第二章　轴对称 习题课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“轴对称及其性质”第1课时，通过跨学科实例（如化学仪器）、传统文化素材（如壮锦纹样）导入，引导学生从现实世界观察轴对称现象，为后续学习轴对称性质搭建认知支架。 其亮点在于以“用数学眼光观察现实世界”为核心，融合跨学科、动手操作等内容，如通过镜面反射时间读取、台球反弹瞄准等问题培养几何直观，借助补全轴对称图形、拼正方形等开放题发展创新意识，助力学生提升应用能力，也为教师提供落实核心素养的多样化教学资源。

第二章　章末能力突破 考点一 轴对称图形和轴对称的性质应用 1．[2024·重庆]下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是( ) 2．[2024·福建]小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF.下列推断错误的是( ) A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC＋∠AOD＝180° 3．[2024·郑州期末]如图，将长方形纸片ABCD沿直线EN，EM进行折叠后(点E在AB边上)，B′点刚好落在A′E上，若折叠角∠AEN＝30°15′，则另一个折叠角∠BEM的度数为( ) A．60°85′ B．60°45′ C．59°85′ D．59°45′ 4．[2024·营口期末]如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是( ) 考点二 角平分线与线段的垂直平分线 5．[2024·绵阳]如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．5 6．[2024·海安期中]如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD.以下结论：①AD∥BC　②∠ACB＝2∠ADB　③∠ADB＋∠ACD＝90°　④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：①过点D作DM⊥AB于点M，DP⊥AC于点P，DN⊥BC于点N， 因为BD，CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF， 所以DM＝DN，DP＝DN， 所以DM＝DP， 所以AD平分∠EAC， 所以∠EAD＝∠CAD. 因为∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ACB＝∠ABC， 所以∠EAD＝∠ABC， 所以AD∥BC，故①正确； ②因为AD∥BC， 所以∠ADB＝∠DBC. 因为BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， 所以∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB， 即∠ACB＝2∠ADB，故②正确； ③因为CD平分∠ACF， 所以∠ACF＝2∠ACD. 又因为∠ACF＋∠ACB＝180°， ∠ACB＝2∠ADB， 所以2∠ADB＋2∠ACD＝180°， 所以∠ADB＋∠ACD＝90°，故③正确； ④因为BD平分∠ABC，AD∥BC， 所以∠ABD＝∠ADB， 所以△ABD是等腰三角形． 因为CD平分∠ACF，AD∥BC， 所以∠ACD＝∠ADC， 所以△ACD是等腰三角形， 故④正确． 7．[2024·思明区期末]如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD，分别交AC于点E，交AB于F，则BF的最大值为( ) 解析：过点F作FH⊥BC于点H，连接DF， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2， 所以AB＝2AC＝4. 因为EF垂直平分AD， 所以AF＝DF， 若要使BF最大，则AF需要最小， 设AF＝x，则BF＝4－x. 8．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠1＝ 42°，则∠AOC＝___°. 84 9．[2024·宝应县期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC的垂直 平分线MN分别交AB，AC于点M，N，点D是边BC的中点，点P是MN上 任意一点，连接PD，PC，若∠B＝α，∠CPD＝β，当△PCD周长 取到最小值时，β＝___________(用含α的代数式表示)． 180°－2α 考点三 等腰三角形的性质与判定 10．[2024·罗定市期末]如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的高，E为AC的中点，若△ADE的面积是3，则△ABC的面积为( ) A．6 B．9 C．12 D．15 11．[云南中考]已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则 △ABC的顶角度数是____________． 12．[2024·九龙坡区期中]如图，在三角形ABC中，AB＝AC，AD 平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂 直平分线上，若DE＝15 cm，则△ABC的周长等于___cm. 40°或100° 30 13.[新视角·开放性问题]如图，在等腰△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，试判断图中还有哪些三角形是等腰三角形？并选择其中一个证明． 解：图中还有△BCD，△ABD，△BED，△AED是等腰三角形， 证明：因为∠A＝36°，AB＝AC， 所以∠ABC＝∠C＝ (180°－∠A)＝72°. 因为BD平分∠ABC， 所以∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC＝36°， 所以∠A＝∠ABD＝36°， 所以AD＝DB， 所以△ADB是等腰三角形． 因为∠DBC＝36°，∠C＝72°， 所以∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝72°， 所以∠BDC＝∠C＝72°， 所以BD＝BC， 所以△BDC是等腰三角形． 因为BC＝BE， 所以BE＝BD， 所以△BED是等腰三角形， 所以∠BED＝∠BDE＝ (180°－∠ABD)＝72°. 因为∠BED是△ADE的一个外角， 所以∠BED＝180°－∠AED＝∠A＋∠ADE， 所以∠ADE＝∠BED－∠A＝36°， 所以∠A＝∠ADE＝36°， 所以AE＝DE， 所以△AED是等腰三角形． 考点四 等边三角形的性质与判定 14．[2024·绍兴]已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是( ) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 15．[2023·澄城县期末]如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E. 求证：△BCD是等边三角形． 证明：因为AB＝AC，AF为BC的中线， 所以AF⊥BC，即AF垂直平分BC， 所以BD＝DC. 因为CE是BD的垂直平分线， 所以BC＝CD， 所以BD＝DC＝BC， 所以△BCD是等边三角形． 16．[2024·岫岩县期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°. (1)求∠ADB的度数； (2)判断△ABE的形状并加以证明． 17.[动点问题]在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点， 以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，PQ∥AC，求t的值； (2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度 的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角 形？ 解：(1)因为△ABC是等边三角形，PQ∥AC， 所以∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°. 又因为∠B＝60°， 所以∠B＝∠BQP＝∠BPQ， 所以△BPQ是等边三角形， 所以BP＝BQ. 由题意可知AP＝t，则BP＝9－t， 所以9－t＝6，解得t＝3， 所以t的值为3； (2)如图2，①当点Q在边BC上时，连接AQ， 此时△APQ不可能为等边三角形； ②如图3，当点Q在边AC上时， 若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ， 由题意可知，AP＝t，BC＋CQ＝2t， 所以AQ＝BC＋AC－(BC＋CQ)＝9＋9－2t＝18－2t， 即18－2t＝t，解得t＝6， 所以当t＝6时，△APQ为等边三角形． 易错点 “将军饮马”问题中找不到最短线段造成错误 18．[2024·乌鲁木齐期末]如图，在直角XOY中，点A在射线OY上， 点B，C在射线OX上，且∠BAC＝∠ACB＝30°，AC＝5，点D是直线 OX上的一个动点，点D关于直线AB，AC的对称点为E，F，则线段EF 的最小值为____． 2.5 解析：如图，连接AD，AE，AF. 由题意，知AD＝AE＝AF，∠DAB＝∠BAE，∠DAC＝∠CAF. 因为∠BAC＝∠ACB＝30°，AC＝5，∠AOC＝90°， 所以OA＝ AC＝2.5，∠OAC＝60°，∠CAE＋∠EAB＝30°， 所以∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝∠CAE＋∠CAE＋∠DAE＝2(∠CAE＋∠BAE)＝60°. 因为AE＝AF， 所以△AEF是等边三角形， 根据垂线段最短可知，当点D与O重合时，AD的值最小， 所以AE的最小值＝OA＝2.5， 所以EF的最小值为2.5. 19．[2024·富县期末]【问题提出】 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得PA＋PB的值最小． 解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA＋PB的最小值为A′B. (1)如图2，在等边△ABC中，E是AB上的点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的点，若AD＝6，则PE＋PB的最小值为______； 【问题解决】 (2)如图3，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知OA＝5 km，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 解：(1)6； (2)分别作出点A关于OM，ON的对称点B，C，连接BC分别交OM，ON于点D，E，连接AD，AE，则线段AD，DE，EA之和即为所求的最短路径． 