广东省清远一中、茂名一中等部分学校2026届高三上学期8月摸底检测数学试题

广东省2026届高三年级8月摸底检测·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 1 8 答案 D A B D C C D ABCD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD AC AC 1.D 由已知A=(o≤1={0<r≤3，B=(x3x>1)=xx>},所以AUB=xx>01. 2 2(1+i) 2.A1-i)=1+=2,=二9十D=1+i小：对应的点为1,1)，位于第一象限 3.B由题意得y2=16.x的焦点为(4,0)，则a=4,而b=1,得半焦距c=√/15，焦距为215，故选B. 4D设圆锥的底面半径为，母线长为1，因为侧面展开图的圆心角为号，所以受=2x,得=3r,所以圆锥的 高为h=-7=3-7-2E=.所以r=子，1=是，则Sw=xl=平 5.C因为f(x)的值域为[一1,1]，f(x)f(x2)=1(≠x),所以当函数值同时取最大值或最小值时，满 足f(x1)f(x2)=1(x≠). 因为一的最小值为3，所以函数的最小正周期T-还=3，所以。一等 因为f1)=所以f1)=sim(×1十)=7，又0<g<,所以+g=吾，所以g=吾.故选C 6.C以M(a,0)为圆心，2为半径的圆为(x-a)+y=4,以N(3,4)为圆心，3为半径的圆为(x-3)2+ (y一4)=9.若符合题设的直线恰有2条，则上述两圆相交. 又|MN|=√(a-3)+16,所以1<|MN|<5→1</(a-3)+16<5,可得1<(a-3)2+16<25, 所以-3<a-3<3→0<a<6.故选C. 7.D由题意可知0<a<受，0<K受，由sin(a)=号可知。>A,所以0<a-K受，从而cos(a一8)=告， 若0<2a<受，则0<a<吾，0<aKa<年，0<2(a-<2a<受，从而sin2a-<sin2a,又sin2a-B) =2sim(aos(a-0=若>n2a=号，矛盾，故受<2a<x,由sn2a-吉得os2a=一号， 3 mla十0=sn2a-(a-g]=sn2aosa-gm-os2 asin(a-B0=号×号-（-子)X号=-l. 8.B因为f(x+1)为偶函数，所以f(一x+1)=f(x十1)，即f(-x)=f(x十2)，故f(x)的图象关于直 线x=1对称. 由y=(x+2)/(x)的图象关于直线x=-对称得(x+)fx)=(-1-x+)f(-1-x), 即(x+号)f(x)=-(x+号)f(-1-x)对任意x恒成立，则f()=-f(-x-1),又f(-x) f(x+2),所以f(x+2)=-f(x-1),即f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以 f(x)是周期为6的周期函数. 又当x∈[-2,1]时，f(x)=x,f(x)的图象关于直线x=1对称，所以当x∈(1,4]时，f(x)=一x+2, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+0+(-1)+(-2)+(-1)+0=-3, 罗f()=[f1)+f(2)+f3)+/4)+f5)+f6]X337+/2023)+2024)+f2025)=(-3)X337 +f1)+f(2)+f(3)=-1011+1+0+(-1)=-1011. 【高三8月摸底检测·数学卷参考答案第1页（共5页）】 6008C BD对于A,向量a,b的夹角的余弦值为。：五一后一号，即向量a,b的夹角为至，放A 对于B,(a-3b)⊥b台a·b-36=0台一5A-15=0=A=一3，故B正确： 对于C.20一b=(一4,7)，a+仙=（一1+26,3一k),则-43一）=7(-1+2)，解得=-号，放C错误： 对于D.