专题03 线段中的双中点模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ （2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 （24-25七年级上·河南·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点．(1)如果，，求的长；(2)如果，求长． 例2（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）已知线段，C点是直线上的一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度（   ） A． B． C．或 D．或 例3（24-25七年级上·重庆·期末）如图，点C、D分别是线段的中点，若，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 例4（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，点，在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 例4（24-25七年级上·重庆北碚·期中）如图，在同一直线上，已知，，点，点分别是、的中点，若，则 ．    例5（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ． 例6（24-25七年级上·广东·期末）点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25·湖北襄阳·七年级期末）点是线段上任意一点，分别是线段上靠近点的三等分点，若，则线段的长是____． 例2（24-25·浙江·七年级统考期末）线段，点C是线段的三等分点，点M是线段的中点，则线段的长是_____． 例3（24-25七年级上·四川成都·期末）已知点在线段上，、分别为线段、的中点，分别为线段的中点，分别为线段的中点，，分别为线段的中点．若线段，则线段的值是 ． 例4（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 例5（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 例6（24-25·辽宁·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）已知线段，点C为线段的中点，点D为线段上的三等分点，则线段的长的最大值为（    ） A．16 B．18 C．15 D．20 5．（2025·广西桂林·二模）如图，线段，C是线段的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 6．（24-25七年级上·山东·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    7．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 8．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 9．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 10．（24-25·陕西·七年级校考期末）如图，点在线段上，其中，第一次分别取线段和的中点，，得到线段；再分别取线段和的中点，，得到线段；第三次分别取线段和的中点，，得到线段；连续这样操作2021次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 11．（24-25山东济宁·七年级期末）点C是线段AB上的三等分点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若CE＝6，则AB的长为_______． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点C为上一点，，，D、E分别为、的中点，求的长． 13．（24-25七年级下·江西赣州·期末）数学课上，李老师给出了如下问题： 如图1，一条直线上有四点，线段，点为线段的中点，点在直线上，，请补全图形，并求的长度． 以下是小华的解答过程： 解：如图2，因为线段，点为线段的中点， 所以①_________②_________． 因为，所以③_________． 小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在点的左边，事实上，点还可以在点的④_________． 完成以下问题：(1)请完成以上的填空；(2)根据小斌的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度． 14．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点．(1)若，，求的长；(2)若，求的值． 15．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长．②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 16．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）点、在数轴上所表示的数如图所示，是数轴上一点： (1)将点在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点，求出、两点间的距离是多少个单位长度．(2)若点在数轴上移动了个单位长度到点，且、两点间的距离是4，求的值． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 17．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长；(3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 18．（24-25·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ （2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，，∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，，∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，∴（）． 综上所述，线段的长度是8．故选：A． （24-25七年级上·河南·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 【答案】1 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∵线段   和 的中点 ，∴， 同理：，∴，…… 依次类推， ，∴，故答案为：4． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点．