由题意，得OB＝OA＝OC＝5，∠BOD＝∠AOD，∠COE＝∠AOE. 因为∠MON＝∠AOD＋∠AOE＝30°， 所以∠BOC＝∠BOD＋∠AOD＋∠COE＋∠AOE＝60°， 所以△OBC为等边三角形， 所以BC＝OB＝5，AD＋DE＋EA＝BD＋DE＋EC＝BC＝5 km， 所以整个过程所行的路程为5 km. A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(8,3) D．2 因为∠B＝30°， 所以FH＝eq \f(1,2)BF＝2－eq \f(1,2)x. 当x＝2－eq \f(1,2)x，即x＝eq \f(4,3)时， AF取最小值为eq \f(4,3)，即BF的最大值为4－eq \f(4,3)＝eq \f(8,3). eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) 解：(1)因为BD＝BC，∠DBC＝60°，所以△DBC是等边三角形， 所以DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°. 在△ADB和△ADC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AD＝AD，,DB＝DC，)) 所以△ADB≌△ADC(SSS)， 所以∠ADB＝∠ADC， 所以∠ADB＝eq \f(1,2)×(360°－60°)＝150°； (2)△ABE是等边三角形．理由如下： 因为∠ABE＝∠DBC＝60°， 所以∠ABD＝∠CBE. 在△ABD和△EBC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADB＝∠BCE＝150°，,BD＝BC，,∠ABD＝∠CBE，)) 所以△ABD≌△EBC(ASA)， 所以AB＝BE.因为∠ABE＝60°， 所以△ABE是等边三角形． eq \f(1,2) $$第4课时　等腰三角形的判定 1．下列说法中，正确的有( ) A．两个全等的三角形一定关于某直线对称 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C．等腰三角形是轴对称图形，对称轴为等腰三角形的高 D．若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形 2.[新视角·实际应用][2024·裕华区期末]如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD与支杆BC，CD＝BC且∠BCE＝120°.若CD的长度为50 cm，则此时B，D两点之间的距离为( ) A．40 cm B．45 cm C．50 cm D．55 cm 3．[2024·永吉县期末]如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ABC上，若∠1＝24°，则∠2的度数为( ) A．24° B．36° C．48° D．56° 4.[新视角·实际应用][2024·宜城期中]如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则从海岛B到灯塔C的距离为( ) A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里 5．[2024·裕华区期末]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为( ) A．14 B．16 C．18 D．20 6．[2024·樊城区期末]如果三角形的三边a，b，c适合(a2－2ac) (b－a)＝c2(a－b)，则a，b，c之间满足的关系是___________； 有同学分析后判断△ABC是等边三角形，你的判断是__________ _________． a＝b或a＝c △ABC是等 腰三角形 7．[2024·昆明期末]如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长， 使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为______． 120° 8.[探究问题]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC边延长线 上的一点，并且CD＝CA，∠ADC＝15°，则AB与CD的大小关系是 ________． CD＝2AB 9.[动点问题][2023·平南县期末]如图，在锐角三角形ABC中， AB＝8，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是 AD和AB上的动点，当BM＋MN取最小值时，AN的长为__． 4 10.[分类讨论思想]如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射 线ON上运动)，∠AON＝30°. 当∠A＝___________时，△AOP为直角三角形； 当∠A＝__________________时，△AOP为等腰三角形． 60°或90° 30°或75°或120° 11．[2024·大理州期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上 的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F. (1)求证：△ADF是等腰三角形； (2)若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长． 解：(1)证明：因为AB＝AC， 所以∠B＝∠C. 因为FE⊥BC， 所以∠FEC＝∠FEB＝90°， 所以∠F＋∠C＝90°，∠B＋∠BDE＝90°， 所以∠F＝∠BDE. 因为∠BDE＝∠FDA， 所以∠F＝∠ADF， 所以AF＝AD， 所以△ADF是等腰三角形； (2)因为DE⊥BC， 所以∠DEB＝90°. 因为∠F＝30°， 所以∠BDE＝30°，∠C＝60°. 因为AB＝AC， 所以△ABC为等边三角形， 所以BC＝AC. 因为BD＝4， 所以BE＝ BD＝2， 所以BC＝BE＋EC＝2＋6＝8， 所以AC＝8. 12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，垂足 为点D，DE∥AC，交AB于点E，CD∥AB. (1)求证：△BDE是等腰三角形； (2)求证：CD＝BE. 证明：(1)因为DE∥AC，CD∥AB，∠1＝∠2， 所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4. 因为∠2＋∠ABD＝90°，∠5＋∠4＝90°， 所以∠5＝∠ABD， 所以DE＝BE， 所以△BDE是等腰三角形； (2)由(1)知，∠4＝∠2， 所以AE＝DE. 因为AD＝AD，∠1＝∠4，∠2＝∠3， 所以△ACD≌△DEA(ASA)， 所以CD＝AE， 所以CD＝AE＝DE＝BE. 13．[2024·北京期末]如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，且AC＝AD，过点A作AE⊥CD于点E，过点C作CG⊥AD于点G，与AB交于点F. (1)若∠CAD＝50°，求∠BCF的度数； (2)当∠B＝45°时，判断△ACF的形状， 并说明理由． 解：(1)因为AD＝AC， 所以∠ACD＝∠ADC＝ ×(180°－50°)＝65°. 因为CG⊥AD， 所以∠BCF＝180°－65°－90°＝25°； (2)证明：因为∠B＝45°，AE⊥CD， 所以∠BAE＝45°. 因为∠BAC＝45°＋∠EAC， ∠AFC＝180°－∠BFC＝45°＋∠BCF， 又因为∠EAC＝∠DAE， ∠BCF＝∠DAE， 所以∠EAC＝∠BCF， 所以∠BAC＝∠AFC， 所以AC＝FC， 所以△ACF是等腰三角形． 14.[分类讨论思想][2024·宜州区期末]如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD. (1)求证：△OCD是等边三角形； (2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状， 并说明理由； (3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 解：(1)证明：因为△BOC≌△ADC， 所以OC＝DC. 因为∠OCD＝60°， 所以△OCD是等边三角形； (2)△AOD是直角三角形． 理由如下： 因为△OCD是等边三角形， 所以∠ODC＝60°. 因为△BOC≌△ADC，α＝150°， 所以∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， 所以∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°， 所以△AOD是直角三角形； (3)因为△OCD是等边三角形， 所以∠COD＝∠ODC＝60°. 因为∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， 所以∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－110°－α－60°＝190°－α， ∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝α－60°， 所以∠OAD＝180°－∠AOD－∠ADO＝180°－(190°－α)－(α－60°)＝50°. ①当∠AOD＝∠ADO时，190°－α＝α－60°， 所以α＝125°； ②当∠AOD＝∠OAD时，190°－α＝50°， 所以α＝140°； ③当∠ADO＝∠OAD时， α－60°＝50°， 所以α＝110°. 综上所述，当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 15.[规律探究]如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线 ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4 …均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为( ) A．32 B．64 C．128 D．256 16.[模型建构·角平分线+平行线得等腰三角形] (1)如图1，AE∥BC，AE平分∠DAC，则△ABC的形状是_____三角 形； (2)如图2，BC平分∠ABD，AC∥BD，AC＝3，则AB＝__； (3)如图3，在△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于点D.