向量a在向量b上的投影向量为68=亏己=-b=(一2,1D,放D正确故选ABD 10.AC对于A,当n=3时，例如X=000,Y=111时，d(X,Y)=3,故A正确： 对于B,n=5时，满足d(X,Y)=2的Y的个数为C号=10，故B错误： 对于C,X=000000,3个连续的1的位置有4种(1一3,2一4,3一5,4一6)，总共有C=20种可能，概率为 六-号，放C正确： 对于D,可举反例，不妨令1=6，则w=111111,设u=001111,w=010100, 于是d(u,w)=2,d(o,)=4,d(u,v)=4,此时d(u,v)<d(u,e)十d(v,),故D错误.故选AC 11.AC对于A,设点P(.x,)在曲线C上，下面验证点P关于(1,1)的对称点(2-x,2-y)是否在曲线C上. 将(2-x,2-y)代人曲线C的方程，得(2-x)(2-y)一(2-y)2十2-y一(2-x)十1=4-2x一2y+xy-y +4y-4+2-y-2+x+1=xy-y+y一x+1=0,则(2-x,2-y)也在曲线C上，故曲线C关于点(1,1)对 称，故A正确： 对于队联立一，一十1=0消去y并整理可得=1，此时y=0,放前线C与直线y=一1只有 个交点(1,0)，故B错误； 对于C当)=1时，原方程不成立放葡线C可变形为x=宁=y六 若横，纵坐标均为整数，则y一必须为整数，故)=0或y=2, 当y=0时，x=1,当y=2时，x=1,故曲线C恰好经过两个整点(1,0)和(1,2)，故C正确： 对于D.由C可刻C,子，设M1. 因为1BM=6-1+-1=(-1+(”早-)月 令=为-1，则2=1十1,2>1，∴.>0， ∴BM=r+[+-+D1-1]=2r+-2≥2反-2， 当且仅当2r=,即r=号时等号成立.同理AM≥2E-2。 由A知曲线C关于点M(1,1)成中心对称，所以当|BM2和|AM2都最小时，A,B,M三点共线，此时 |AB引最小，所以|AB2m=4|BM|2=8√2一8<4，故D错误.故选AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-11(-2)Cg(-1)4+(-1)=-11. 2 13.1-n2 依题意，f)=e-2侧日-次。因为a=6,所以日2物显然a60,两式相除得心 =2,则6=n2.代入c=2h中，解得=2则0)=1一后2 、2 14.35-3因为A=2C,所以sinB=sin(A+C)=sin3C, 4 由正孩定理品BC·且6=2，得C品c·即血3C=2如C sin 2Ccos C+cos 2Csin C=2sin C,2sin C cos C+2 cos'Csin C-sin C=2sin C, 所以2cosC+2cosC=3,所以cosC-子 又因为A=2C,所以C∈(0，交)，故C=30°，A=60°，B=90 因为a=3,所以6=a cos 30=2/3,c=atan 30=3. 【高三8月摸底检测·数学卷参考答案第2页（共5页）】 6008C 因为△ABC是直角三角形，所以内切圆的半径为=号(a十c一6)=3≥5。 2 所以△A0B的面积为S==号×5×3,5=353 2 4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(1)解：因为a=b=1,所以f(x)=x如x十x十2，…1分 则(x)=2十ln江，f(1)=2.…3分 又f(1)=3,所以曲线y=f(x)在点(1，∫(1))处的切线方程为y-3=2(x一1)，即y=2.x+1.…5分 (2)证明：f(x)的定义域为(0，+o∞)， 令了(x)=lnx+a+1=0,得x= 7分 令f(x0,得0<，则x)在(0o,)上单调递减： 令∫(x)>0,得>品，则f(x)在（品，十∞）上单调递增。 9分 f(x)m=f(）=1n+品+2b=2b 11分 因为f(x)>0恒成立，所以2b- ce市>0，即be+1> 13分 16.解：(1)2×2列联表补充如下： 关注 不关注 合计 男 100 20 120 女 50 30 80 合计 150 50 200 ………2分 零假设H。:广州市民是否关注龙舟比赛与性别无关 97200X000X30-50X20》21002.879,m 150×50X120×80 …5分 根据小概率值α=0.005的独立性检验，可认为零假设H。不成立. 