学易金卷：高二数学上学期第一次月考卷（上海专用）（立体几何）【测试范围：沪教版2020必修第三册第十章】

2025-2026学年高二上学期第一次月考卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$数 学 第 1页（共 6页） 数 学 第 2页（共 6页） 数 学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 2025-2026学年高二上学期第一次月考卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4题，满分 18分，第 13-14 题每题 4分，第 15-16 题每题 5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有 5题，满分 78分，第 17-19题每题 14分，第 20、 21题每题 18分.) 17．（14分） 18．（14分） 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4页（共 6页） 数 学 第 5页（共 6页） 数 学 第 6页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 21．（18分） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期第一次月考卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．用集合符号表示直线l在平面上______ 2．若直线 平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为___________. 3．已知正方体的棱长为1,则点到平面的距离为______ 4．空间四边形中，，，，分别是，，，中点，直线，所成角为，， ，则四边形面积为 ． 5．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2， 则 ． 6．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 ． 7．在长方体中，，，， 则直线与平面所成角的大小为 ． 8．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①；②平面；③平面；④平面平面． 以上四个命题中，正确命题的序号是   9． 如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为1， 则二面角的大小为 . 10． 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”；在正方体中， 由两个顶点确定的直线与由顶点确定的平面构成的“正交线面对”的个数为 . 11． 如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2， 则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④. 12． 已知是单位正六棱柱（即所有的棱长都是1，如图所示），黑、白两个 蚂蚁同时从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.黑蚂蚁爬行的路线是，白蚂蚁爬行的路线是.它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在的直线必须是异面直线（其中i是正整数）.设黑、白两蚂蚁走完2025段后各停留在正六棱柱的某个顶点处， 这时黑、白两蚂蚁的距离是 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．设a、b、c表示三条直线，，表示两个平面，下面命题中不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．在四面体中，已知，若不是等边三角形，且点在平面上的 投影位于内，则点是的（　　） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 15．在正方体中，点在线段上，点为线段的中点， 记平面平面 ，则下列说法一定正确的是（     ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 16．如图，在棱长为2的正方体中，点M、N分别在线段和上，给出下列命题： ①有且仅有一条直线与垂直；②存在点M、N，使为等边三角形，则（    ）    A． ①、②均为真命题 B．①、②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）用符号语言表示下列语句，并画出图形：直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α 与平面β的交线l上；（2）在正方体中，M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点， 平面α过M，N，P三点，则平面α截此正方体的截面为一个多边形， （ⅰ）仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）； （ⅱ）若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长． 18.如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，其中AB∥CD∥EF，AD＝AB＝CD＝1，且ED⊥平面ABCD， 点G是CD的中点．（1）求证：平面BCF∥平面AEG；（2）求平面BCF与平面AEG的距离. 19.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根 细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm， ②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面． （1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°， 确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）； （2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管 上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）． 