若DE ＝7，AD＝5，则AB＝___； 等腰 3 12 (4)如图4，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F 作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若AB＝12，AC＝18，BC＝24， 则△ADE的周长为___； (5)如图5，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB 的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_____． 30 5 cm eq \f(1,2) eq \f(1,2) $$专题训练三　等腰三角形中的分类讨论思想 类型一 腰和底不确定 1．[2024·增城区期末]一个等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm，则它的周长是( ) A．8 cm B．14 cm C．16 cm D．14 cm或16 cm 2．[2024·高坪区期末]若等腰三角形的一边长为3 cm，周长为15 cm，则此等腰三角形的底边长是( ) A．3 cm或9 cm B．9 cm C．3 cm D．3 cm或6 cm 3．[2022·苏州]定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍， 这样的三角形叫作“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角 形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为__． 6 类型二 顶角和底角不确定 4．[2024·宿城区期末]在等腰三角形ABC中，若∠A＝70°，则∠B的度数是( ) A．40° B．55° C．70° D．40°或55°或70° 5．[牡丹江中考]过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰 三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底 角度数为___________． 36°或45° 6．[2024·西乡塘区期中]数学课上，刘老师列举了下面两个例题： 例1：在等腰△ABC中，∠A＝100°，求∠B的度数．(只有一个：40°) 例2：在等腰△ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(共有三个：40°，70°或100°) 刘老师启发同学们进行变式探索，小明编了如下题目： (1)变式1：已知，在等腰△ABC中，∠A＝120°，求∠B的度数； (2)变式2：已知，在等腰△ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数； (3)探索：在解(1)(2)后，小明发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．于是小明开始探索在等腰△ABC中，∠A的度数取哪些值时，∠B的度数是唯一的．已知：在等腰△ABC中，∠A＝x，当∠B的度数唯一时，求x的取值范围．请你帮助小明完成此题． (3)①当90°≤x＜180°时，此时∠A只能是顶角，∠B为底角，度数唯一； ②当x＝60°时，此时△ABC为等边三角形，∠B＝60°，度数唯一； 综上所述，当∠B的度数唯一时，x的取值范围是90°≤x＜180°或x＝60°. 类型三　高的位置不确定 7．[2024·栾城区期末]等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是35°，则顶角的度数是( ) A．55° B．125° C．125°或55° D．55°或145° 类型四　由腰上的中线诱发分类 8．[2024·和平区期末]在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分为15和21两部分，则AC的长为( ) A．16 B．11 C．16或8 D．11或1 9．一等腰三角形，周长为20 cm，从底边上的一个顶点到腰的 中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2 cm， 则腰长是_____________． 类型五　由腰上的垂直平分线不确定诱发分类 10．[2024·临泽县期中]在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则∠B的度数为( ) A．20° B．70° C．70°或20° D．无法确定 类型六　画等腰三角形需要分类讨论 11．[2024·河东区期末]已知如图的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数应是( ) A．4 B．6 C．8 D．10 12．[2024·椒江区期中]如图，l是一段平直的铁轨，某天小明 站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来， 已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着 不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A，B， C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．[2024·番禺区期末]如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．[2024·嵊州期末]根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是( ) 15．如图的5个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点 的一条直线不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的是_____． (填序号) ②⑤ 解：(1)因为∠A＝120°， 所以∠A只能为△ABC的顶角． 因为△ABC为等腰三角形， 所以∠B＝∠C＝eq \f(1,2)×(180°－120°)＝30°； (2)当∠A为顶角时，则∠B为底角，∠B＝eq \f(180°－80°,2)＝50°； 当∠A为底角，∠B为顶角时，∠B＝180°－2∠A＝20°； 当∠A，∠B为底角时，∠B＝∠A＝80°； 综上所述，∠B＝20°或50°或80°； eq \f(22,3) cm或6 cm $$☆问题解决策略：转化 1．[2024秋·中山区期中]阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得CA＋CB的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，则AB′与直线l的交点即为点C，且CA＋CB的最小值为AB′的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋BC＜AC′＋BC′即可． (1)请完成图3中的证明； (2)如图4，在等边△ABC中，E是AB中点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的动点．若AD＝4，则PE＋PB的最小值是_____； (3)如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，AD平分∠BAC，分别在AD，AC上取点M，N，连接CM，MN，则CM＋MN的最小值是_____． 解：(1)证明：因为直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， 所以CB＝CB′，C′B＝C′B′， 所以AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′， 在△AC′B′中，因为AB′＜AC′＋C′B′， 所以AC＋CB＜AC′＋C′B， 即AC＋CB的值最小； (2)如图1，在等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线， 作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，BE′， 所以E′为AC的中点， 所以BE′⊥AC， 所以BE′＝AD＝4， 由题意知，PE＋PB的最小值是BE′. 故答案为：4； (3)取点N关于AD的对称点E. 因为AD平分∠BAC，所以点E在AB上． 因为点N与点E关于AD对称， 所以MN＝ME. 所以CM＋MN＝CM＋ME. 当点C，M，E三点共线，且CE⊥AB时，CE有最小值，即CM＋MN有最小值． 因为∠BCA＝90°，BC＝6，CA＝8，AB＝10， 所以AC·BC＝AB·CE， 即10CE＝6×8， 解得CE＝4.8. 故答案为：4.8. 2．【类比与猜想】 (1)大胆猜想： 小明猜想；要计算圆柱的表面积，则需要计算圆柱的侧面积加上、下两个底面的面积，可以转化成计算一个大的长方形的面积吗？ (2)实践操作： ①如图1，小明把圆柱的底面的两个圆转化成一个近似的长方形， 近似的长方形的长相当于圆柱的______，宽相当于圆柱的_____； ②如图2，小明把圆柱表面积转化成近似的大长方形，近似大长 方形的长相当于圆柱的_________，宽相当于圆柱的_____，因为 大长方形的面积和圆柱的表面积相等，长方形的面积＝长×宽， 所以，圆柱的表面积＝_________，用字母表示是S表＝C(h＋r)； (3)逻辑推理：请你用常用的圆柱表面积的字母表达式子推导出 S表＝C(h＋r)，并运用公式求出如图中圆柱的表面积．(π取3.14) 解：(1)可以； (2)①根据图示可知，近似的长方形的长相当于圆柱的底面圆周长，宽相当于圆柱的底面圆半径． 故答案为：底面圆周长，底面圆半径； ②根据图示可知，近似大长方形的长相当于圆柱的底面圆周长，宽相当于圆柱的高＋底面圆半径，即表面积S＝底面圆周长×(高＋底面圆半径)＝C(h＋r)； 故答案为：底面圆周长，高＋底面圆半径，底面圆周长×(高＋底面圆半径)； (3)S＝2πr2＋2πrh＝2πr(r＋h)＝C(r＋h)， S＝10π×(10÷2＋15) ＝10π×(5＋15) ＝10π×20 ＝200π ＝200×3.14 ＝628(dm2)， 即图中圆柱的表面积是628 dm2. $$第二章　轴对称 1　轴对称及其性质 第1课时　轴对称现象 1. [跨学科][2024·邗江区期中]下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是( 　 ) 　 　 　 　　 A B C D 2. [传统文化][2024·南宁期末]壮锦纹样取材于生活，是壮族文化的直接表现．