故认为广州市民是否关注龙舟比赛与性别有关 …6分 (2②样本中广州市民关注龙舟比赛的频率为8-是，由题意可知X~B(3,是）， …8分 X的可能取值为0,1,2,3， …9分 PX=-0)=(1-)广=品PX=1=C××(-)广=是 PX=2)=G×()x(1-￥)=器.PX=3=()厂=器 13分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 2 27 ……… 14分 64 品 64 B0=0x高+1×号+2×器+3×器=号或E00=3× 3-=9 44 …15分 17.(1)证明：在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC. 因为ADC平面ABC,所以PC⊥AD. …1分 又因为点D是BC的中点，AB=AC,所以AD⊥BC,…2分 又PC∩BC=C,PC,BCC平面PBC, 所以AD平面PBC.…3分 (2)解：如图所示，连接DE, 由(1)知AD⊥平面PBC,又CEC平面PBC,所以AD⊥CE. ……4分 又AE⊥CE,且AE∩AD=A,AE,ADC平面ADE,所以CE⊥平面ADE.…5分 又因为DEC平面ADE,所以CE⊥DE。…6分 【高三8月摸底检测·数学卷参考答案第3页（共5页）】 6008C 即在△PCB内，若AE⊥CE,则CE⊥DE,即点E落在以CD为直径的半圆上， 因为CD=是BC=2,所以点E的轨迹长度为x×9=元 2 …7分 (3)解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，过A作x轴垂直于平 面ABC,建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB⊥AC,AB=AC,BC=4,则AB=AC=22,则A(0,0,0),B(22,0,0),C(0,2√2,0)， 因为点D是BC的中点，则D(2,√2,0). 设PC=a,因为PC⊥底面ABC,则P(0,22,a), 从而AD=(2,2,0),AP=(0,22,a).…9分 设平面ADP的法向量1=(x,y,), 由m·AD=2x+2= m·Ap=22y+ax=0 取x=1,得y=一1，=2 a 所以平面ADP的一个法向量，=（1，-1,2E) …11分 又平面CAP的法向量2=(1,0,0)，二面角C-AP-D的大小为60°， 所以cos60°= 1·n2 1 n·n: 8+2 2,解得a=2(舍负). 所以n=(1,-1,2). 13分 设AC与平面ADP所成角为0，AC=(0,22,0), 所以m0-mm动1=2经元=子 15分 2×2√2 18解：1D因为点（一厄，一厅）在双曲线C上，所以号 3 =1 1分 又离心率为2，则@+E=2,… 2分 a 联立 底+E=2 ,解得a=1,b=√5. 3分 a 片=1，渐近线方程为y=土3元.… 4分 (2)()设M(,y1),N(2,为)， (y=kx+m 联立x-兰=则3江2次m一㎡3=0， 5分 所以△=4k十4(3一k2)(m2+3)>0,即m十3>k2,… 6分 且十=函=一g是 3-k2, 7分 则y十2=k.x1+m十kx2十m=k(x1十x2)+2m= 6m 3-k2 …8分 则MN的中点为D(色吉产，产），即D(经)》 2 …9分 4 3m 因为线段MN的垂直平分线过点K(0,4),则3一足 ·k=一1，整理得k2十m 0 3一 =3.……4……10分 (ii)由(i)知m=3-k, 则x1十4=2k,0=-13,D(k,3）,… 11分 则k>0,m<0, 【高三8月摸底检测·数学卷参考答案第4页（共5页）】 6008C 则m2十3>k2=3-m,解得1<一1.… 12分 又MN=+百·√+w)-4五=F+百·√4依+4，m图 =F百√43-m)+4.四更=2打√3+高 14分 则1MD=21MN=√E节·√3+高 …15分 又|KD=+I, 则am/MKDX0=√3十3E(0,3),即∠MKDe(0,60),………】 16分 又∠MKN=2∠MKD,则∠MKN的取值范围为(0,120).…17分 19.