学易金卷：高二数学上学期第一次月考卷（上海专用）（直线和圆）【测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章】

2025-2026学年高二上学期第一次月考卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20． （18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21． （18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 2025-2026 学年高二上学期第一次月考卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 2025-2026学年高二上学期第一次月考卷 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章直线和圆的方程章节。 5．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3．3x-2y=0或x+y-5=0 4． 5． 6.或 7．或 8． 9．③ 10．/ 11．5 12． 2、 选择题 (本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．D 14．A 15．A 16．C 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知，设直线：，直线：.（1）若，求m的值； （2）当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上. 17．（1）；（2），点I恒在定直线上. 【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得，然后验证是否重合可得；（2）联立直线方程求解可得点I的坐标，然后消参可知点I在定直线上. 【详解】（1）因为，所以，解得……2分； 当时，直线：，直线：即， 显然此时两直线重合……2分，当时，直线：， 直线：即，符合题意，故……2分； （2） 由（1）知，当，相交时，联立，解得， ∴……2分，因为，即……2分， 所以点I恒在定直线上……2分. 18．已知直线:，点． （1）求点关于直线的对称点的坐标；（2）直线关于点对称的直线的方程； （3）以为圆心，3为半径长作圆，直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 18．（1）；（2）；（3）或. 【分析】（1）设点，由关于直线对称，列出方程，解得，得到点的坐标； （2）设是直线上任意一点，则点关于点的对称点在直线，用代入法可求得直线的方程； （3）用垂径定理将弦长为，转化为圆心到直线的距离为，设出直线的方程，用点到直线的距离公式求解，注意考虑直线斜率不存在时是否符合题意. 【详解】（1）设点，则，解得：， 即点关于直线的对称点的坐标为； （2）设是直线上任意一点，则点关于点的对称点 在直线上……2分，所以，即； （3）设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为，因此， 当直线斜率不存在时，不满足条件……2分； 当直线斜率存在时，设其方程为，则，解得……2分， 综上，直线的方程为或． 19.人口普查期间，作为街道工作人员的叶阿姨和王叔叔需要上门登记每户的家庭成员信息，叶阿姨 和王叔叔分别需上门走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过叶阿姨家(点)的东西 和南北走向的街道，且王叔叔家在叶阿姨家的东偏北45度方向，以点0为坐标原点， 、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知张姓家庭(即点) 和李姓家庭(即点)是王叔叔负责区域中最远的两个家庭. （1）求出k，并写出叶阿姨和王叔权负责区域边界的曲线方程； （2）叶阿姨和王叔叔为交流登记信息，满在华山路(直线)上 碰头见面， 你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)？并给出理由. 19.【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径. （2）可先求圆心O关于的对称点P,找到直线PC与l 的交点，即为所求. 【详解】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：， 李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向……2分，设李叔叔家所在的位置为， 离和距离相等，故……2分， 故 即故，……2分， 故李叔叔负责区域边界的曲线方程为……2分； （2）圆心关于的对称点为 则有……2分， 解得， ……2分， 联立与，可得交点为， 王阿姨和李叔叔为交流登记信息，可选择在地点碰面，距离之和最近……2分. 20.如图，已知满足条件（其中i为虚数单位）的复数z在复平面xOy对应的点的轨迹 为圆C（圆心为C），设复平面xOy上的复数对应的点为，定直线m的方程为 ，过的一条动直线l与直线m相交于N点，与圆C相交于P、Q两点， M是弦PQ中点． （1）若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直；（2）当时，求直线l的一般式方程； （3）设，试问t是否为定值？若为定值，请求出t的值，若t不为定值，请说明理由． 20．（1）证明见解析；（2）或；（3）是，. 