下列壮锦纹样中，是轴对称图形的是( 　 ) A B C D 3．[2024·法库县期末]如图所示的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是( 　 ) A B D C 4．[2024·新疆二模]下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是( 　 ) A B D C 5．[2024·陵城区一模]下列四个图案中，具有一个共有性质，则下面四个数字中，满足上述性质的一个是( 　 ) 　 　 A．6 　　　　 B．7 　　　　　 C．8 　　　　　 D．9 6．[2024·玉山县期末]如图，桌面上有M，N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是( 　 ) A．点A 　　　 B．点B 　　　 C．点C　　　 D．点D 7．[2024·烟台期中]在平面镜里看到背后墙上正放的电子钟示数如图所示，这时的时间应是( 　 ) A．01：21 B．10：21 C．10：51 D．15：01 8．如图曾被哈佛大学选为入学考试的试题．请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在空白处填上恰当的图形． 答案：所填图形为 9．如图，是轴对称图形的有_____，其中对称轴条数最多的是 ___．(填序号) ①③ ① 10．如图是由四个小正方形组成的田字格，在田字格没有棋子 的交点上再放一颗棋子，这颗棋子要与图上已有的棋子组成轴 对称图形，一共有__种不同的放法． 4 11．[2024·工业园区期中]如图，在3×3的正方形格纸中，有 一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴 对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有__个． 5 12．[2024·大渡口区期末]如图，把标有序号①，②，③， ④，⑤，⑥中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分 组成的新图形是轴对称图形，那么该小正方形的序号可以是_______________．(填一个即可) ②(③或④或⑤) 13．如图是由5个全等的正方形组成的，请你补上一个正方形，使它变成轴对称图形．(用3种不同的方法) 解：示例：(答案不唯一) 14. [新视角·动手操作]如图，图中的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请作出它们的对称轴． 解：第1，2，3，5个图形是轴对称图形；第4个图形不是轴对称图形．如图所示： 15．请你用3种方法，用4块如图所示的小正方形纸板拼成一个大的正方形，并且使拼成的大正方形是至少有两条对称轴的轴对称图案． 解：如图所示， 16．[2024·蠡县期中]下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请按要求对以下图形进行填充． (1)使得图1成为轴对称图形； (2)使得图2成为至少有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形； (3)使得图3成为至少有2条对称轴且阴影部分面积不超过6的图形． 解：如图所示(答案不唯一)： 17．如图，将标号为①，②，③，④的正方形沿图中的虚线剪开，摆放成标号为(A)，(B)，(C)，(D)的4个图形． (1)找出相互对应的图形，并用线连接； (2)这4个图形中，哪些是轴对称图形？请画出它们的对称轴． 解：(1)如图1所示； (2)如图2所示，图形(A)，(B)，(C)，(D)是轴对称图形． $$第二章综合测试卷 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1．[2024·徐州]古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是( ) 2．[2024·西工区期中]如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝8，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是( ) A．PE＝8 B．PE＞8 C．PE≤8 D．PE≥8 3．尺规作图要求：Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ.作线段的垂直平分线；Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.作角的平分线．与作图要求一致的图形顺序是( ) A．①②③④ B．③②④① C．②④③① D．②③④① 4．[孝感中考]光线以如图所示的角度α，照射到平面镜Ⅰ上，然后在平面镜Ⅰ，Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝50°，∠β＝60°，则∠γ等于(注：入射光线与反射光线与平面镜的夹角相等)( ) A．40° B．50° C．60° D．70° 5．[2024·碧江区期末]小明是一个爱动手动脑的孩子，有一天他将一张正方形纸片按图1、图2所示的方式依次对折后，再沿图3中的虚线剪裁，最后将图4中的纸片打开铺平，所得到的图案是( ) 6．如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7.[跨学科][2025·南昌模拟]图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB∥CD，AC∥OD，OD＝OC，∠BAC＝50°，则∠DOC的度数为( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 8．[2024·献县期末]如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是AC上的一点，若AE＝2，当EM＋CM取得最小值时，则∠ECM的度数为( ) A．15° B．22.5° C．30° D．45° 9．[2024·广饶县期末]在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠BCD＝( ) A．16° B．28° C．44° D．45° 10．[2024·盘山县期末]如图，在Rt△ABC中，∠B＝45°，AB ＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB， AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形　②AE ＝CF　③△BDE≌△ADF　④BE＋CF＝EF.其中正确结论是( ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 11．[2024·禹城期末]小明在纸上画了一个边长为5 cm的等边三 角形ABC，并将一个宽为2 cm直尺如图所示放在所画△ABC上，使 得直尺一条边与△ABC的边BC重合，另一条边交边AB于点E，则AE ＝_____． 1 cm 12．[2024·和平区期末]如图，工人在某施工现场作业，有一个 长为1.6米的梯子(图中CM)斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°， 如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子(图中CN)的 倾斜角为45°，那么MN的长是____米． 1.6 13．[2024·嵩县期末]如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线 交于点O，过O点作EF∥BC交AB，AC于点E，F，EF＝5，BE＝2， 则CF＝__． 3 14．[2024·林州期末]如图，△ABC为等边三角形，P为边BC上 一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，若∠APB＝104°，则∠ADP 的度数是_____． 68° 15．[2024·龙亭区一模]如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射 线OA，OB上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝5，则△PMN的 周长的最小值为__． 5 16．[2024·康平县期末]如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝ 46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C 落在同一平面内的点C′处，当C′D平行于△ABC的边时，∠CDB 的大小为____________． 118°或67° 三、解答题(共72分) 17．(8分)如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：(用直尺画图，保留痕迹) (1)求格点△ABC(顶点均在格点上)的面积； (2)画出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1； (3)在DE上找一点P使得△ACP周长最小． (3)如图，连接AC1交DE于点P，点P即为所求． 18．(10分)如图，在△ABC中，点D在BC边上，EF是AD的垂直平分线，交AD于点E，交BC的延长线于点F，且∠B＝∠CAF，求证：AD平分∠BAC. 证明：因为EF是AD的垂直平分线， 所以AF＝DF， 所以∠ADF＝∠DAF， 所以∠B＋∠BAD＝∠CAF＋∠DAC. 因为∠B＝∠CAF， 所以∠BAD＝∠DAC， 所以AD平分∠BAC. 19．(10分)[2024·湘西州期末]如图，在△ABC中，∠B＝45°， ∠C＝50°. (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现射线AE是∠DAC的_____； 直线DF是线段AB的______； (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数． 解：(1)角平分线，垂直平分线； (2)因为∠B＝45°，∠C＝50°，所以∠BAC＝180°－45°－ 50°＝85°. 因为DF垂直平分线段AB，所以DB＝DA，所以∠B＝∠DAB＝45°， 所以∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝85°－45°＝40°. 因为AE平分∠DAC，所以∠DAE＝ ∠DAC＝20°. 20．(10分)如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E.