第四章　实　数课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）（2024）七年级数学上册

第四章　实　数 1　无理数 知识点1 无理数的存在性 如图，有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到 一个大的正方形．设大正方形的边长为a，则a2＝2，a既不是___ ___，也不是_____，所以a不是_______． 整 数 分数 有理数 知识点2 估计无理数的大小 假设正方形的边长为a，若面积a2＝3，则a既不是_____，也不是 _____，此时可以用“逐渐接近”的方法来估计a的值，从而求得 a的近似值．因为1＜3＜4，所以__＜a＜__，即a的整数位是1.又 有1.12＝_____，1.22＝_____，1.32＝_____，1.42＝_____，1.52 ＝_____，1.62＝_____，1.72＝_____，1.82＝_____，1.92＝ _____，可见3在____和____之间，故a的十分位上的数是__，用 同样的方法可确定其他数位上的数． 整数 分数 1 2 1.21 1.44 1.69 1.96 2.25 2.56 2.89 3.24 3.61 1.72 1.82 7 知识点3 无理数 ___________小数称为无理数． 无限不循环 2 思路导析 无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义求解即可． 【规律总结】 判断一个数是有理数还是无理数，关键是正确理解无理数的概念，它的特征是“无限”“不循环”．有理数的表现形式有4类：整数，有限小数，无限循环小数，分数；无理数的表现形式有3类：无限不循环小数，π以及含π的数，开方开不尽的数(下节将学习)． ④⑥ 考点2 网格图中的无理数 典例2 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网格上的三角形ABC中，边长不是有理数的边有( ) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 思路导析 根据勾股定理分别求出AB，BC，AC，根据无理数的概念判断即可． 变式1 正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上． (1)在图1中画一个面积为5的正方形； (2)在图2中画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另一边长是无理数； (3)在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数． 解：(1)如图1，四边形ABCD即为所求(答案不唯一)； (2)如图2，△ABC即为所求(答案不唯一)； (3)如图3，△ABC即为所求(答案不唯一)． 变式2 [2024·金水区期中]如图，方格纸上每个小方格的边长均为1，请在方格纸上按照要求设计图形． (1)在图1中，以线段AB为边画正方形，求该正方形的面积； (2)请在图2中画出一个直角三角形(顶点均在格点上)，其中有两边长度为无理数，第三边长度为有理数． 解：(1)如图1，正方形ABCD即为所求． 由勾股定理，得AB2＝32＋22＝13， 所以该正方形的面积为13； (2)如图2，△ABC即为所求(答案不唯一)． 考点3 无理数的估算 典例3 如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位长度．请解决下面的问题． (1)阴影正方形的面积是______；(可利用割补法求面积) (2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由． 思路导析 (1)用大正方形的面积减去4个三角形的面积即可； (2)估算无理数的大小． 解：(1)3×3－ ×2×1×4＝5， 故答案为：5； (2)2与3之间．理由如下： 因为4<5<9， 所以2<正方形的边长<3， 所以阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间． 变式 无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，被数学家称为一种特殊的数．面积为15π的圆的半径为x，请回答下列问题． (1)x是有理数吗？说说你的理由； (2)请估计x的整数部分是多少； (3)把x的值精确到0.1时是多少？精确到0.01时呢？ 解：(1)πx2＝15π，x2＝15， 所以x是无限不循环小数，不是有理数，是无理数； (2)因为9<15<16，所以3＜x＜4， 所以x的整数部分为3； (3)因为3.82＝14.44，3.92＝15.21， 因为3.872＝14.976 9，3.882＝15.054 4， 所以把x的值精确到0.1时是3.9； 因为3.8722＝14.992 384， 3．8732＝15.000 129， 所以把x的值精确到0.01时是3.87. 考点1 有理数与无理数的辨别 典例1 [2025·成都期末]在数3.16，－10，2π，－eq \f(22,7)， 0，1.212 112 111 2…(每两个2之间依次多一个1)，1.eq \o(3,\s\up6(·))中， 有 个无理数． 变式1 [2025·深圳期末]下列各数中，是无理数的是( ) A．0.313 113…(每两个3之间依次增加一个1) B．0.eq \o(3,\s\up6(·)) C.eq \f(22,7) D．3.14 变式2 [2025·通州期末]以下各数：①－4，②eq \f(2,7)，③0，④eq \f(π,2)， ⑤3.14，⑥2.121 221 222 1……(每相邻两个1之间依次多一 个2)中，其中是无理数的有 ．(填序号) eq \f(1,2) $$第2课时　实数的运算及大小比较 知识点 实数的运算 1．有理数范围内的运算及运算律在实数范围内仍然适用． 2．实数混合运算的运算顺序：先算_____、_____，再算_____， 最后算_____，同级运算从___到___依次计算，有括号的要先算 _____里面的． 乘方 开方 乘除 加减 左 右 括号 思路导析 各个小题均根据互为相反数与互为倒数的定义和绝对值的性质，求出各个数的相反数、倒数和绝对值即可． 