20． 如图是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中 ，将其沿折起使得与重合，连接，如图（2）．    （1）证明：图（2）中的四点共面，且平面平面； （2）求图（2）中的四边形的面积；（3）求图（2）中的二面角的大小． 21．已知矩形的长为2，宽为1.（如图所示） （1）若E为DC的中点，将矩形沿BE折起，使得平面平面，分别求到AB和AD的距离； （2）在矩形ABCD中，点M是AD的中点、点N是AB的三等分点（靠近A点）.沿折痕MN将 翻折成，使平面平面.又点G，H分别在线段NB，CD上，若沿折痕GH将四边形向上翻折，使C与重合，求线段NG的长. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二上学期第一次月考数学卷全解析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．用集合符号表示直线l在平面上______ 1．【分析】直线l在平面上，利用集合与集合的关系符合表示即可. 【详解】直线l在平面上，即直线l包含于平面，利用集合与集合的关系表示为.故答案为： 2．若直线 平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为___________. 2．平行或异面【分析】由直线平面，直线在平面内，知，或与异面． 【详解】解：直线平面，直线在平面内，则直线与平面内任意直线无交点， ，或与异面.故答案为：平行或异面. 3．已知正方体的棱长为1,则点到平面的距离为______ 3．【分析】连接,交于,根据线面垂直的判定定理可以证明平面,所以的长即为所求.由正方体的棱长为1求出结果即可.【详解】如图所示,连接,交于, ，，， 平面,平面, 平面， 的长即为所求，正方体的棱长为1, ,即点到平面的距离为.故答案为:. 4． 空间四边形中，，，，分别是，，，中点， 直线，所成角为，，，则四边形面积为 ． 4． 【分析】根据题设四边形为平行四边形， 利用已知及三角形面积公式求其面积即可. 【详解】由题设，可得如下示意图，且，所以四边形为平行四边形， 由中位线性质，有，直线，所成角为或其补角， 即为或，所以四边形的面积.故答案为：. 5．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2， 则 ． 5．1【分析】根据斜二测画法原则可还原，利用面积公式计算即可. 【详解】由直观图可还原，如图：其中 ，又，因此，所以.故答案为：. 6．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 ． 6．【分析】根据正方体结构特征，利用线面垂直的性质、判定定理判断 异面直线与的位置关系.【详解】连接，由正方体结构特征， 有，又面，面，则 ， 由且都在面，则面，面， 故 ，即异面直线与所成的角为.故答案为：. 7．在长方体中，，，， 则直线与平面所成角的大小为 ． 7．【分析】由长方体结构及线面角的定义找到所求线面角的平面角， 并应用反三角函数表示角的大小即可.【详解】如下图，由题设易知面， 故直线与平面所成角为，而， 故，即.故答案为：. 8．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①；②平面；③平面；④平面平面． 以上四个命题中，正确命题的序号是 8．②③④【分析】还原几何体，根据正方体的结构特征及线面、面面平行的 判定、线面垂直的判定判断各项的正误即可.【详解】将展开图还原为几何体如下， 由正方体的结构特征，异面，故不平行，①错；且，面， 面，则平面成立，②对；有，面，面，则，都在面，则面，即平面，③对；易得，而面，面， 则面，同时有，同理易得面， 又都在面，所以平面平面，④对.故答案为：②③④. 9． 如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为1， 则二面角的大小为 . 9． 【分析】先判断得二面角的平面角为，再利用线面垂直的判定定理证得 平面，从而得到，进而求得，由此得解.【详解】取中点，连接， 过作于，因为是正三角形，所以， 所以二面角的平面角为，又，面，所以面， 又面，所以，因为，平面，所以平面， 则点到平面的距离为，即，又在边长为2的中， ，所以，是锐角， 则二面角的大小为.故答案为：. 10．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”；在正方体中， 由两个顶点确定的直线与由顶点确定的平面构成的“正交线面对”的个数为 . 10．44【分析】根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即可得出结果. 【详解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对.如下图所示：    ①对于正方体的每一条棱，都有个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个； ②对于正方体的每一条面对角线（如，则平面）， 下面简单证明平面，因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，，所以平面. 每一条面对角线均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个. ③对于正方体的每一条体对角线，（如，则平面），由平面， 平面，则，而，又，于是平面， 而平面，因此，同理，又，故平面， 每一条体对角线都有两个面构成“正交线面对”，共有个， 综上所述，正方体中的“正交线面对”共有个.故答案为：. 11．如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形， 点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面 与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）.①2；②；③3；④. 11．