点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M. (1)求∠DMB的度数； (2)若CH⊥BE于点H，AB＝16，求MH的长． 解：(1)因为∠ACB＝90°，∠A＝30°，所以∠ABC＝60°. 因为BE是∠ABC的角平分线，所以∠ABE＝∠CBE＝30°. 因为∠A＝30°，AC＝AD，所以∠ACD＝∠ADC＝ ×(180°－30°) ＝75°，所以∠DMB＝∠ADC－∠ABE＝45°； (2)因为∠ACB＝90°，∠A＝30°，所以AB＝2BC. 因为CH⊥BE，∠CBE＝30°，所以BC＝2CH，所以AB＝4CH. 因为∠CMH＝∠DMB＝45°，在Rt△CHM中，∠HCM＝90°－∠CMH＝45°，所以∠CMH＝∠HCM，所以CH＝MH，所以AB＝4MH. 因为AB＝16，所以MH＝ AB＝4. 21．(10分)如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于点E，B，D分别在AM，AN上，且2AE＝AD＋AB.问：∠1和∠2有何数量关系？并说明理由． 解：∠1与∠2互补． 理由：作CF⊥AN于点F，如图， 因为∠3＝∠4，CE⊥AM，所以CF＝CE， ∠CFA＝∠CEA＝90°.在Rt△ACF和Rt△ACE中， 22．(12分)[2024·巫山县期中]如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA，BD交AC于点F，连接AD. (1)解答下列问题： ①若∠BAC＝40°，则∠BDC＝_____； ②求出∠BDC与∠BAC之间的关系式； (2)求证：△ABD为等腰三角形； (3)当∠EBA的大小满足什么条件时，以A，B，F为顶点的三角形为等腰三角形？ (2)证明：作DM⊥BG于点M，DN⊥AC于点N，DH⊥BE于 点H，如图所示： 因为BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA，所以DM＝DH， DN＝DH，所以DM＝DN，所以AD平分∠CAG，即∠GAD＝∠CAD. 因为∠GAD＋∠CAD＋∠BAC＝180°，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，所以∠GAD＋∠CAD＝∠ABC＋∠ACB. 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，所以∠GAD＝∠ABC，所以AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC，所以∠ABD＝∠ADB，所以AB＝AD，所以△ABD为等腰三角形； 23.[模型应用](12分)【问题发现】 (1)如图1，在△PAB中，过点P作MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC.若PB＝4，则PA的值为______； 【问题探究】 (2)如图2，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N，BC＝30，连接AD，AE，求△ADE的周长； 【拓展应用】 (3)如图3，△ABC是一个游乐场的平面示意图，其中AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D.现计划分别在P，Q处各修建一个游客休息区，P，Q分别在小路BD，BC上，且BP＝CQ，连接AP，AQ，由规划得知AP＋AQ的最小值为2 km.现要继续在点M，N，F处修建游乐区，点M在BC上，且在线段AB的垂直平分线上，点F，N分别是BC，BD上的动点．沿MN，NF修建轨道交通以方便游客游玩．为节约成本要求MN＋NF的值最小，请问MN＋NF的值是否存在最小值；若存在，请求出此时BF的长；若不存在，请说明理由． 解：(1)4； (2)因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，所以AD＝BD，CE＝AE，所以△ADE的周长为AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝30； (3)存在．因为AB＝AC，∠BAC＝100°，所以∠ABC＝∠ACB＝40°. 因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD＝20°. 如图，作线段CE，使∠ECQ＝∠PBA＝20°，EC＝AB ，连接QE，AE, 所以∠ACE＝∠ACB＋∠ECQ＝40°＋20°＝60°. 因为AB＝AC，EC＝AB，所以AC＝EC，所以△ACE是等边三角形，所以EC＝AE，所以AB＝AE. 因为CQ＝BP，∠ECQ＝∠PBA，EC＝AB，所以△ECQ≌△ABP(SAS)，所以QE＝AP， 所以AP＋AQ＝QE＋AQ≥AE. 因为 AP＋AQ的最小值为AE，即AE＝2，所以AB＝2.作AB的垂直平分线 交BC于点M，即OB＝ AB＝1，作点F关于BD的对称点R，连接MN，NF， NR，MR，则NR＝NF， 因为BD平分∠ABC，点F关于BD的对称点R，所以点R在直线AB上． 因为MN＋NF＝MN＋NR≥RM，所以当M，N，R共线且直线MR垂直于AB时， MN＋NF最小，所以点R和点O重合，即OB＝ AB＝1时，MN＋NF有最小值， 因为BD平分∠ABC，点R在直线AB上，点F关于BD的对称点R，所以BF＝ OB＝1 km. 解：(1)S△ABC＝3×3－eq \f(1,2)×2×3－eq \f(1,2)×1×3－eq \f(1,2)×1×2＝eq \f(7,2)； (2)如图，△A1B1C1即为所求； eq \f(1,2) eq \f(1,4) eq \f(1,2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠3＝∠4，,∠CFA＝∠CEA，,CF＝CE，))所以Rt△ACF≌Rt△ACE(AAS)，所以AF＝AE. 因为AE＝eq \f(1,2)(AD＋AB)＝eq \f(1,2)(AF－DF＋AE＋EB)＝AE＋eq \f(1,2)(BE－DF)，所以BE＝DF. 在△DFC和△BEC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CF＝CE，,∠CFD＝∠CEB，,DF＝BE，)) 所以△DFC≌△BEC(SAS)，所以∠5＝∠2. 因为∠1＋∠5＝180°，所以∠1＋∠2＝180°. 解：(1)①20°； ②∠BDC＝eq \f(1,2)∠BAC. 因为BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA，BD交AC于点F， 所以∠BDC＋eq \f(1,2)∠ABC＝eq \f(1,2)∠ACE，∠BAC＋∠ABC＝∠ACE， 所以∠BDC＋eq \f(1,2)∠ABC＝eq \f(1,2)∠BAC＋eq \f(1,2)∠ABC， 所以∠BDC＝eq \f(1,2)∠BAC； (3)①AB＝AF不可能，舍去； ②AF＝BF时，∠EBA＝72°，理由如下： 因为AF＝BF，所以∠BAF＝∠ABF＝eq \f(1,2)∠ABC. 因为∠BAF＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACB， 所以eq \f(5,2)∠ABC＝180°，所以∠ABC＝72°，即∠EBA＝72°； ③AB＝BF时，设∠ABF＝∠FBC＝x， 则∠ABC＝∠ACB＝2x，∠BAF＝∠BFA＝3x. 在△ABC中，所以2x＋2x＋3x＝180°， 所以x＝eq \f(180°,7)，所以∠EBA＝2x＝eq \f(360°,7)， 综上所述，满足条件的∠EBA的值为72°或eq \f(360°,7). eq \f(1,2) eq \f(1,2) $$2　简单的轴对称图形 第1课时　线段的垂直平分线 1．[2024·福田区期末]如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC的长为9 cm，BE的长为6 cm，则EC的长为( ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 2．[2024·连州期末]三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的( ) A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D，E，已知△ADE的周长为13 cm，分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为28 cm，则OA的长为( ) A．6.5 cm B．7.5 cm C．13 cm D．43 cm 4．[2024·镇江]如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D， 连接BD.若AC＝8，CD＝5，则BD＝__． 3 5．[2024·宜兴期末]如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分 线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝_____． 40° 6．[2024·西宁期末]如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝ 40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长 取最小值时，则∠MPN的度数为______． 100° 7．[2024·闵行区期末]如图，在△ABC中，已知点O是边AB，AC 垂直平分线的交点，点E是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，若∠O ＋∠E＝180°，则∠A＝___度． 36 解析：如图，连接OA. 因为点O是AB，AC的垂直平分线的交点， 所以OA＝OB＝OC， 所以∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA， 所以∠BOC＝∠ABO＋∠OCA＋∠BAC＝2∠OAB＋2∠OAC＝2∠BAC， 因为点E是∠ABC，∠ACB角平分线的交点， 8．[2024·市南区期末]如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分 别与AB，BC交于点D，E，AC的垂直平分线FG分别与BC，AC交于点 F，G，BC＝20，EF＝7，则△AEF的周长是___． 34 9.[新视角·方案设计][2024·定州期中]如图，直线l是一条河，A，B是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向A，B两地供水． (1)在图1中标出水泵站的位置P点，使它到A，B两地的距离相等； (2)[将军饮马模型]在图2中标出水泵站的位置M点，使所需管道MA＋MB的长度最短．