【分析】（1）通过圆心和计算出的斜率，的斜率已知为，计算即可证明与垂直； （2） 对直线的斜率是否存在分类讨论，利用几何方法（是圆心到直线的距离，是 圆的半径）求解斜率；（3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时通过数值直接计算即可；斜率存在时，先与圆的方程联立求从而求解出的坐标表示，同理与联立求解出的坐标表示， 由此计算是否为定值. 【详解】（1）因为，所以……2分，所以圆心，半径； 又因为，所以，而，所以，所以与垂直……2分； （2）当直线的斜率不存在时，，此时，所以， 满足题意……2分；当的斜率存在且为时，，即，则， 所以由，得，解得，此时……2分； 综上：直线的方程为或……2分； （3） 当直线的斜率不存在时，易知， 所以，所以，即； 当直线的斜率存在且为时，设，， 联立，消去，得……2分， 所以，，即， 所以，又由，可得，所以， 故，综上：为定值，且. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，难度较难：（1）复数的常见轨迹问题：表示 以对应的点为圆心，半径为的圆；且表示以对应的点 为焦点，为长轴长的椭圆；（2）定值问题的计算，可采用由特殊到一般的思路去解答. 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过圆T外一点P引它的两条切线， 切点分别为M、N，若，则称P为圆T的环绕点. （1）当圆O半径为1时， ① 在、、中，圆O的环绕点是 ； ② 直线与轴交于点A，与y轴交于点B， 若线段AB上存在圆O的环绕点，求b的取值范围； （2）圆T的半径为1，圆心为，以（）为圆心， 为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在圆T的环绕点， 直接写出t的取值范围. 21.（1）①P1，P3；②或；（2）-2<t≤4. 【分析】（1）①当时，结合切线长定理可得TP=2TM，然后以T为圆心，TP为半径作⊙T， 观察图可得答案，②如图，设小圆交y轴的正半轴与于E，当直线经过点E时，b=1， 当直线与大圆相切于K(在第二象限)时，结合勾股定理可求出的值，从而可求出的取值范围；（2）如图以E(m，m)(m>0)为圆心，m为半径的所有圆构成图形H， 图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上，然后分⊙T的圆心在y轴的正半轴上时 和当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时结合切线长定理两种情况求解 【详解】（1）①P1，P3；如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点， 连接TM，TN，当时，∵PT平分∠MPN，∵∠TPM=∠TPN=30°， ∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT=∠PNT=90°，∴TP=2TM， 以T为圆心，TP为半径作⊙T，观察图象可知：当60°≤∠MPN<180°时， ⊙T的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点)， 如图中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知， P1，P3是⊙O的环绕点，故答案为P1，P3； ②如图，设小圆交y轴的正半轴与于E， 当直线经过点E时，b=1； 当直线与大圆相切于K(在第二象限)时，连接OK， 由题意B(0，b)，A(-2b，0)，∴OB=b，OA=2b，， ∵OK=2，•AB•OK=•OA•OB，∴， 解得，观察图象可知，当时， 线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知： 当时，线段AB上存在⊙O的环绕点， 综上所述， 满足条件的b的值为或； （2）如图3中，不妨设E(m，m)，则点E在直线y=x上， ∵m>0，∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，∵E(m，m)，∴OM=m，EM=， ∴以E(m，m)(m>0)为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON， 观察图象可知， 以E(m，m)(m>0)为圆心，m为半径的所有圆构成图形H， 图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上； 当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时， 假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D， 连接TD.∵，∴∠EOM=30°， ∵ON，OM是⊙E的切线，∴∠EON=∠EOM=30°， ∴∠TOD=30°，∴OT=2DT=4，∴T(0，4)， 当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O(0，0)时，T(0，-2)，观察图象可知， 当-2<t≤4时，在图形H上存在⊙T的环绕点.【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线长定理， 直线与圆的位置关系，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想问题， 学会利用特殊位置解决数学问题.属于压轴题. 网（北京）股份有限公司 / 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期第一次月考卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章直线和圆的方程章节。 5．