①③【分析】设，由正四棱锥的性质，易知平面，过M作//分别交棱、于点T、L，则平面，由题意，只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的 长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案.【详解】设，显然为正四棱锥，易知平面平面，又，平面平面，平面，所以平面， 过M作 分别交棱、于点T、L，则平面，由题意，只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可，又是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过M作分别交棱、于点E、Q，所以，即，所以， 如图1，则平面为满足题意的平面，显然四边形为正方形，对角线， 所以四边形的面积为，①正确； 如图2，过T作，过L作，易知平面为满足题意的平面， 且为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以， 所以五边形的面积， 故③正确.当与是完全相同的，所以，综上选①③.故答案为：①③ 12．已知是单位正六棱柱（即所有的棱长都是1，如图所示），黑、白两个蚂蚁 同时从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.黑蚂蚁爬行的路线是， 白蚂蚁爬行的路线是.它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在的直线必须是 异面直线（其中i是正整数）.设黑、白两蚂蚁走完2025段后各停留在正六棱柱的某个顶点处， 这时黑、白两蚂蚁的距离是 . 12．【分析】根据已知条件先分析出黑、白蚁路线的规律，然后考虑走完2025段相当于走了多少个周期，从而确定出最终位置即可求解出黑、白两蚁的距离.【详解】因为蚂蚁爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线，则黑蚂蚁爬行的路线是 ，因此每隔18段后回到点，并重复按原来线路爬行，而，于是黑蚂蚁走完2025段后停留在正六棱柱的点处，白蚂蚁爬行的路线是，因此每隔18段后回到点，并重复按原来线路爬行，于是白蚂蚁走完2025段后停留在正六棱柱的点处，显然，所以黑、白两蚂蚁的距离是.故答案为：1【点睛】本题解析，熟悉正六棱柱的结构特征、异面直线的准确判断是关键. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．设a、b、c表示三条直线，，表示两个平面，下面命题中不正确的是（    ） A． B． C． D． 13．D【分析】根据线面、面面平行垂直的判定定理和性质判断即可.【详解】A选项：因为，所以垂直平面内的所有直线，又∥，所以平面内的任意直线在平面内 都存在直线与之平行，所以垂直平面内的任意直线，，A正确；B选项：如图，为直线， 为斜足，过作，所以为在平面内的投影，因为，，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，B正确；C选项：根据线面平行的判定定理可得C正确；D选项：不能说明和平面内的直线都垂直，所以D错.故选；D. 14．在四面体中，已知，若不是等边三角形，且点在平面上的 投影位于内，则点是的（　　） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 14．D【分析】先证明平面，平面，进而可证得， ，即可得解.【详解】如图，由题意可知平面， 因为平面，所以，又 平面，所以平面，又平面， 所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，所以点是的垂心.故选：D. 15．在正方体中，点在线段上，点为线段的中点， 记平面平面 ，则下列说法一定正确的是（     ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 15．D【分析】根据线面平行可得两平面的交线满足，进而根据平面， 即可判断平面.【详解】由题意得，，平面，平面， 则平面，又平面平面，∴，因为 平面，平面，故平面，因此平面； 故D正确；而，平面，平面，则平面，故平面， 选项A错误，同理选项B错误；由于与相交不垂直，故与平面不垂直， 因此不垂直平面，故C错误；故选：D． 16．如图，在棱长为2的正方体中，点M、N分别在线段和上，给出下列命题： ①有且仅有一条直线与垂直；②存在点M、N，使为等边三角形，则（    ）    A．①、②均为真命题 B．①、②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 16．D【分析】①找到一个的充要条件，并确定一个面与垂直，判断这种面的个数； ②利用正三角形的性质，将问题化为判断是否存在，再设参并列方程求参判断是否满足 范围.【详解】点在平面上的射影的轨迹为线段，所以平面，平面， 所以，则的一个充要条件，当射影位于线段上的任意位置时，过作垂线，垂足为，则，由 且都在面上，则面，而面，所以，于是 这样的直线不唯一，①为假；  由，， 由上知，又，要使为正三角形， 只需即可，若，则，，且， 所以 ， 令，则， 可得（负值舍）， 而，只需比较，大小， 将它们平方有，， 进而比较，大小，将它们平方有，， 显然，即， 则，所以， 即，综上，，即所求，满足要求， 故存在点M、N，使为等边三角形，②为真；故选：D.【点睛】①点在平面上的射影，关键是构造一个平面与垂直，进而判断这样的平面个数；②将正三角形的三边关系转化为 ，再设且，并用表示，利用等量关系求参数并判断 是否在给定范围内即可. 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）用符号语言表示下列语句，并画出图形：直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α 与平面β的交线l上；（2）在正方体中，M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点， 平面α过M，N，P三点，则平面α截此正方体的截面为一个多边形， （ⅰ）仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）； （ⅱ）若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长． 