2.1 直线的倾斜角与斜率专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§2.1 直线的倾斜角与斜率 考法1：求直线斜率 【例1.1.】 若直线过点，，则此直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则 .    【例1.3.】 如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【例1.4.】 将直线沿轴的负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度得直线，此时与重合，则直线的斜率为 . 考法2：倾斜角与斜率的转化 【例2.1.】 （多选）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C．若，，则直线的倾斜角为90° D．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 【例2.2.】 已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知直线的斜率的范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 【例2.4.】 直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考法3：直线与线段的相交关系求斜率范围 【例3.1.】 过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【例3.3.】 已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考法4：斜率公式的应用 · 求参数的取值范围 【例4.1.】 若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．0 B． C． D． 【例4.2.】 （多选）已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可能为（    ） A．(3，0) B．(－3，0) C．(0，－3) D．(0，3) · 解决三点共线问题 【例4.3.】 三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【例4.4.】 已知，，三点，这三点 （填“是”或“否”）在同一直线上． 【例4.5.】 在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． · 求函数最值（范围） 【例4.6.】 已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 （多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 · 比较大小 【例4.8.】 （多选）两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（    ） A．比节能效果好 B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小 C．两学校节能效果一样好 D．与自节能以来用电量总是一样大 【例4.9.】 已知函数，若，则、、的大小关系为 A． B． C． D． 考法5：两条直线平行和垂直的判定 【例5.1.】 已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【例5.2.】 （多选）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若斜率，则 B．若，则 C．若倾斜角，则 D．若，则 【例5.3.】 （多选）下列说法正确的有（    ） A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线可能平行 B．若，则 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直 D．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行 考法6：两条直线平行与垂直的应用 · 求参数 【例6.1.】 试确定m的值，使过，两点的直线与过，两点的直线. （1）平行； （2）垂直． 【例6.2.】 设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k2＝﹣1，则|α﹣β|＝ ． 【例6.3.】 已知点，直线AB与直线CD垂直，则 【例6.4.】 已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． · 解决平面几何问题 【例6.5.】 已知的顶点，重心，垂心为，若、都在直线上，则点的坐标为 . 【例6.6.】 已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形． 【例6.7.】 已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §2.1 直线的倾斜角与斜率 考法1：求直线斜率 【例1.1.】 若直线过点，，则此直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据两点间的斜率公式计算出结果. 【详解】因为直线经过，， 所以直线的斜率为， 故选：A. 【例1.2.】 在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则 .    【答案】 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、直线斜率的定义 【分析】根据直线倾斜角的概念，结合正切函数的和角公式，可得答案. 【详解】 由，，则直线的方程为，设其倾斜角为，即， 由，则，即，解得. 故答案为：. 【例1.3.】 如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由图可知直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案. 【详解】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 直线的倾斜角为锐角，斜率为正，直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 所以． 故选：D. 【例1.4.】 将直线沿轴的负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度得直线，此时与重合，则直线的斜率为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、求直线的方向向量（平面中） 【分析】设直线上一点，经过平移变化得到，因为平移后的点仍然在直线上，即可求出直线的斜率. 【详解】设直线上一点，其沿轴负方向平移个单位长度， 再沿轴正方向平移个单位长度后的坐标为. 因为平移后的点仍然在直线上，所以直线的斜率. 故答案为： 考法2：倾斜角与斜率的转化 【例2.1.】 （多选）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C．若，，则直线的倾斜角为90° D．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据倾斜角与斜率关系，斜率公式判断各项正误即可. 【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误； B：直线的斜率时，因为可以是不为的任意实数，而直线倾斜角的范围为，故B错误； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，故C正确； D：过，两点的斜率为：，故D正确. 故选：CD. 【例2.2.】 已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解. 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 【例2.3.】 已知直线的斜率的范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】由题意可知， 由正切函数的单调性可知：或. 故选：D 【例2.4.】 直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】根据直线过两点，求出直线的斜率，再根据斜率求出倾斜角的取值范围. 【详解】解：直线的斜率为，因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 考法3：直线与线段的相交关系求斜率范围 【例3.1.】 过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】先求出点与端点的斜率值，再结合图象，根据正切函数单调性，得到斜率范围即可. 【详解】由点，可求得： 结合图象，根据正切函数在锐角范围和钝角范围内都是单调递增可得： 直线的斜率的斜率范围是. 故选：B. 【例3.2.】 已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【详解】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 【例3.3.】 已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 考法4：斜率公式的应用 · 求参数的取值范围 【例4.1.】 若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线的斜率与夹角的关系求解； 【详解】由题意知，， 解得：. 故选：A. 【例4.2.】 （多选）已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可能为（    ） A．