(1)如果，，求的长；(2)如果，求长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵点是线段的中点，，∴． ∵，∴． ∵点是线段的中点，∴； （2）解：∵点是线段的中点，点是线段的中点，， ∴，，∴，∴． 例2（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）已知线段，C点是直线上的一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：当点在点右侧时，如图所示．， ， ． 是中点，是的中点， ， ，； 当点在点左侧时，如图所示． ， ， ． 是中点，是的中点， ， ， ． 综上所述：线段MN的长度为5 cm．故选：B． 例3（24-25七年级上·重庆·期末）如图，点C、D分别是线段的中点，若，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点D是线段的中点，，∴， ∵点C是线段的中点，∴，∴．故选：C 例4（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，点，在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：设，则，． 因为线段，的中点分别是，，所以，． 因为，所以，解得，所以．故选C． 例4（24-25七年级上·重庆北碚·期中）如图，在同一直线上，已知，，点，点分别是、的中点，若，则 ．    【答案】 【详解】解：设，∴∴ ∵，∴，∴∴ ∵点是的中点，∴∴ ∵点是的中点，∴∴ ∴∴故答案为： 例5（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ． 【答案】10 【详解】解：∵M，N分别是线段，的中点，∴，， ∵，又， ∴，即：，∴，故答案为：10． 例6（24-25七年级上·广东·期末）点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 【答案】或 【详解】解：如图，∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，，∴； 如图，∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，，∴．∴的长为或．答案为：或． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25·湖北襄阳·七年级期末）点是线段上任意一点，分别是线段上靠近点的三等分点，若，则线段的长是____． 【答案】 【详解】解：如图：由题意得，∴EC=AC，FC=BC， ∴EF=EC+CF=AC+BC=(AC+BC)=AB=，故答案为． 例2（24-25·浙江·七年级统考期末）线段，点C是线段的三等分点，点M是线段的中点，则线段的长是_____． 【答案】8或10 【详解】解：如图，当AC=AB=4cm时，BC=8cm， ∵点M是线段BC的中点，∴CM=×8=4（cm），∴AM=4+4=8（cm）， 如图，当AC=AB=8cm时，BC=4cm， ∵点M是线段BC的中点，∴CM=×4=2（cm），∴AM=8+2=10（cm）， 综上所述，AM的长为8cm或10cm．故答案为：8或10． 例3（24-25七年级上·四川成都·期末）已知点在线段上，、分别为线段、的中点，分别为线段的中点，分别为线段的中点，，分别为线段的中点．若线段，则线段的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵、分别为线段、的中点，，∴， ∵分别为线段的中点，∴， ∵分别为线段的中点，∴，， ∴，故答案为：． 例4（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】 【详解】解：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得，故答案为：． 例5（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2)(3) 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为，所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 例6（24-25·辽宁·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6(2)①；②；③ 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC=4，CN=BC=2，∴MN=CM+CN=6；故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=AC+BC=AB， ∵AB=a，∴MN=a；故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a，∴MN=a，故答案为：a． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：①、由，得：，故正确； ②、由E是的中点，，得，则是的中点，故正确； ③、由D，E分别是的中点，得：，故正确； ④、由上述结论，得：，故正确； ⑤、由，，得到，又，则，，，， ，，， 图中所有线段之和为，故正确，综上所述，正确的结论共有5个，故选：D 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设点A为，C为， 点B是线段的三等分点，，为，， 设D为x，则为，为，，,故选：C． 3．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：点在线段上时，如图所示： ∵点是的中点，∴， 又∵，∴ 又∵点是的中点，∴，又∵∴， 又∵，∴ 点在线段延长线上时，如图所示，同理可求出，， 又∵，∴，综上所述：的长度为或，故选：． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）已知线段，点C为线段的中点，点D为线段上的三等分点，则线段的长的最大值为（    ） A．16 B．18 C．15 D．20 【答案】D 【详解】解：∵线段，点C为线段的中点，∴， ∵点D为线段上的三等分点，∴①当点D靠近点时：，此时； ②当点D靠近点时：，此时； ∵，∴线段的长的最大值为：20，故选：D． 5．（2025·广西桂林·二模）如图，线段，C是线段的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：∵，C是线段的中点，∴， ∵，∴，故答案为：2． 6．（24-25七年级上·山东·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    【答案】4 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∴，∴， ∴，……依次类推， ，∴，故答案为：4． 7．