17．（1）答案见解析，作图见解析；（2）（ⅰ）作图见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意画图，并符号表示；（2）（ⅰ）利用三线共点，点一定在两个平面的交线上，画出图形， （ⅱ）根据图形的特征，利用勾股定理求解各边即可. 【详解】（1）用符号表示： ，如图： （2）（ⅰ）在正方体中画出此截面多边形如图所示： 作直线分别与延长线于，连接交于， 连接交于，最后连接，即得截面； （ⅱ）由题设，易知，进而易得， 截面多边形的周长等于， ，， 所以， ， 所以截面多边形的周长等于． 18.如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，其中AB∥CD∥EF， AD＝AB＝CD＝1，且ED⊥平面ABCD，点G是CD的中点． （1）求证：平面BCF∥平面AEG；（2）求平面BCF与平面AEG的距离. 18．（1）见解析（2）【分析】（1）由面面平行的判定定理，需证明BF、BC均平行于平面AEG即可； （2）利用等体积法，令，即可求出距离. 【详解】（1）∵，，是的中点，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面，∴平面，∵直角梯形与梯形全等，， ∴，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面， ∴平面，∵，∴平面 平面； （2）设点到平面的距离为，易知， 由，得，即， ∵平面平面，∴平面与平面间的距离为． 19.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根 细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm， ②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面． （1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°， 确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）； （2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管 上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）． 19． （1）0.63； （2）对应于、、三点的三根细钢管长度分别为，和. 【分析】（1）设的重心为，连接，根据就是与平面所成的角，建立与的 等量关系，解之即可；（2）设，的重心为，求出，分别在 ，，中求出、、，再根据比例关系求出即可. 【详解】解：（1）设的重心为，连接，由题意可得，， 设细钢管上下两段之比为，已知凳子高度为30、则， 节点与凳面三角形重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行 就是与平面所成的角，亦即，， ，解得，即节点分细钢管上下两段的比值约为0.63； （2）设，，，设的重心为，则， 由节点分细钢管上下两段之比为，可知，设过点、、的细钢管分别为、、， 则，， 对应于、、三点的三根细钢管长度分别为，和. 20．如图是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中 ，将其沿折起使得与重合，连接，如图（2）．    （1）证明：图（2）中的四点共面，且平面平面； （2）求图（2）中的四边形的面积；（3）求图（2）中的二面角的大小． 20．（1）证明见解析，证明见解析；（2）4；（3）30°. 【分析】（1）根据线线平行即可求证四点共面，根据线线垂直得线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据勾股定理求解，余弦定理求解余弦值，进而可得正弦值，由面积公式 即可求解；（3）建立空间直角坐标系，运用空间向量方法求二面角的大小． 【详解】（1）由已知得，所以，故确定一个平面， 从而四点共面，由已知得，平面， 故平面，又因为 平面，所以平面平面； （2）连接，，由平面，平面，可得， 在中，，，可得， 可得，在中，，，，可得，即有， 则平行四边形的面积为； （3） 过B作延长线于H，连结AH，因为AB平面BCGE，所以，而又，故平面，所以， 又因为所以是二面角的平面角， 而在中，又因为故， 所以，而在中， ，即二面角的度数为. 21．已知矩形的长为2，宽为1.（如图所示） （1）若E为DC的中点，将矩形沿BE折起，使得平面平面，分别求到AB和AD的距离； （2）在矩形ABCD中，点M是AD的中点、点N是AB的三等分点（靠近A点）.沿折痕MN将 翻折成，使平面平面.又点G，H分别在线段NB，CD上，若沿折痕GH将四边形向上翻折，使C与重合，求线段NG的长. 21．（1）；（2）. 【分析】（1）取中点，过作，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理计算即得；（2）过作于， 利用面面垂直的性质、线面垂直的性质，结合勾股定理计算即得. 【详解】（1）取中点，过作，垂足分别为， 连接，由，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 又平面，即有，又平面，于是平面， 而平面，从而，即长是点到直线的距离，同理长是点到直线的距离， 显然，四边形是矩形，，又， 因此，， 所以到AB和AD的距离分别为； （2）作于，于，连接，如图， 在中，，则，， ，于是， ，， 设，则，，， 翻折后，平面平面，平面平面，平面， 则平面，而平面，于是， ，由点C与重合，得， 因此，整理得，解得，所以线段NG的长为. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二上学期第一次月考卷 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2．平行或异面 3． 4. 5．1 6． 7． 8.②③④ 9． 10．44 11．①③ 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13． D 14．D 15．