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 直线与直线垂直，则实数 2. 已知直线，，则直线、的夹角为 3. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 4. 一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点， 则入射光线所在直线的方程为 5. 与圆，同时相切的直线有 条 6. 若方程仅表示一条直线，则k的取值范围是 7. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、 垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，若已知△ABC的顶点、，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是 8． 如图，在等腰直角三角形中，，点是边上 异于的一点，光线从点出发，经，发射后又回到原点， 若光线经过的重心，则 ． 9．已知直线，给出以下命题： ①直线的一个法向量是；②直线的斜率是；③对任意，直线都不过原点； ④存在，使直线与坐标轴围成的三角形面积小于1，所有正确命题的序号是 ． 10．设，，三条直线，，， 则与的交点M到的距离的最大值为 ． 11．已知圆与直线相切，函数过定点， 过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为 . 12. 在直角坐标平面xOy中，已知两定点、位于动直线的同侧， 设集合点与到直线l的距离之差等于1，， 记，，则由T中的所有点组成的图形面积是 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13. 已知下列命题：① 直线的倾斜角为，则此直线的斜率为；② 直线的斜率为，则直线的倾斜角为；③ 直线的倾斜角为，则. 上述命题中不正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 14. “”是“直线（）与圆相交”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 15. 已知平面向量，，满足：，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 16.在平面直角坐标系中，点，，定义为 点、之间的极距，已知点P是直线上的动点，已知点Q是圆上的动点， 则、两点之间的距离最小时，其极距为（ ）A. B. C. D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知，设直线：，直线：.（1）若，求m的值； （2）当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上. 18．已知直线:，点． （1）求点关于直线的对称点的坐标；（2）直线关于点对称的直线的方程； （3）以为圆心，3为半径长作圆，直线过点，且被圆截得的弦长为， 求直线的方程． 19. 人口普查期间，作为街道工作人员的叶阿姨和王叔叔需要上门登记每户的家庭成员信息，叶阿姨 和王叔叔分别需上门走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过叶阿姨家(点)的东西 和南北走向的街道，且王叔叔家在叶阿姨家的东偏北45度方向，以点0为坐标原点， 、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知张姓家庭(即点) 和李姓家庭(即点)是王叔叔负责区域中最远的两个家庭. （1）求出k，并写出叶阿姨和王叔权负责区域边界的曲线方程； （2）叶阿姨和王叔叔为交流登记信息，满在华山路(直线)上 碰头见面， 你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)？并给出理由. 20. 如图，已知满足条件（其中i为虚数单位）的复数z在复平面xOy对应的点的轨迹 为圆C（圆心为C），设复平面xOy上的复数对应的点为，定直线m的方程为 ，过的一条动直线l与直线m相交于N点，与圆C相交于P、Q两点， M是弦PQ中点． （1）若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直；（2）当时，求直线l的一般式方程； （3）设，试问t是否为定值？若为定值，请求出t的值，若t不为定值，请说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过圆T外一点P引它的两条切线，切点分别为M、N，若，则称P为圆T的环绕点.（1）当圆O半径为1时， ① 在、、中，圆O的环绕点是 ； ② 直线与轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在圆O的环绕点，求b的取值范围； （2）圆T的半径为1，圆心为，以（）为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在圆T的环绕点，直接写出t的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考直线与圆的方程卷全解析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章直线和圆的方程章节。 5．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 直线与直线垂直，则实数 1．【分析】根据两直线垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以.故答案为： 2. 已知直线，，则直线、的夹角为 2．【分析】将直线方程化为斜截式方程，进而求得倾斜角，再求解夹角即可. 