程为，整理得（10分） （3）在中，由（1）知： S△AMN＝＝．（12分） 设，设．∴f（t）在是单调递增．∴当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）max＝（14分） 当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）min＝，（16分） 面积的取值范围（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为，，中各项均不相等， 所以， 若，此时“次生数列”为， 若，此时“次生数列”为， 若，此时“次生数列”为， 所以“次生数列”的定义可知有3个， 分别为或或.（5分） （2）（i）设数列公比为， 因为为等比数列，且， 所以，即，解得， 所以，则.（7分） 由“次生数列”的定义，可知， ， 故.（10分） （ii）由（i）可知当为偶数时，， ① ，② 由①-②得 ， 所以.（13分） 当时，， 当为奇数且时，为偶数， 则 ， 显然当时，也符合上式，（15分） 故（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+直线方程。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1.【答案】B 【解析】依题意，. 故选：B 2．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是的前项和，则等于（ ） A. 8 B. 6 C. D. 0 2.【答案】D 【解析】，，成等比数列，， ，化为，解得， 则 故选：D. 3．直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3.【答案】C 【解析】若直线斜率不存在，即不经过第一象限， 若直线斜率存在，即， 所以， 综上实数的取值范围为， 故选：C. 4．等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 不能确定 4.【答案】A 【解析】因为为定值且，故为定值，故为定值，其中为公差. 而， 故当且仅当即时，为定值. 故选：A. 5．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.【答案】B 【解析】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 6．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.【答案】B 【解析】如图所示，从特殊位置考虑. ∵点关于直线的对称点为， ∴直线的斜率，∴. ∵关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为，此时直线的斜率不存在. 综上，. 故选：B. 7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（ ） A. 1350 B. 676 C. 1351 D. 1352 7.【答案】C 【解析】 ， 除以2 所得余数分别为 ， 即 是周期为3 的周期数列， 因为 ，  ， 所以数列的 前2026 项和为 . 故选：C 8．过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 8.【答案】B 【解析】 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D. 直线，若，则或2 9.【答案】BC 【解析】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D错误. 故选：BC 10.已知数列满足，且，则下列正确的有（ ） A. B. 数列的前项和为 C. 数列的前项和为 D. 若数列的前项和为，则 10.【答案】ACD 【解析】对A，由可得，故数列是以为首项，1为公差的等 差数列， 故，即，则，故A正确； 对B，，故数列的前项和为，故B错误； 对C，，则前项和为 ，故C正确； 对D，， 则， 又易得随的增大而增大，故，即，故D正确. 故选：ACD 11．对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ） A. 若数列是递减数列，则为常数列 B. 若数列是递增数列，则有 C. 满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8 D. 若，记为的前n项和，则 11.【答案】ABD 【解析】若数列是递减数列，则是，，…，中最大值（）（）， 所以， 为常数列，A选项正确； 若数列是递增数列，则是，，…，中最大值（）（）， 所以，即，B选项正确； 满足为2，3，3，5，5，则，，可以取1，2，3，，可以取1，2，3，4，5， 所有数列的个数为，C选项错误； 若，则数列中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负数， 则有， 所以，D选项正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是公比为的等比数列，若，则______. 12.【答案】25 【解析】因为 所以 故答案为：25 13． 若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______． 13.【答案】或 【解析】当截距为0时，设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 故直线的方程为或. 故答案为：或 14． 已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是______. 14.【答案】 【解析】由，，可得， 整理得，， 所以数列表示首项为2，公差为1的等差数列. ，则， 又由恒成立，即，对恒成立， 令， 当且仅当，即时等号成立，又， 当时，，当时，， 由对勾函数的单调性，得，所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知中，，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求边的中线所在直线的方程. 15．（13分） 【解析】（1）因为边所在直线方程为，故可设， 因为边上的高所在直线方程为， 所以，所以， 所以，故所求为，即； （2）因为，，设中点为，所以， 因为，所以， 故所求为，即. 16．（15分）在等差数列中，的前项的和为． （1）求数列的通项公式； （2）求取最大值时的值； （3）设，求． 16．（15分） 【解析】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 17．（15分） 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. （1）过点且与直线平行； （2）过点且到原点的距离等于2； （3）直线关于直线对称的直线. 17．（15分） 【解析】（1）联立方程，解得，． 设与直线平行的直线为， 由题意得：，， 故满足要求的直线方程为：． （2）①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2； ②当所求直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 原点到该直线的距离为， 解得， 直线方程为， 综上所述，符合题意的直线方程为或． （3）在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则 ，解得，， 又，则直线的方程即所求直线方程，为， 化简得，. 故所求的直线方程为：． 18．（17分） 如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点 是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； （3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 18．（17分） 【解析】（1）依题意，得MN方程为：，即， ∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，∴直线OA方程为：y＝x ，直线AB方程为：x＝1， 联立 ，得． 