(1)解：因为{am}是公比大于1的等比数列，a2asa4=512, 所以a喝=512，所以a陷=8，…1分 又2ag,a4,16成等差数列，所以2a4=2a十16， 设数列{n}的公比为g,则16g=16十16，解得q=2,…2分 所以a=号=号=2…3分 所以数列{a)是首项为2，公比为2的等比数列， 所以an=2X2-1=2(n∈N）.…4分 (2)解：：6.=0-3n2+4 6 ÷,=1-6,=3-3-☐，△6=Ah.1-△h=,△6，=1十1-1=1， 6 6分 不等式2（△b)2-△b,-3△3bn<(4-A)(n+1)am即2r-n-3<(4-A)(n+1)2, 等价于4-心≥》-2会 …7分 当n=1时，23<0，当2≥2时，23>0， …8分 记d.-23d1-d-2=23-522 2+11 所以≥3时，dn+1一dn<0,即d+1<dn,{d}递减，n=2时，d2<d,…9分 所以{d,的最大项是d,=2X3-3=3 23 g………… 10分 所以4一心号以4一膏-号，所以整数久的最大值为8 11分 3)证明：6，=因为2<之2，所以(20）1，心<2，…… 12分 故(2+2)-（r+)=2(2-)[(2)-1>0,即+<2+2， …14分 所以=2名+)<号2+2)= 2-1 1- 2-1)+2(1-安) 2-1+2)<2-22-a …17分 【高三8月摸底检测·数学卷参考答案第5页（共5页）】 6008C广东省2026届高三年级8月摸底检测 数 学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。 4回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={x1ogx≤1，B={x|3.x>1},则AUB= A(合3] B(3,+∞) C.(0,3] D.(0,+∞) 2.已知复数x满足x(1一i)=|1十i2,则之在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知椭圆C:后+y°=1的右顶点与抛物线y=16x的焦点重合，则C的焦距为 A.15 B.2/15 C.37 D.6万 4.已知圆锥的高为厄，它的侧面展开图的圆心角为行，则此圆锥的侧面积为 A.√5π B. 4π c受 D. 5.设函数f(x)=sin(x+g)(w>0.0<g<x).已知f1)=号，且当f()f(m)=1 (x1≠x2)时，|x1一x2的最小值为3，则 Aw=号9=受 7 Bw-晋9- Dw=等g=晋 2π 6.已知点M(a,0),N(3,4)到同一直线的距离分别为2,3，若这样的直线恰有2条，则a的取值 范围为 A.(-2,0) B.(-2,6) C.(0,6) D.(2,6) 【高三8月摸底检测数学卷第1页（共4页）】 6008C 7.若sina一)=号sim2a=青，且e,B都为锐角，则sina+》- A一器 B是 c器 D.1 8.已知函数f(x)的定义域为R,函数y=fx十1)是偶函数，函数y=(x+)f(x)的图象关 于直线x=一对称，若当x∈[-2,1时，f)=x,则罗f) A.-1012 B.-1011 C.-1010 D.-1009 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(一1,3)，b=(2,一1)，则 A.向量a,b的夹角为平 B.若(a一3b)⊥b,则a=-3 C.若(2a-b)∥(a十kb),则k=2 D.向量a在向量b上的投影向量为（一2,1） 10.在光纤通信中，信息通过由0和1组成的有序数组（称为字）表示，字长（字的位数）为n.定 义d(X,Y)为两个字长相同的字X和Y在相同位置上不同字符的个数.例如，X=00110,Y =00011时，d(X,Y)=2.则下列选项正确的有 A.若字长=3，则存在两个字X和Y使得d(X,Y)=3 B.若字长n=5,则对于任意字X,满足d(X,Y)=2的字Y共有8个 C若X=000000,则满足d(X,)=3的字Y中，有且仅有3个连续的1的Y的概率为月 D.若u=11…11,u=a1a2ag…a…an,v=b1b2b3…b…b,其中a,b∈{0,1}，i=1,2,…,n 个 则d(u,v)≥d(u,e)十d(o,) 11.