【详解】将直线方程化为斜截式方程得， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以直线与的夹角是故答案为： 3. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 3．3x-2y=0或x+y-5=0【分析】分截距为0时和截距不为0时两类讨论，分别求出直线的方程可得答案． 【详解】当截距为0时，直线方程为3x-2y=0；当截距不为0时，设直线方程为，则， 解得a=5，所以直线方程为x+y-5=0.综上，直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0.故答案为：3x-2y=0或x+y-5=0. 4. 一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 4．【分析】先求点关于直线的对称点，连接,则直线即为所求. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以，又点，所以，直线的方程为：，由图可知， 直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程:. 故答案为：. 5. 与圆，同时相切的直线有 条 5．【分析】判断两个圆的位置关系，由此确定正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为；圆心距，所以两圆相交，公切线有条. 故答案为：. 6. 若方程仅表示一条直线，则k的取值范围是 6．或【分析】先将原方程变形，再分类讨论，即可求得实数的取值范围． 【详解】原方程可变形为，∴① 显然，时，； 当时，①式右边有两值，则直线不唯一；当时，①式右边一正一负，负值不满足， 故所求的取值范围是或．故答案为或． 7. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，若已知△ABC的顶点、，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是 7．或【分析】设，依题意可确定的外心为，可得出一个关系式， 求出重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出另一个关系式，解方程组，即可得出结论. 【详解】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为 与直线的交点为，∴① 由，，重心为，代入欧拉线方程，得② 由 ①②可得或 .故答案为：或.【点睛】本题以数学文化为背景， 考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题. 8．如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点， 光线从点出发，经，发射后又回到原点，若光线经过的重心， 则 ． 8．.【分析】建立平面直角坐标系，求出直线与直线的解析式，即可得出AP的长. 【详解】由题意，如图建立直角坐标系： 则 ，直线方程为 即，三角形重心为 即，设， 关于直线对称点为 解得 ，由光的反射可知四点共线，， 直线斜率为 直线方程为 过重心，即 ，解得 舍去， ，∴， 故答案为：. 9．已知直线，给出以下命题： ①直线的一个法向量是；②直线的斜率是；③对任意，直线都不过原点； ④存在，使直线与坐标轴围成的三角形面积小于1，所有正确命题的序号是 ． 9．③【分析】①根据直线方程即可得出法向量；②根据直线方程即可得出斜率；③将代入直线方程，得出等式不成立，即可得出结论；④求出三角形的面积表达式，即可得出面积的范围. 【详解】由题意，在直线中，直线的方向向量为， 法向量为，①错误；当时，，而不存在，故②错误； 当时，代入直线方程得，，显然不存在，故对任意，直线都不过原点，③正确；当直线和两坐标轴都相交时，交点为 ， 它和坐标轴围成的 三角形的面积为 ， ，∴不存在， 使直线与坐标轴围成的三角形面积小于1，④错误，故答案为：③. 10．设，，三条直线，，， 则与的交点M到的距离的最大值为 ． 10．/.【分析】根据直线与的的方程易知，而过定点，过定点， 得到与的交点M在以AB为直径的圆上，求出圆心和半径，结合恒过原点，即可利用圆心 到原点的距离加半径解出．【详解】因为，所以．而直线，整理为，令，解得：，故过定点，，变形为，过定点，所以与的交点M在以AB为直径的圆上，圆心为，即，直径为，故半径为，所以圆的方程为，因为恒过原点，所以M到的距离的最大值为的长加上半径， 即．故答案为：． 11． 已知圆与直线相切， 函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦 ，则四边形面积的最大值为 . 11．5【分析】先根据相切求半径，再求出定点，最后求得四边形面积的 表达式，结合基本不等式求得面积的最大值. 【详解】由题意圆与直线相切，圆心为， 半径为， 函数过定点，如图连接OA、OD 作垂足分别为E、F，，∴四边形OEMF为矩形， 已知，，设圆心O到AC、BD的距离分别为、，则 四边形ABCD的面积为：， 从而：， 当且仅当时即取等号，故四边形ABCD的面积最大值是5， 故答案为：5. 12. 在直角坐标平面xOy中，已知两定点、位于动直线的同侧， 设集合点与到直线l的距离之差等于1，， 记，，则由T中的所有点组成的图形面积是 12．【详解】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的 上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知， 中的所有点所组成的图形为图形阴影部分； ∴阴影部分的面积为，故答案为. 2、 选择题 (本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13. 