(本题不写作法，不要求证明，保留作图痕迹) 解：(1)如图1所示： (2)如图2所示： 10．[2024·东湖区期末]如图，在△ABC中，分别以点A和点C为 圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线MN与 AC，BC分别相交于E和D，连接AD. (1)若∠B＝110°，∠BAD＝20°，求∠C的度数； (2)若AE＝3 cm，△ABC的周长为13 cm， 求△ABD的周长． 解：(1)由作法得MN垂直平分AC， 所以AE＝CE，DA＝DC， 所以∠C＝∠CAD. 因为∠B＝110°，∠BAD＝20°， 所以∠C＋∠CAD＝2∠C＝180°－110°－20°＝50°， 所以∠C＝25°； (2)因为△ABC的周长为13 cm，AE＝3 cm， 即AB＋BC＋AC＝13 cm，AC＝6cm， 所以AB＋BD＋DA＋AC＝13 cm， 即AB＋BD＋DA＝7 cm， 所以△ABD的周长为7 cm. 11．[2023·娄底]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证： (1)FC＝AD； (2)AB＝BC＋AD. (2)因为△ADE≌△FCE， 所以AE＝EF，AD＝CF. 又因为BE⊥AF， 所以BE是线段AF的垂直平分线， 所以AB＝BF＝BC＋CF. 因为AD＝CF， 所以AB＝BC＋AD. 12.[分类讨论思想]已知线段AB垂直平分线上有两点C，D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝( ) A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90° 13.[推理能力][2024·启东期中]已知，在△ABC中，DE垂直平分边AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分边AC，分别交AC，BC于点M，N. (1)如图1，若∠BAC＝108°，求∠EAN的度数； (2)如图2，若∠BAC＝78°，求∠EAN的度数； (3)通过以上的探索过程，请根据图1与图2分别写出∠EAN与∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由． 解：(1)因为DE垂直平分AB， 所以EA＝EB， 所以∠B＝∠EAB， 同理∠C＝∠CAN， 所以∠EAB＋∠CAN＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC， 所以∠EAN＝∠BAC－(180°－∠BAC) ＝2∠BAC－180°＝2×108°－180°＝36°； (2)由(1)可知，∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAN， 所以∠EAB＋∠CAN＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC， 所以∠EAN＝∠EAB＋∠CAN－∠BAC＝180°－2∠BAC＝180°－2×78°＝24°； (3)由图1知当90°<∠BAC<180°时， ∠EAN＝2∠BAC－180°＝2(180°－∠B－∠C)－180°＝180° －2(∠B＋∠C)； 由图2知当0°<∠BAC<90°时， ∠EAN＝180°－2∠BAC＝180°－2(180°－∠B－∠C) ＝2(∠B＋∠C)－180°. 所以∠E＝180°－eq \f(1,2)(180°－∠BAC)＝90°＋eq \f(1,2)∠BAC. 因为∠BOC＋∠E＝180°， 所以2∠BAC＋90°＋eq \f(1,2)∠BAC＝180°， 所以∠BAC＝36°. eq \f(1,2) 证明：(1)因为AD∥BC， 所以∠ADC＝∠ECF. 因为E是CD的中点， 所以DE＝EC. 在△ADE与△FCE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADE＝∠FCE，,DE＝CE，,∠AED＝∠FEC，)) 所以△ADE≌△FCE(ASA)，所以FC＝AD； $$第2课时　角平分线 1．[2024·遵化期末]如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( ) A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．∠CPD＝∠DOC 2．[2024·嵩明县期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆 心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为 圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交 BC于点D.若CD＝4，AB＝12，则S△ABD的值为( ) A．24 B．36 C．48 D．60 3.[将军饮马模型][2024·怀化期末]如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是( ) A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 4．[2024·玄武区期中]如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为12，14，20，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC＝( ) A．2∶3∶4 B．10∶7∶6 C．5∶4∶3 D．6∶7∶10 5．如图，是利用尺规作角平分线的示意图，其作图依据为____． SSS 6．[2024·海州区期末]如图在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°， AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝10，则 △BDE的周长等于___． 10 7．[2024·忻州期中]如图所示，点E到△ABC三边的距离相等， 过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N.若BM＋CN＝2 025，则线段 NM的长为______． 2 025 8．[2024·白云区期末]如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外 角平分线BP，CP交于点P，PE⊥AC于点E.若△ABC的面积为10， △BPC的面积为7，PE＝4，则△ABC的周长为___． 12 9．[2024·翁牛特旗期末]电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置，从图中标出．(保留作图痕迹，说明理由) 解：如图，作AB的垂直平分线与∠MON或∠QON的平分线，交点P1，P2即为所求发射塔应修建的位置． 理由：因为P1在AB的垂直平分线上， 所以P1到A，B两点的距离相等． 因为P1在∠MON的平分线上， 所以P1到m，n的距离相等，同理P2也满足题意． 10．[2023·青浦区期中]已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N.求证：PM＝PN. 11.[新趋势·动手操作][2024·宝丰县期末]图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE. (1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P.AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由； (2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 解：(1)因为AB∥CD， 所以∠ACD＋∠CAB＝180°. 因为∠ACD＝130°， 所以∠CAB＝50°. 由题意AM平分∠CAB， 所以∠MAB＝ ∠CAB＝25°； (2)证明：因为AM平分∠CAB， 所以∠CAM＝∠MAB. 因为AB∥CD， 所以∠AMC＝∠MAB， 所以∠CAN＝∠CMN. 因为CN⊥AM， 所以∠ANC＝∠MNC＝90°. 13.[探究创新题][2024·海阳期末]如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上． (1)求∠PAD的度数； (2)求证：P是线段CD的中点． 解：(1)因为AD∥BC， 所以∠C＝180°－∠D＝180°－90°＝90°. 因为∠CPB＝30°， 所以∠PBC＝90°－∠CPB＝60°. 因为PB平分∠ABC， 所以∠ABC＝2∠PBC＝120°. 因为AD∥BC， 所以∠DAB＋∠ABC＝180°， 所以∠DAB＝180°－120°＝60°. 因为AP平分∠DAB， 所以∠PAD＝ ∠DAB＝30°； (2)证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图， 因为AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB， 所以PE＝PD. 因为BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB， 所以PE＝PC， 所以PD＝PC， 所以P是线段CD的中点． 14.[规律探究题·双角平分线模型] 【感知】如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC. 【探究】如图2，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＜90°， 求证：DB＝DC； 【应用】如图3，四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB ＝DC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，若BE＝a，则AB－AC的值是多 少(用含a的代数式表示)． 【探究】 证明：如图2中，过D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 因为DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， 所以DE＝DF. 因为∠B＋∠ACD＝180°， ∠ACD＋∠FCD＝180°， 所以∠B＝∠FCD. 所以AF＝AE， 所以AB－AC＝(AE＋BE)－(AF－CF)＝2BE. 因为BE＝a， 所以AB－AC＝2a. eq \f(1,2) 证明：因为BD为∠ABC的平分线， 所以∠ABD＝∠CBD. 