联立，得. 所以，解得； （2）若，可得，解得， 所以直线的方程为，整理得 （3）在中，由（1）知： S△AMN＝＝． 设，设．∴f（t）在是单调递增．∴当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）max＝ 当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S）min＝， 面积的取值范围. 19．（17分） 在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项. （1） 若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的 所有“次生数列”； （2）若满足，且为等比数列，“次生数列”为. （i）求的值； （ii）求的前项和. 19．（17分） 【解析】（1）因为，，中各项均不相等， 所以， 若，此时“次生数列”为， 若，此时“次生数列”为， 若，此时“次生数列”为， 所以“次生数列”的定义可知有3个， 分别为或或. （2）（i）设数列公比为， 因为为等比数列，且， 所以，即，解得， 所以，则. 由“次生数列”的定义，可知， ， 故. （ii）由（i）可知当为偶数时，， ① ，② 由①-②得 ， 所以. 当时，， 当为奇数且时，为偶数， 则 ， 显然当时，也符合上式， 故 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+直线方程。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是的前项和，则等于（ ） A. 8 B. 6 C. D. 0 3．直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4．等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 不能确定 5．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（ ） A. 1350 B. 676 C. 1351 D. 1352 8．过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D. 直线，若，则或2 10.已知数列满足，且，则下列正确的有（ ） A. B. 数列的前项和为 C. 数列的前项和为 D. 若数列的前项和为，则 11．对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ） A. 若数列是递减数列，则为常数列 B. 若数列是递增数列，则有 C. 满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8 D. 若，记为的前n项和，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是公比为的等比数列，若，则______. 13． 若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______． 14． 已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知中，，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求边的中线所在直线的方程. 16．（15分）在等差数列中，的前项的和为． （1）求数列的通项公式； （2）求取最大值时的值； （3）设，求． 17．（15分） 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. （1）过点且与直线平行； （2）过点且到原点的距离等于2； （3）直线关于直线对称的直线. 18．（17分） 如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点 是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； （3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 19．（17分） 在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项. （1） 若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的 所有“次生数列”； （2）若满足，且为等比数列，“次生数列”为. （i）求的值； （ii）求的前项和. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+直线方程。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是的前项和，则等于（ ） A. 8 B. 6 C. D. 0 3．直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4．等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 不能确定 5．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（ ） A. 1350 B. 676 C. 1351 D. 1352 8．过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下四个命题叙述正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是1 B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D. 直线，若，则或2 10.已知数列满足，且，则下列正确的有（ ） A. B. 数列的前项和为 C. 数列的前项和为 D. 若数列的前项和为，则 11．对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ） A. 若数列是递减数列，则为常数列 B. 若数列是递增数列，则有 C. 满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8 D. 若，记为的前n项和，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是公比为的等比数列，若，则______. 13． 若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______． 14． 已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知中，，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求边的中线所在直线的方程. 16．（15分）在等差数列中，的前项的和为． （1）求数列的通项公式； （2）求取最大值时的值； （3）设，求． 17．（15分） 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. （1）过点且与直线平行； （2）过点且到原点的距离等于2； （3）直线关于直线对称的直线. 18．（17分） 如图，将一块等腰直角三角板置于平面直角坐标系中，已知，点 是三角板内一点，现因三角板中部分（内部，不含边界）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若点满足，这样的直线是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线的方程； （3）如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积取得最大值和最小值？并求出最值. 19．（17分） 在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项. （1） 若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的 所有“次生数列”； （2）若满足，且为等比数列，“次生数列”为. （i）求的值； （ii）求的前项和. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！