已知下列命题：① 直线的倾斜角为，则此直线的斜率为；② 直线的斜率为，则直线的倾斜角为；③ 直线的倾斜角为，则. 上述命题中不正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 13．D【分析】根据倾斜角、斜率的知识对个命题进行分析，由此确定正确答案. 【详解】①，时，直线的斜率不存在，①错误； ②，，直线的倾斜角为，不是，②错误； ③，当时，，③错误；所以不正确的是①②③.故选：D. 14. “”是“直线（）与圆相交”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14．A【分析】根据直线与圆相交的判定，充分条件，必要条件即可求解 【详解】当时，直线为，过圆心，故直线与圆相交， 当直线与圆相交时，圆心到直线的距离， 化简得，显然恒成立，不能推出，所以“”是直线 与圆相交的充分不必要条件，故选：A. 15. 已知平面向量，，满足：，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 15.【答案】A【分析】如图，为单位圆，、、在上，， 根据相似三角形和向量的运算，结合向量的几何意义即可求出． 【详解】如图，为单位圆，、、在上，，， 在的延长线上，，为中点，为中点， 在的延长线上，，设，，为上一点，，则，△，，同理， ， ，故选：A． 16.在平面直角坐标系中，点，，定义为 点、之间的极距，已知点P是直线上的动点，已知点Q是圆上的动点， 则、两点之间的距离最小时，其极距为（ ）A. B. C. D. 16．C【分析】先分析出极距的含义，就是直角三角形中较小的直角边的大小.先用几何法求出 PQ的最小值，再求P，Q两点之间的极距.【详解】如图示：在平面直角 坐标系内，，作出直角三角形,则由极距的定义知，就是直角三角形中较小的直角边的大小； 因为点是直线上的动点，是圆上的动点，要使PQ最小，则，最小， 此时.设直线l交x轴于A， 交y轴于B,因为直线l的斜率为-2，所以，过P作轴， 过Q作轴，则,所以 在直角三角形中，P，Q两点之间的极距即为RQ, 设，则,所以，解得：， 即，所以P，Q两点之间的距离最小时的极距为，故选：C. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知，设直线：，直线：.（1）若，求m的值； （2）当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上. 17．（1）；（2），点I恒在定直线上. 【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得，然后验证是否重合可得；（2）联立直线方程求解可得点I的坐标，然后消参可知点I在定直线上.【详解】（1）因为，所以，解得， 当时，直线：，直线：即，显然此时两直线重合， 当时，直线：，直线：即，符合题意，故； （2）由（1）知，当，相交时，联立，解得，∴， 因为，即，所以点I恒在定直线上. 18．已知直线:，点． （1）求点关于直线的对称点的坐标；（2）直线关于点对称的直线的方程； （3）以为圆心，3为半径长作圆，直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 18．（1）；（2）；（3）或. 【分析】（1）设点，由关于直线对称，列出方程，解得，得到点的坐标； （2）设是直线上任意一点，则点关于点的对称点在直线，用代入法可求得直线的方程； （3）用垂径定理将弦长为，转化为圆心到直线的距离为，设出直线的方程，用点到直线的距离公式求解，注意考虑直线斜率不存在时是否符合题意. 【详解】解：（1）设点，则，解得：， 即点关于直线的对称点的坐标为； （2）设是直线上任意一点，则点关于点的对称点 在直线上，所以，即； （3）设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为，因此， 当直线斜率不存在时，不满足条件；当直线斜率存在时，设其方程为，则， 解得，综上，直线的方程为或． 19.人口普查期间，作为街道工作人员的叶阿姨和王叔叔需要上门登记每户的家庭成员信息，叶阿姨 和王叔叔分别需上门走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过叶阿姨家(点)的东西 和南北走向的街道，且王叔叔家在叶阿姨家的东偏北45度方向，以点0为坐标原点， 、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知张姓家庭(即点) 和李姓家庭(即点)是王叔叔负责区域中最远的两个家庭. （1）求出k，并写出叶阿姨和王叔权负责区域边界的曲线方程； （2）叶阿姨和王叔叔为交流登记信息，满在华山路(直线)上 碰头见面， 你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)？并给出理由. 19.【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径. （2）可先求圆心O关于的对称点P,找到直线PC与l 的交点，即为所求. 【详解】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：李叔叔家在王阿姨家的东偏北 方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等 故 故 即故 故李叔叔负责区域边界的曲线方程为 （2）圆心关于的对称点为 则有， 解得， ， 联立与，可得交点为， 王阿姨和李叔叔为交流登记信息，可选择在地点碰面，距离之和最近. 20.