(3，0) B．(－3，0) C．(0，－3) D．(0，3) 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数 【分析】设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n)，解方程＝＝1，即得解. 【详解】解：设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n). 由kPA＝1，得＝＝1， 得m＝3，n＝－3. 故点P的坐标为(3，0)或(0，－3). 故选：AC · 解决三点共线问题 【例4.3.】 三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可. 【详解】显然，则，即，解得. 故选：D. 【例4.4.】 已知，，三点，这三点 （填“是”或“否”）在同一直线上． 【答案】是 【难度】0.94 【知识点】斜率公式的应用 【分析】通过计算斜率来进行判断. 【详解】由题意可知直线的斜率， 直线的斜率. 因为， 即两条直线的斜率相同， 并且它们过同一点， 所以，，三点在同一直线上． 故答案为：是 【例4.5.】 在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、斜率公式的应用 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B · 求函数最值（范围） 【例4.6.】 已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】斜率公式的应用 【详解】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围， 如图所示： ∴与点连线斜率为， 与点连线斜率为， ∴可得斜率取值范围为. 故选：A. 【例4.7.】 （多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、斜率公式的应用、指数函数图像应用 【分析】根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又是在部分图象上的动点，图象如下： 如上图，，则，只有B、C满足. 故选：BC · 比较大小 【例4.8.】 （多选）两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（    ） A．比节能效果好 B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小 C．两学校节能效果一样好 D．与自节能以来用电量总是一样大 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】平均变化率、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据两函数切线斜率的变化以及切线斜率的几何意义、平均变化率的定义对各选项的正误进行判断，可得出正确选项. 【详解】由图象可知，对任意的， 曲线在处的切线比曲线在处的切线要“陡”， 所以比节能效果好，A正确，C错误； 由图象可知，， 则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小，B选项正确； 由于曲线和曲线不重合，D选项错误． 故选：AB 【例4.9.】 已知函数，若，则、、的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数函数图象的应用、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】作出函数的图象，将视为函数上的点与原点连线的斜率，数形结合可得出、、的大小关系. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示. 由图象可知轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随的增大而减小， 因为，所以， 故选：B. 考法5：两条直线平行和垂直的判定 【例5.1.】 已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】直线斜率的定义、已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 【例5.2.】 （多选）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若斜率，则 B．若，则 C．若倾斜角，则 D．若，则 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项，举反例可判断D. 【详解】对于A, 若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确； 对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确； 对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则 ，正确； 对于D, 若，不妨取， 则，不满足，不垂直，D错误， 故选： 【例5.3.】 （多选）下列说法正确的有（    ） A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线可能平行 B．若，则 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直 D．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据斜率与两条直线位置关系可判断A；两直线平行斜率可能都不存在可判断B；另一条直线的斜率存在但不为可判断C；根据两直线的位置关系可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以这两条直线可能平行，故选项A正确； 对于B：若，则或两条直线的斜率都不存在，故选项B不正确； 对于C：若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在且不为，则这两条直线不垂直，故选项C不正确； 对于D：若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行，故选项D正确； 故选：AD. 考法6：两条直线平行与垂直的应用 · 求参数 【例6.1.】 试确定m的值，使过，两点的直线与过，两点的直线. （1）平行； （2）垂直． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）利用直线平行斜率相等即可求解. （2）利用直线垂直斜率乘积等于即可求解. 【详解】过，两点的直线斜率， 当时，直线的斜率不存在，此时直线与直线即不平行也不垂直； 当时，过，两点的直线斜率， （1）当两直线平行时，则，解得. （2）当两直线垂直时，则，解得. 【例6.2.】 设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k2＝﹣1，则|α﹣β|＝ ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线垂直 【分析】利用直线的倾斜角和斜率、两条直线互相垂直的性质，得出结论． 【详解】 如图，因为直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β， 若k1k2＝﹣1，则直线l1与l2的相互垂直，它们的倾斜角相差， 故|α﹣β|， 故答案为：． 【例6.3.】 已知点，直线AB与直线CD垂直，则 【答案】0或5 【难度】0.85 【知识点】利用向量垂直求参数、已知直线垂直求参数 【分析】根据垂直得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】直线AB与直线CD垂直，故， 其中， 故， 解得或5. 故答案为：0或5 【例6.4.】 已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项. 【详解】解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0， ∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，， 故选：D. · 解决平面几何问题 【例6.5.】 已知的顶点，重心，垂心为，若、都在直线上，则点的坐标为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】设，根据重心坐标公式得到，然后根据列方程得到的坐标，最后根据求点即可. 【详解】设， 因为重心，所以，即， 因为为垂心，所以，则，解得， 所以，，， 所以直线斜率不存在，则，， 所以. 故答案为：. 【例6.6.】 已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】根据题意，只要证明四边形一组对边平行，且不相等，即可证明四边形为梯形. 【详解】由点，，，， 可得 , 而 , , 故,但 , 所以四边形ABCD是梯形． 【例6.7.】 已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【答案】平行四边形，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行、直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】应用两点式求四边形各边所在直线斜率，由斜率及点的关系判断边之间的位置关系； 【详解】如下图示：   OA边所在直线的斜率，AB边所在直线的斜率， BC边所在直线的斜率，CO边所在直线的斜率． 由知：点O不在BC上，则OA与BC不重合，又，得． 同理，由且AB与CO不重合，得． 因此四边形OABC是平行四边形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$