D 16.D 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）用符号语言表示下列语句，并画出图形：直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α 与平面β的交线l上；（2）在正方体中，M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点， 平面α过M，N，P三点，则平面α截此正方体的截面为一个多边形， （ⅰ）仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）； （ⅱ）若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长． 17．（1）答案见解析，作图见解析；（2）（ⅰ）作图见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意画图，并符号表示；（2）（ⅰ）利用三线共点，点一定在两个平面的交线上，画出图形， （ⅱ）根据图形的特征，利用勾股定理求解各边即可. 【详解】（1）用符号表示：……2分 ，如图……2分： （2）（ⅰ）在正方体中画出此截面多边形如图所示： 作直线分别与延长线于……2分，连接交于， 连接交于，最后连接，即得截面……2分； （ⅱ）由题设，易知，进而易得， 截面多边形的周长等于……2分， ，， 所以……2分， ， 所以截面多边形的周长等于……2分． 18.如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，其中AB∥CD∥EF， AD＝AB＝CD＝1，且ED⊥平面ABCD，点G是CD的中点． （1）求证：平面BCF∥平面AEG；（2）求平面BCF与平面AEG的距离. 18．（1）见解析（2）【分析】（1）由面面平行的判定定理，需证明BF、BC均平行于平面AEG即可； （2）利用等体积法，令，即可求出距离. 【详解】（1）∵，，是的中点，∴四边形为平行四边形……2分， ∴，又∵平面，平面，∴平面……2分， ∵直角梯形与梯形全等，，∴，∴四边形为平行四边形……2分，∴，又∵平面，平面，∴平面，∵， ∴平面 平面……2分； （2）设点到平面的距离为，易知……2分， 由，得，即……2分， ∵平面平面，∴平面与平面间的距离为……2分． 19. 某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布， 凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足： ①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的 连线垂直于凳面和地面． （1） 若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°， 确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm， 节点O分细钢管上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）． 19． （1）0.63；（2）对应于、、三点的三根细钢管长度分别为，和. 【分析】（1）设的重心为，连接，根据就是与平面所成的角，建立与的 等量关系，解之即可；（2）设，的重心为，求出，分别在 ，，中求出、、，再根据比例关系求出即可. 【详解】（1）设的重心为，连接，由题意可得，， 设细钢管上下两段之比为，已知凳子高度为30、则……2分， 节点与凳面三角形重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行 就是与平面所成的角……2分，亦即，， ，解得，即节点分细钢管上下两段的比值约为0.63……2分； （2） 设，，……2分，设的重心为， 则，由节点分细钢管上下两段之比为，可知， 设过点、、的细钢管分别为、、，则 ， 对应于、、三点的三根细钢管长度分别为，和. 20．如图是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中 ，将其沿折起使得与重合，连接，如图（2）．    （1）证明：图（2）中的四点共面，且平面平面； （2）求图（2）中的四边形的面积；（3）求图（2）中的二面角的大小． 20．（1）证明见解析，证明见解析；（2）4；（3）30°. 【分析】（1）根据线线平行即可求证四点共面，根据线线垂直得线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据勾股定理求解，余弦定理求解余弦值，进而可得正弦值，由面积公式 即可求解；（3）建立空间直角坐标系，运用空间向量方法求二面角的大小． 【详解】（1）由已知得，所以，故确定一个平面……2分， 从而四点共面，由已知得，平面， 故平面，又因为 平面，所以平面平面； （2）连接，，由平面，平面，可得……2分， 在中，，，可得， 可得，在中，，，， 可得，即有……2分， 则平行四边形的面积为……2分； （3） 过B作延长线于H，连结AH，因为AB平面BCGE，所以，而又，故平面……2分，所以， 又因为所以是二面角的平面角……2分， 而在中，又因为故， 所以……2分，而在中， ，即二面角的度数为.……2分 21．已知矩形的长为2，宽为1.（如图所示） （1）若E为DC的中点，将矩形沿BE折起，使得平面平面，分别求到AB和AD的距离； （2）在矩形ABCD中，点M是AD的中点、点N是AB的三等分点（靠近A点）.沿折痕MN将 翻折成，使平面平面.又点G，H分别在线段NB，CD上，若沿折痕GH将四边形向上翻折，使C与重合，求线段NG的长. 21．（1）；（2）. 【分析】（1）取中点，过作，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理计算即得；（2）过作于， 利用面面垂直的性质、线面垂直的性质，结合勾股定理计算即得. 【详解】（1）取中点，过作，垂足分别为， 连接，由，得……2分， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，即有，又平面， 于是平面……2分，而平面，从而，即长是点到直线的距离， 同理长是点到直线的距离……2分，显然，四边形是矩形， ，又， 因此，， 所以到AB和AD的距离分别为……2分； （2）作于，于，连接……2分，如图， 在中，，则，， ，于是， ，……2分， 设，则，，……2分， 翻折后，平面平面，平面平面，平面， 则平面，而平面，于是， ……2分，由点C与重合，得， 因此，整理得，解得， 所以线段NG的长为……2分. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二上学期第一次数学月考（立体几何）卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．用集合符号表示直线l在平面上______ 2．若直线 平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为___________. 3．已知正方体的棱长为1,则点到平面的距离为______ 4．空间四边形中，，，，分别是，，，中点，直线，所成角为，， ，则四边形面积为 ． 5．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2， 则 ． 6．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 ． 7．在长方体中，，，， 则直线与平面所成角的大小为 ． 8．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①；②平面；③平面；④平面平面． 以上四个命题中，正确命题的序号是   9．如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为1，则二面角的大小为 . 10． 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”；在正方体中， 由两个顶点确定的直线与由顶点确定的平面构成的“正交线面对”的个数为 . 11．如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形， 点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面 与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）.①2；②；③3；④. 12．已知是单位正六棱柱（即所有的棱长都是1，如图所示），黑、白两个蚂蚁 同时从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.黑蚂蚁爬行的路线是， 白蚂蚁爬行的路线是.它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在的直线必须是 异面直线（其中i是正整数）.设黑、白两蚂蚁走完2025段后各停留在正六棱柱的某个顶点处， 这时黑、白两蚂蚁的距离是 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．设a、b、c表示三条直线，，表示两个平面，下面命题中不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．在四面体中，已知，若不是等边三角形，且点在平面上的 投影位于内，则点是的（　　） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 15．在正方体中，点在线段上，点为线段的中点， 记平面平面 ，则下列说法一定正确的是（     ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 16．如图，在棱长为2的正方体中，点M、N分别在线段和上，给出下列命题： ①有且仅有一条直线与垂直；②存在点M、N，使为等边三角形，则（    ）    A．①、②均为真命题 B．①、②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）用符号语言表示下列语句，并画出图形：直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α 与平面β的交线l上；（2）在正方体中，M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点， 平面α过M，N，P三点，则平面α截此正方体的截面为一个多边形， （ⅰ）仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）； （ⅱ）若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长． 18.如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，其中AB∥CD∥EF，AD＝AB＝CD＝1，且ED⊥平面ABCD， 点G是CD的中点．（1）求证：平面BCF∥平面AEG；（2）求平面BCF与平面AEG的距离. 19.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根 细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm， ②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面． （1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°， 确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）； （2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管 上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）． 20． 如图是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中 ，将其沿折起使得与重合，连接，如图（2）．    （1）证明：图（2）中的四点共面，且平面平面； （2）求图（2）中的四边形的面积；（3）求图（2）中的二面角的大小． 21．已知矩形的长为2，宽为1.（如图所示） （1）若E为DC的中点，将矩形沿BE折起，使得平面平面，分别求到AB和AD的距离； （2）在矩形ABCD中，点M是AD的中点、点N是AB的三等分点（靠近A点）.沿折痕MN将 翻折成，使平面平面.又点G，H分别在线段NB，CD上，若沿折痕GH将四边形向上翻折，使C与重合，求线段NG的长. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$