如图，已知满足条件（其中i为虚数单位）的复数z在复平面xOy对应的点的轨迹 为圆C（圆心为C），设复平面xOy上的复数对应的点为，定直线m的方程为 ，过的一条动直线l与直线m相交于N点，与圆C相交于P、Q两点， M是弦PQ中点． （1）若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直；（2）当时，求直线l的一般式方程； （3）设，试问t是否为定值？若为定值，请求出t的值，若t不为定值，请说明理由． 20．（1）证明见解析；（2）或；（3）是，. 【分析】（1）通过圆心和计算出的斜率，的斜率已知为，计算即可证明与垂直； （2） 对直线的斜率是否存在分类讨论，利用几何方法（是圆心到直线的距离，是 圆的半径）求解斜率；（3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时通过数值直接计算即可；斜率存在时，先与圆的方程联立求从而求解出的坐标表示，同理与联立求解出的坐标表示， 由此计算是否为定值. 【详解】（1）因为，所以，所以圆心，半径； 又因为，所以，而，所以，所以与垂直； （2）当直线的斜率不存在时，，此时，所以，满足题意； 当的斜率存在且为时，，即，则， 所以由，得，解得，此时； 综上：直线的方程为或； （3）当直线的斜率不存在时，易知， 所以，所以，即； 当直线的斜率存在且为时，设，， 联立，消去，得， 所以，，即，所以； 又由，可得，所以， 故，综上：为定值，且. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，难度较难：（1）复数的常见轨迹问题：表示以对应的点为圆心，半径为的圆；且表示以对应的点为焦点，为长轴长的椭圆；（2）定值问题的计算，可采用由特殊到一般的思路去解答. 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过圆T外一点P引它的两条切线，切点分别为M、N，若，则称P为圆T的环绕点.（1）当圆O半径为1时， ① 在、、中，圆O的环绕点是 ； ② 直线与轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在圆O的环绕点，求b的取值范围； （2）圆T的半径为1，圆心为，以（）为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在圆T的环绕点，直接写出t的取值范围. 21.（1）①P1，P3；②或；（2）-2<t≤4. 【分析】（1）①当时，结合切线长定理可得TP=2TM，然后以T为圆心，TP为半径作⊙T， 观察图可得答案，②如图，设小圆交y轴的正半轴与于E，当直线经过点E时，b=1，当直线与大圆相切于K(在第二象限)时，结合勾股定理可求出的值，从而可求出的取值范围； （3） 如图以E(m，m)(m>0)为圆心，m为半径的所有圆构成图形H， 图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上，然后分⊙T的圆心在y轴的正半轴上时和当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时结合切线长定理两种情况求解 【详解】（1）①P1，P3；如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点， 连接TM，TN，当时，∵PT平分∠MPN，∵∠TPM=∠TPN=30°， ∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT=∠PNT=90°，∴TP=2TM， 以T为圆心，TP为半径作⊙T，观察图象可知：当60°≤∠MPN<180°时， ⊙T的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点). 如图中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知， P1，P3是⊙O的环绕点，故答案为P1，P3. ②如图，设小圆交y轴的正半轴与于E，当直线经过点E时， b=1；当直线与大圆相切于K(在第二象限)时， 连接OK，由题意B(0，b)，A(-2b，0)， ∴OB=b，OA=2b，， ∵OK=2，•AB•OK=•OA•OB，∴， 解得，观察图象可知，当时， 线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知： 当时，线段AB上存在⊙O的环绕点，综上所述，满足条件的b的值为或； （2）如图3中，不妨设E(m，m)，则点E在直线y=x上， ∵m>0，∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，∵E(m，m)，∴OM=m，EM=， ∴以E(m，m)(m>0)为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知， 以E(m，m)(m>0)为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部， 包括射线OM，ON上；当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时， 假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D， 连接TD.∵，∴∠EOM=30°， ∵ON，OM是⊙E的切线，∴∠EON=∠EOM=30°，∴∠TOD=30°，∴OT=2DT=4，∴T(0，4)，当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时， 且经过点O(0，0)时，T(0，-2)，观察图象可知，当-2<t≤4时， 在图形H上存在⊙T的环绕点.