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【详解】解：∵，，N是线段的中点，∴，， ①若，如图1所示： ∵，∴，∵，∴∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，，∴； ②若，如图：∴， ∵，∴，∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴；故答案为：40或80． 8．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 【答案】2或14 【详解】∵E是的中点，且，∴． 分析折中点D的位置（分两种情况）： 折线的总长度为，折中点D需满足“从A到D的折线长等于总长度的一半”． 情况1：D在上，此时为从A到D的折线长，且． 由折中点定义：，即，解得． 情况2：D在上，此时从A到D的折线长为． 由折中点定义：，即，解得．故答案为：2或14． 9．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 【答案】或 【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动，， ①当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点，， ，，， ②当点靠近点的的三等分点，如图所示： 为中点，， ，，， 综上，的长为或，故答案为：或． 10．（24-25·陕西·七年级校考期末）如图，点在线段上，其中，第一次分别取线段和的中点，，得到线段；再分别取线段和的中点，，得到线段；第三次分别取线段和的中点，，得到线段；连续这样操作2021次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】/ 【详解】解：∵线段和的中点，，∴， ∵线段和的中点，，∴，…， ∴． 故答案为：． 11．（24-25山东济宁·七年级期末）点C是线段AB上的三等分点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若CE＝6，则AB的长为_______． 【答案】18或36 【详解】解：如图1，∵点C是线段AB上的三等分点，∴AB=3BC， ∵E是线段BC的中点，CE=6，∴BC=2CE=12，∴AB=3BC=3×12=36； 如图2，∵E是线段BC的中点，CE=6，∴BC=2CE=12，∴AC=6， ∵点C是线段AB上的三等分点，∴AB=3AC=18，答案为18或36． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点C为上一点，，，D、E分别为、的中点，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，∴， ∵D、E分别为、的中点，∴， ∴． 13．（24-25七年级下·江西赣州·期末）数学课上，李老师给出了如下问题： 如图1，一条直线上有四点，线段，点为线段的中点，点在直线上，，请补全图形，并求的长度． 以下是小华的解答过程： 解：如图2，因为线段，点为线段的中点， 所以①_________②_________． 因为，所以③_________． 小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在点的左边，事实上，点还可以在点的④_________． 完成以下问题：(1)请完成以上的填空；(2)根据小斌的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度． 【答案】(1)①；②3；③1；④右边(2) 【详解】解：（1）如图2，因为线段，点C是的中点，所以， 因为，所以， 点在直线上，点D在线段上或的延长线上，即：点D在点B的右边， 故答案为：①；②3；③1；④右边． （2）如图，当点在线段的延长线上时，如图， 是的中点，，， 又，． 14．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点．(1)若，，求的长；(2)若，求的值． 【答案】(1)5(2) 【详解】（1）解：∵M是的中点，∴， ∵N是CB的中点，∴，∴． （2）解：∵，，∴， ∵、分别为、的中点．∴，∴． 15．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长．②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 【答案】（1）①；②；（2） 【详解】（1）解：①由设，， ∵，，，解得，，， 为线段的中点，，． ②解：如图所示．由设，，∴， 为线段的中点，，， 为的中点，，， ，，解得，． （2）∵点M为线段中点，点N为线段中点，∴ ∵，，∴ ∴ ∴ 16．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）点、在数轴上所表示的数如图所示，是数轴上一点： (1)将点在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点，求出、两点间的距离是多少个单位长度．(2)若点在数轴上移动了个单位长度到点，且、两点间的距离是4，求的值． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 【答案】(1)、两点间的距离是个单位长度(2)的值为或(3)线段的长度不发生变化， 【详解】（1）解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为，∴点表示的数为， ∵，∴、两点间的距离是个单位长度； （2）解：∵、两点间的距离是4，∴当点在点左边时，点表示的数为， ∵点在数轴上移动了个单位长度到点，点表示的数为，∴此时； 当点在点右边时，点表示的数为， ∵点在数轴上移动了个单位长度到点，点表示的数为， ∴此时；综上所述，的值为或； （3）解：线段的长度不发生变化，， 由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点为的中点，点为的中点，∴，， 如图，当在、之间时，此时； 如图，当在的左侧时，此时； 如图，当在的右侧时，此时； 综上所述，点在运动过程中，线段的长度不会发生变化，． 17．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长；(3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1)(2)5厘米(3) 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴，故答案为：； （2）解：∵，∴； （3）解：∵， ∴． 18．（24-25·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3(2)①；②；③ 【详解】（1）解：，，， ，分别是，的中点，，， ；故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ，，， ，；故答案为：； ②，，，， ，，； ③，，，， ， ，，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$