在△ABD和△CBD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABD＝∠CBD，,BD＝BD，)) 所以△ABD≌△CBD(SAS)， 所以∠ADB＝∠CDB， 所以BD平分∠ADC. 因为点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， 所以PM＝PN. 解：(1)AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AE，,FD＝FE，,AF＝AF，)) 所以△ADF≌△AEF(SSS)， 所以∠DAF＝∠EAF， 所以AP平分∠BAC; (2)如图，过点P作PG⊥AC于点G. 因为AP平分∠BAC，PQ⊥AB， 所以PG＝PQ＝6. 因为S△ABC＝S△ABP＋S△APC＝eq \f(1,2)AB·PQ＋eq \f(1,2)AC·PG， 所以eq \f(1,2)AB×6＋eq \f(1,2)×9×6＝60， 所以AB＝11. 12．[2024·长沙一模]如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于eq \f(1,2)EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M. (1)若∠ACD＝130°，求∠MAB的度数； (2)若CN⊥AM，垂足为N，求证：△CAN≌△CMN. eq \f(1,2) 在△CAN和△CMN中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAN＝∠CMN，,∠ANC＝∠MNC，,CN＝CN，)) 所以△CAN≌△CMN(AAS)． eq \f(1,2) 在△DFC和△DEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FCD＝∠B，,∠F＝∠DEB，,DF＝DE，)) 所以△DFC≌△DEB(AAS)， 所以DB＝DC； 【应用】如图3，连接AD，过点D作DF⊥AC于F， 因为∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°， 所以∠B＝∠FCD. 在△DFC和△DEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠F＝∠DEB，,∠FCD＝∠B，,DC＝DB，)) 所以△DFC≌△DEB(AAS)， 所以DF＝DE，CF＝BE， 所以AD为∠BAC的角平分线． 在△ADF和△ADE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠F＝∠AED，,∠FAD＝∠EAD，,AD＝AD，)) 所以△ADF≌△ADE(AAS)， $$第2课时　轴对称的性质 1．[2024·罗山县期末]下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( ) 2．[2024·船营区期末]如图，四边形ABCD中，对角线BD所在的 直线是其对称轴，P是直线BD上的点，下列判断错误的是( ) A．AD＝DC B．∠DAP＝∠DCP C．AB＝BP D．∠ABP＝∠CBP 3．[2024·新荣区期中]在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°，则∠MGE的度数为( ) A．50° B．90° C．40° D．80° 4．[2024·中山市三模]如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的( ) A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 5．如图，∠AOB内一点P，点P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝5，则△PMN的周长是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 6．[河北中考]如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝2.8.若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是( ) A．0 B．5 C．6 D．7 7．如图，直线AD是三角形ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是( ) A．1 B．3 C．6 D．9 8．[2024·淮北期末]如图，将△ABC沿AD所在的直线折叠，使点B落在AC边上的点E处，∠B＝48°且EC＝BD，那∠ADE的度数是( ) A．70° B．75° C．78° D．80° 9．[2024·江城区期末]如图，在三角形纸片中，AB＝8 cm， BC＝6 cm，AC＝5 cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为__cm. 7 10．光线以如图所示的角度α照射到平面镜Ⅰ上，然后在平面 镜Ⅰ，Ⅱ之间来回反射．已知∠α＝60°，∠β＝50°，则∠γ 的度数为_____． 40° 11.[分类讨论思想]在学习“生活中的轴对称”之后，小颖对图 形的变换进行操作实践．P为长方形纸片ABCD的边AB上一点，点E， M分别为AD，CD上的动点，如图，先把纸片ABCD沿PE对折，A与F 重合；再把纸片沿PM对折，B与H重合．当点E，M运动时，若 ∠FPH＝32°，则∠APE＋∠BPM＝____________． 74°或106° 12．如图，网格中的△ABC和△DEF是轴对称图形． (1)利用网格线，作出△ABC和△DEF的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上找点G，使GA＋GC最小； (3)如果每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积为______． 解：(1)如图所示，直线l即为△ABC和△DEF的对称轴； (2)如图所示，连接CD，交l于G，连接AG，则GA＋GC最小，点G 即为所求； 13．如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C，其中∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF. (1)若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数； (2)已知∠BAE＋∠ABE＝90°，求证：BC∥PA. 解：(1)因为∠PAD＝32°， 所以∠PAD＝∠BAE＝32°. 因为∠PAD＋∠BAE＋∠PAB＝180°， 所以∠PAB＝180°－32°－32°＝116°； (2)证明：因为∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF，∠BAE＋∠ABE＝90°， 所以∠PAD＋∠CBF＝90°. 因为∠PAD＋∠BAE＋∠PAB＝180°，∠CBF＋∠ABC＋∠ABE＝180°， 所以∠PAD＋∠BAE＋∠PAB＋∠CBF＋∠ABC＋∠ABE＝360°， 所以∠PAB＋∠ABC＝180°， 所以BC∥PA. 14.[规律探究][2024·黄浦区期末]如图，在长方形ABCD中，一发光电 子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边 碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每 次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与长方形的边碰撞 次数为2 025次时，则它与AB边的碰撞次数是____． 675 15．[2023·于洪区期末]在所给网格图中，每小格都是边长为1的正方形，每个小正方形的顶点都称为“格点”，△ABC的顶点都在格点上． (1)在图1中，作出△ABC关于直线l成轴对称的图形△A1B1C1； (2)在图2的直线l上画出点P，使△PBC的周长最小(保留作图痕迹，并标上字母P)； (3)在图3的直线l上画出点Q，使|QC－QB|值最大(保留作图痕迹，并标上字母Q)； (4)△ABC的面积是_______． 解：(1)如图1中，△A1B1C1即为所求； (2)如图2中，点P即为所求； (3)如图3中，点Q即为所求； (3)S△ABC＝2×4－eq \f(1,2)×1×2－eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×1×4＝3， 故答案为：3. (4)△ABC的面积＝3×5－eq \f(1,2)×2×3－eq \f(1,2)×1×3－eq \f(1,2)×2×5＝5.5. 故答案为：5.5. $$第3课时　等腰三角形的性质 1．[2024·昆明期末]大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年(公元1368年)，位于昆明市以西约2公里的滇池湖畔，完好保存着许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑．如图，建筑的顶端可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是BC的中点．下列结论不一定正确的是( ) A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．AB＝2AD 2．[2025·延安期中]如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，若BE＝2，AE＝8，则CE的长是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 3．[2024·台江区期末]某平板电脑支架如图所示，其中AB＝CD，EA＝ED，为了使用的舒适性，可调整∠AEC的大小．若∠AEC增大16°，则∠BDE的变化情况是( ) A．增大16° B．减小16° C．增大8° D．减小8° 4.[分类讨论思想][牡丹江中考]等腰三角形的一个角是80°，则 它的另外两个角的度数是_______________________． 5．[2024·重庆]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平 分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为__． 80°，20°或50°，50° 2 6．[2025·嘉兴二模]如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B在直线 n上，直线m交AB边于点D.若∠α＝22°，则∠β的度数为_____． 82° 7.