已知曲线C:xy一y2+y一x十1=0.下列结论正确的是 A.曲线C关于点(1,1)对称 B.曲线C与直线y=x一1有两个交点 C.曲线C恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点） D.曲线C上任意两点A(x1,),B(x2,y2),当y1<1<y2时，AB≥2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(x一2)(x一1)5的展开式中x的系数为 13.已知函数f(x)=e一k(x2十2)有两个极值点a,b,若a=2b,则f(0)= 14.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=3,A=2C,b=2c,O为△ABC的内 心，则△AOB的面积为 【高三8月摸底检测数学卷第2页（共4页）】 6008C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分》 已知函数f(x)=xlnx十a.x+2b,a,b∈R. (1)若a=b=1,求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)>0恒成立，证明：be+1>号 16.(本小题满分15分) 广州国际龙舟邀请赛是一项具有岭南区域特色的文化体育活动，为广州建设“全国一流、国 际瞩目的体育强市”发挥着越来越大的积极推进作用，其秉承“以水为桥、以舟会友”的宗旨 内涵和外延的意义将更加深远.每年五月，龙舟风弥漫珠江，吹遍广州各个角落.组织推广龙 舟赛，目的是要弘扬民俗文化，宣传“精诚合作、奋勇向前”的龙舟精神.某调查机构为调查广 州市民是否关注龙舟比赛情况，随机抽取男女市民共200名进行调查，得到如下统计结果： 关注 不关注 合计 男 100 女 30 80 合计 200 (1)完成2×2列联表，并根据小概率值α=0.005的独立性检验，判断广州市民是否关注龙 舟比赛与性别有无关联： (2)将样本中关注龙舟比赛的市民的频率作为广州市民关注比赛的概率，从广州市民中随机 抽取3人，记X为这3人中关注龙舟比赛的人数，求X的分布列和数学期望. n(ad-bc)? 附：x-(a+b)(c+)acb+D其中n=a+b+c+d, a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Ta 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【高三8月摸底检测数学卷第3页（共4页）】 6008C 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱锥P一ABC中，D是BC的中点，AB=AC,BC=4,PC⊥底面ABC. (1)证明：AD⊥平面PBC: (2)若点E为△PCB内（包含边界）一点，且AE⊥CE,求点E的轨迹的长度： (3)若AB⊥AC,二面角C一AP-D的大小为60°，求AC与平面ADP所成角的正弦值， 18.(本小题满分17分) 已知双尚线C号-芳=1o>0,6>0)的离心率为2点（一厄.-5）在C上 (1)求C的渐近线方程； (2)若直线l:y=kx+m交双曲线C的右支于M,N两点，线段MN的垂直平分线过点 K(0,4). (i)求k与m之间的数量关系式： (ii)求∠MKN的取值范围. 19.(本小题满分17分)》 已知数列{an}是公比大于1的等比数列，a2aga4=512,且2ag,a4,16成等差数列. (1)求数列{am}的通项公式； (2)对于数列{bn},规定{△bn}为数列{bn}的1阶差分数列，其中△bn=b+1一bn(n∈N),一 般地，规定{△bn}为数列{b}的k阶差分数列，其中△bm=△-1b+1一△1b(k≥2，k∈ N,m∈N).若6，=-3n+”,不等式2（△6，）2-△b,-3△h.<(4-)(m十1)a,对 6 Hn∈N~恒成立，求整数入的最大值； 3)冷a-其中号<<2n∈N:证明：含，<a,- 【高三8月摸底检测数学卷第4页（共4页）】 6008C