【点睛】本题属于圆综合题， 考查了切线长定理，直线与圆的位置关系，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想问题，学会利用特殊位置解决数学问题.属于压轴题. 科网（北京）股份有限公司 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考直线与圆的方程卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章直线和圆的方程章节。 5．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 直线与直线垂直，则实数 2. 已知直线，，则直线、的夹角为 3. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 4. 一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点， 则入射光线所在直线的方程为 5. 与圆，同时相切的直线有 条 6. 若方程仅表示一条直线，则k的取值范围是 7. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，若已知△ABC的顶点、，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是 8．如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点， 光线从点出发，经，发射后又回到原点，若光线经过的重心， 则 ． 9．已知直线，给出以下命题： ①直线的一个法向量是；②直线的斜率是；③对任意，直线都不过原点； ④存在，使直线与坐标轴围成的三角形面积小于1，所有正确命题的序号是 ． 10．设，，三条直线，，， 则与的交点M到的距离的最大值为 ． 11．已知圆与直线相切，函数过定点， 过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为 . 12. 在直角坐标平面xOy中，已知两定点、位于动直线的同侧， 设集合点与到直线l的距离之差等于1，， 记，，则由T中的所有点组成的图形面积是 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13. 已知下列命题：① 直线的倾斜角为，则此直线的斜率为；② 直线的斜率为，则直线的倾斜角为；③ 直线的倾斜角为，则. 上述命题中不正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 14. “”是“直线（）与圆相交”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 15. 已知平面向量，，满足：，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 16.在平面直角坐标系中，点，，定义为 点、之间的极距，已知点P是直线上的动点，已知点Q是圆上的动点， 则、两点之间的距离最小时，其极距为（ ）A. B. C. D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知，设直线：，直线：.（1）若，求m的值； （2）当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上. 18．已知直线:，点． （1）求点关于直线的对称点的坐标；（2）直线关于点对称的直线的方程； （3）以为圆心，3为半径长作圆，直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 19. 人口普查期间，作为街道工作人员的叶阿姨和王叔叔需要上门登记每户的家庭成员信息，叶阿姨 和王叔叔分别需上门走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过叶阿姨家(点)的东西 和南北走向的街道，且王叔叔家在叶阿姨家的东偏北45度方向，以点0为坐标原点， 、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知张姓家庭(即点) 和李姓家庭(即点)是王叔叔负责区域中最远的两个家庭. （1）求出k，并写出叶阿姨和王叔权负责区域边界的曲线方程； （2）叶阿姨和王叔叔为交流登记信息，满在华山路(直线)上 碰头见面， 你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)？并给出理由. 20. 如图，已知满足条件（其中i为虚数单位）的复数z在复平面xOy对应的点的轨迹 为圆C（圆心为C），设复平面xOy上的复数对应的点为，定直线m的方程为 ，过的一条动直线l与直线m相交于N点，与圆C相交于P、Q两点， M是弦PQ中点． （1）若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直；（2）当时，求直线l的一般式方程； （3）设，试问t是否为定值？若为定值，请求出t的值，若t不为定值，请说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过圆T外一点P引它的两条切线，切点分别为M、N，若，则称P为圆T的环绕点.（1）当圆O半径为1时， ① 在、、中，圆O的环绕点是 ； ② 直线与轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在圆O的环绕点，求b的取值范围； （2）圆T的半径为1，圆心为，以（）为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在圆T的环绕点，直接写出t的取值范围. 1 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$