[分类讨论思想][2024·江山期中]已知一个等腰三角形一腰 上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数 为____________． 8．[2023·西宁]在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC 边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是_____ _______． 50°或130° 90° 或50° 9．[2025·安康期末]如图，在△ABC中，AB＝10，△ABC的面积 为30，D是边AB上一动点，连接CD，以CD为边，向上作等边△CDE， 则当△CDE的周长最小时，CD的值为__． 6 10．[2024·利川模拟]如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM交于点Q. (1)求证：△BAN≌△ACM； (2)求∠BQM的大小． 解：(1)证明：因为△ABC为等边三角形， 所以AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠BCA＝60°. 因为BM＝CN， 所以CM＝AN. 又因为∠BAN＝∠ACM， 所以△BAN≌△ACM(SAS)； (2)由(1)，得△BAN≌△ACM， 所以∠CAM＝∠ABN， 所以∠BQM＝180°－∠AQB＝∠ABN＋∠BAQ＝∠CAM＋∠BAQ＝∠BAC＝60°. 11．[2024·同安区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，点E在AB上，AD＝AE，连接DE.若∠BAC＝76°，求∠BDE的度数． 解：因为AB＝AC，AD为△ABC 的中线， 所以AD平分∠BAC，AD⊥BC， 所以∠BAD＝ ∠BAC＝38°. 因为AD＝AE， 所以∠AED＝∠ADE＝71°， 所以∠BDE＝∠ADB－∠ADE＝19°. 12．[2024·黔江区期末]在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD. (1)如图1，求∠BAC的度数； (2)如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.求证：AF＝AB＋BC. 解：(1)设∠ABD＝x°， 因为BD平分∠ABC， 所以∠DBC＝x°. 因为AB＝AC， 所以∠C＝∠ABC＝2x°. 又因为BD＝AD， 所以∠A＝x°. 在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， 所以x＋2x＋2x＝180， 解得x＝36， 所以∠A＝36°， 所以∠BAC的度数为36°； (2)证明：因为E是AB的中点，BD＝AD， 所以EF是AB的垂直平分线， 所以AF＝BF， 所以∠FBA＝∠FAB＝72°， 所以∠AFB＝∠FAC＝36°， 所以CA＝CF， 所以AB＝AC＝CF， 所以AF＝BF＝BC＋CF＝AB＋BC. 13．[2024·米东区期末]如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC，AC上的一点，且AD＝AE. (1)如图1，若∠BAC＝90°，D为BC中点，则∠2的度数为_____； (2)如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明． 解：(1)22.5°； (2)∠AED＝180°－∠DEC＝∠2＋∠C， ∠ADC＝180°－∠ADB＝∠B＋∠1， 因为AD＝AE， 所以∠AED＝∠ADE. 因为AB＝AC， 所以∠B＝∠C， 所以∠B＋∠1＝∠2＋∠C＋∠2， 即∠1＝2∠2. 14.[规律探究][2024·怀化期末]如图，在第一个△A1BC中， ∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使 A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长 A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E……如此类推，可得 到第n个等腰三角形，则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角 的度数为( ) 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高． (1)DE，DF，CG的长之间的等量关系是_______； (2)若D在底边BC的延长线上，其他条件不变， 试猜测DE，DF，CG的长之间的等量关系， 并说明理由． eq \f(1,2) A．(eq \f(1,2))n·40° B．(eq \f(1,2))n－1·40° C．(eq \f(1,2))n－1·70° D．(eq \f(1,2))n·70° 解：(1)DE＋DF＝CG，理由如下： 如图1，连接AD， 则S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即eq \f(1,2)AB·CG＝eq \f(1,2)AB·DE＋eq \f(1,2)AC·DF， 所以AB·CG＝AB·DE＋AC·DF. 因为AB＝AC， 所以AB·CG＝AB·DE＋AB·DF， 所以DE＋DF＝CG， 故答案为：DE＋DF＝CG； (2)当点D在BC延长线上时， DE－DF＝CG； 理由如下：如图2，连接AD， 则S△ABD＝S△ABC＋S△ACD ，即eq \f(1,2)AB·DE＝eq \f(1,2)AB·CG＋eq \f(1,2)AC·DF， 所以AB·DE＝AB·CG＋AC·DF. 因为AB＝AC， 所以AB·DE＝AB·CG＋AB·DF， 所以DE＝CG＋DF. 所以DE－DF＝CG. $$3　利用轴对称进行设计 1．[2023·泰州]书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是( ) 2．[岳阳中考]下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是( ) A．上海自来水来自海上 B．有志者事竟成 C．清水池里池水清 D．蜜蜂酿蜂蜜 3．[2025·淅川县期末]剪纸是中国的民间艺术．剪纸的方法很多，下面提供一种剪纸方法：如图所示，先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案： 下面四个图形中，不能用上述方法剪出图案的是( ) 4．[2024·马尾区期中]如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形(不与△ABC重合)，这样的三角形能画出( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．[吉林中考]如图所示，将一个正方形纸片按下列顺序折叠， 然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“ ” 的图形，将纸片展开，得到的图形是( ) 6．如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑， 若再涂黑一个，则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有__ 种． 3 7．[2024·德州期末]图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角， 长度如图1所示，小明用x个这样的图形，按照如图所示的方法玩 拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的总长度y与图 形个数x之间的关系式为_________． y＝6x＋4 8．如图，在正方形网格中，如果将其中1个白色方格涂上阴影， 使整个阴影部分成为一个轴对称图形，涂法共有__种． 5 9．图中每个正方形的边长都为2厘米． (1)求出A，B两个图形阴影部分的面积各是多少平方厘米？(π 取3.14) (2)在C，D两个正方形里画出与A，B图中阴影部分形状不同但面 积相等的两个轴对称图形． 解：(1)A，B图形的阴影面积＝正方形的面积－圆的面积＝2× 2－3.14×(2÷2)2＝4－3.14＝0.86(平方厘米)． 答：A，B两个图形阴影部分的面积都是0.86平方厘米； (2)如图所示： 10．下列正方形网格图中，部分方格涂上了颜色，请按照不同要求作图． (1)作出图1的对称轴； (2)将图2中的某一个方格涂上颜色，使整个图形是轴对称图形； (3)将图3中的某两个方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴． 解：(1)如图1所示； (2)如图2所示(答案不唯一)； (3)如图3所示． 11．某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25颗围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙两人发现了该图案具有以下性质： 甲：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴； 乙：这是一个轴对称图形，且每条对称轴都经过5颗棋子． (1)请在图2中去掉4颗棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质； (2)请在图3中去掉4颗棋子，使所得图形仅保留乙所发现的性质； (3)在图4中，请去掉若干颗棋子(大于0且小于10)，使所得图形仍具有甲、乙两人所发现的所有性质．(图中用“×”表示去掉的棋子) 解：(1)如图2所示：(答案不唯一) (2)如图3所示：(答案不唯一) (3)如图4所示：(答案不唯一) 12．[2024·昌平区期末]如图，在边长为1的小正方形组成的网格中(我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点)，△ABC在直线l的左侧，其三个顶点A，B，C分别在网格的格点上． (1)请你在所给的网格中画出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于直线l对称； (2)在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小，请画出点P；(用虚线保留画图痕迹) (3)在(1)的条件下，结合你所画的图形，求出△A1B1C1的面积． 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求； (2)如图所示，连接AB1，交直线l于点P，则PA＋PB的最小值等于线段AB1的长； (3)如图，△A1B1C1的面积＝2×4－eq \f(1,2)×1×3－eq \f(1,2)×1×2－eq \f(1,2)×1×4＝ 8－1.5－1－2＝3.5. $$