24.2点和圆、直线和圆的位置关系同步作业2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 同步作业 一、单选题 1．下列说法中正确的是（   ） A．圆的切线垂直于半径 B．直径所对的圆周角等于 C．顶点在圆上的角叫圆周角 D．平分弦的直径必垂直于弦 2．如图，是的直径，点D在的延长线上，是的切线，若，则（　　） A．6 B．4 C． D．3 3．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 4．如图，已知点在上，，直线与相切，切点为点，且点为的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．若的直径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 6．将量角器按如图所示的方式放置在等腰直角三角板ABC上，使点B在半圆上，一条直角边AC与半圆相切于点D，斜边AB交半圆于点E，若B，E点的刻度分别是180°，30°，则点D处的刻度为（   ） A．58° B．59° C．60° D．61° 7．如图，是的直径，切于点，线段交于点，连接．若，则等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，是的切线，连接交于点D，连接、，若，，则的长为（　　） A．3 B．2 C． D．1 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，点P在第一象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点B，与分别相交．则圆心P的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图是发动机的实物剖面图，图是其示意图．图中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．当与相切时， D．当时， 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是 ． 12．半径分别为2和3的两圆相切，它们的圆心距为 ． 13．如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是 ． 14．如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接若，则的度数为 ． 15．如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ． 三、解答题 16．如图，在中，，以边为直径作交边于点D，过点D作于点E，，的延长线交于点F．求证：是的切线． 17．如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得圆心O在边上，过点B且与边相切于点D，交于点E（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的半径． (3)在（1）的条件下，求证：． 18．如下图，是的直径，，点E在的延长线上，且． (1)求证：是的切线， (2)当的半径为2，时，求的长． 19．如图，在中，，以为直径的圆O交于点D，交于点E，过点D作，垂足为F． (1)求证：为的切线； (2)若过A点且与平行的直线交的延长线于G点，连接．当是等边三角形时，求的度数． 20．在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． (1)将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； (2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分． (3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《24.2 点和圆、直线和圆的位置关系?同步作业2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A B C B C B C 1．B 【分析】本题考查了对圆的认识．根据直径、弦、等弧、圆周角以及切线的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A、圆的切线垂直于过切点的半径，故本选项不符合题意； B、直径所对的圆周角等于，故本选项符合题意； C、顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、平分弦的直径不一定垂直于弦，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．连接，由切线的性质得到，进一步证明，即可得到． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，正确进行计算是解题关键．根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 【详解】解：点为的中点， ， ， ， ∵直线与相切， ， ， 故选：． 5．B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键． 先求出的半径，再根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：的直径为， 的半径为， 点到圆心的距离为， 点在上． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查切线的性质，等腰直角三角形性质，平行线性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由题意，则，由等腰直角三角板ABC，且一条直角边AC与半圆相切于点D，可证，则，可得，则答案可求． 【详解】解：连接， 由题意，， ， ， ∵等腰直角形状的三角板ABC， ， ， ∵一条直角边AC与半圆相切于点D， ， ， ， ． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理．根据切线的性质可得，进而可得的度数，然后根据圆周角定理即得答案． 【详解】解：切于点， ， ， ， ， ． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的性质是解题关键．先根据圆周角定理、圆的切线的性质可得，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，据此可得，则可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵是的直径，是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 又∵在中，，， ∴， ∴， 故选：C． 9．B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、圆的切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的基本性质是解本题的关键． 设圆心P的坐标为，连接，过点P作于点E，设与y轴的切点为F，连接并延长，与交于点G，由可得，易得，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解： 设圆心P的坐标为，连接，过点P作于点E，设与y的切点为F，连接并延长，与交于点G， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理：，即， 解得：或（不合题意舍去）， ∴圆心P的坐标为． 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了线段的和与差、勾股定理、切线的性质，根据圆的性质可知，线段之间的关系可以得到：；根据线段之间的关系可求，，从而可以求出；根据切线的定义可知，利用勾股定理可以求出；利用勾股定理可以求出，所以可得，根据可得：，所以． 【详解】解：A选项：点运动到时，点到达，， ， 又， ， ， 故A选项错误； B选项：点运动到时，点到达，， ， ， ， ， 故B选项错误； C选项：如下图所示， ，， ， 设，则， 与相切， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 故C选项正确； D选项：如下图所示，当时，， 在中，， ， ，， , 故D选项错误． 故选：C． 11．相交 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．求出圆心到y轴的距离，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系得出答案． 【详解】解：如图，作轴于点C，作轴于点B， ∵点， ∴，， ∵的半径为4， ∴与y轴相交， 故答案为：相交． 12．5或1 【分析】由两圆相切，可从内切与外切去分析，又由两圆的半径分别为2和3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系之间的联系即可求得两圆的圆心距． 此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系之间的联系． 【详解】解：∵两圆的半径分别为2和3， 若两圆内切，则两圆的圆心距为：； 若两圆外切，则两圆的圆心距为：； ∴两圆的圆心距为5或1． 故答案为：5或1． 13．/ 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，取的中点，以为直径作，由直径可得，进而可得点在以为直径的上运动，当点、、三点共线时，有最小值，此时，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，以为直径作， 是直径， ， ， 点在以为直径的上运动， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最小值，此时， ， ， ， 线段的最小值是 故答案为：． 14．/度 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为： 15． 【分析】此题主要考查了切线长定理．根据切线长定理，即可得到，，，从而求得三角形的周长． 【详解】解：、切于、，切于， ，，； 的周长． 故答案为：． 16．见解析 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，则，所以，因为，所以，所以，即可证明是的切线． 【详解】证明：连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∵是的半径，且于点D， ∴是的切线． 17．(1)见解析 (2)6 (3)见解析 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． （1）利用圆的有关性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，设，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和勾股定理解答即可； （3）设，利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切线的性质定理和直角三角形的性质分别表示出即可得出结论． 【详解】（1）解：1．作的平分线，交于点D， 2．过点D作于点D，交于点O， 3．以点O为圆心，为半径画圆，交于点E，如图， 则即为所求作； （2）解：连接，如图， ∵与相切， ∴， ∴， 设， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴的半径为6； （3）证明：连接，如图， 设， ∵， ∴． ∴， ∵为的切线， ∴． ∴， ∴． 18．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：． ． 又． 是的直径，， ， ， ，即． 为的半径， 是的切线． （2）， ． 是直径，， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的证明，圆周角定理，利用勾股定理求线段长度，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等： （1）连接，根据题意可得是的中位线，从而得到，即可求证； （2）证明是的垂直平分线，可得，进而得到是等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ． 是等腰三角形， ， 又， ∴是的中位线， ． ， ， ∴是的切线． （2）解：∵是的直径， ． 是等边三角形， ∴是的垂直平分线， ． 又， ． 是等边三角形． ． 20．(1) (2)见解析 (3)是定值4 【分析】本题主要考查坐标与图形，旋转的性质，圆的综合知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）求出旋转角的度数为，进而求出的度数，再利用三角函数求出G点坐标； （2）由切线长定理证得，由切线长定理或其他方法证得，平分； （3）在上取点V，使，构造出全等三角形，判断出为等腰直角三角形，求得为定值． 【详解】（1）解：连接， ∵A点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 又∴， ∵， ∴； （2）证明：设与、、边相切于点、、，连接，，，如图， 则, ∵是的切线， ∴， 在和中， ∴， ∴∴, 同理可证：，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴，即， ∴， ∴ ∴平分． （3）解：的值是定值为， 在上取点V，使，即， ∵， ∴， ∵，， ∴，，即； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$