思路导析 先计算零次幂、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减． ＜ > 思路导析 比较实数的大小，进行恰当的转化可以较直观地比较． ＜ ＞ ＞ 考点1 实数的有关性质 典例1 求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)0.6； (2)eq \f(π,2)； (3)－eq \r(7)； (4)5－eq \r(26). 解：(1)0.6的相反数是－0.6， 倒数是eq \f(5,3)， 绝对值是0.6； (2)eq \f(π,2)的相反数是－eq \f(π,2)， 倒数是eq \f(2,π)， 绝对值是eq \f(π,2)； (3)－eq \r(7)的相反数是eq \r(7)， 倒数是－eq \f(1,\r(7))， 绝对值是eq \r(7)； (4)5－eq \r(26)的相反数是eq \r(26)－5， 倒数是eq \f(1,5－\r(26))， 绝对值是eq \r(26)－5. 变式 求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)3.8； (2)－eq \r(21)； (3)－π； (4)eq \r(3,\f(27,1 000)). 解：(1)3.8的相反数是－3.8， 倒数是eq \f(5,19)， 绝对值是3.8； (2)－eq \r(21)的相反数是eq \r(21)， 倒数是－eq \f(1,\r(21))， 绝对值是eq \r(21)； (3)－π的相反数是π， 倒数是－eq \f(1,π)， 绝对值是π； (4)eq \r(3,\f(27,1 000))，它的相反数是－eq \f(3,10)， 倒数是eq \f(10,3)， 绝对值是eq \f(3,10). 考点2 实数的运算 典例2 [2024·长沙]计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(－1)＋|－eq \r(3)|－2×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))－(π－6.8)0. 解：原式＝4＋eq \r(3)－2×eq \f(\r(3),2)－1 ＝4＋eq \r(3)－eq \r(3)－1 ＝3. 变式1 [2024·西宁改编]计算：eq \r(16)＋(2 024－π)0－|2－eq \r(3)|. 解：原式＝4＋1－2＋eq \r(3) ＝3＋eq \r(3). 变式2 计算：(1)[2024·滨州]2－1＋(－2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－eq \r(　,\f(9,4))； (2)[2023·十堰]|1－eq \r(　,2)|＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－2)－(π－2 023)0. 解：(1)原式＝eq \f(1,2)＋1－eq \f(3,2)＝0； (2)原式＝eq \r(　,2)－1＋4－1＝eq \r(　,2)＋2. 考点3 比较实数的大小 典例3 比较大小． (1)eq \r(28) eq \r(45)； (2)eq \f(\r(5)－1,2) eq \f(9,16). 变式1 设a＝eq \r(　,5)，b＝eq \r(3,27)，c＝4，则a，b，c的大小关系 为( ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 变式2 比较大小(填“＞”“＜”或“＝”)． (1)eq \f(\r(7)－2,3) eq \f(2,3)； (2)eq \f(\r(5)＋2,2) eq \f(8,5)； (3)eq \r(3)＋eq \r(6) 3. $$第2课时　平方根 知识点1 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即_____，那么这个数__就 叫作__的平方根(也叫作二次方根)．表示方法：正数a的平方根 可用“_____”表示，读作“____________”． x2＝a x a 正、负根号a 知识点2 平方根的性质 1．一个正数有___个平方根，它们互为_______． 2．0的平方根是__． 3．负数_____平方根． 两 相反数 0 没有 知识点3 开平方 求一个数a的_______的运算叫作开平方，a叫作_________．开 平方与平方是_____运算． 平方根 被开方数 互逆 【注意】 (1)开平方时，被开方数a必须是非负数；(2)平方根是开平方的结果，而开平方是一种运算，是求平方根的过程；(3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． a a -a 【规律总结】 考点1 平方根 典例1 求下列各数的平方根． (1)121； (2)0.01； (3) ； (4)(－13)2. 思路导析 根据平方根的定义，进行求解即可． 变式2 [2024·东坡区期中]求下列各式中x的值． (1)9x2－25＝0； (2)4(2x－1)2＝36. (2)4(2x－1)2＝36， 两边都除以4得(2x－1)2＝9， 由平方根的定义得2x－1＝±3， 即x＝2或x＝－1. 考点2 平方根的性质 典例2 [2024·凤翔区期末]若一个正数a的两个平方根分别是3b－5和－2b＋2. (1)求a和b的值； (2)求a＋3b的平方根． 思路导析 (1)先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可； (2)先求出a＋3b的值，再求出其平方根即可． 解：(1)由题可知3b－5与－2b＋2互为相反数， 所以3b－5＋(－2b＋2)＝0， 所以b＝3， 所以a＝(3b－5)2＝42＝16； (2)因为a＝16，b＝3， 所以a＋3b＝16＋3×3＝25， 所以a＋3b的平方根为±5. 变式1 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－26的平方根是它本 身，则a＋b的平方根为____． ±4 变式2 [2024·西山区期中]已知|x|＝1，y是4的平方根， 且|y－x|＝x－y，求x＋y的值． 解：因为|x|＝1，y是4的平方根， 所以x＝±1，y＝±2. 因为|y－x|＝x－y， 所以x－y≥0，即x≥y， 则x＝1，y＝－2或x＝－1，y＝－2， 所以x＋y＝－1或－3. 思路导析 先判断a＜b＜0＜c，进而得到a－b＜0，c－a＞0，再化简即可． 解：由三角形三边关系可知3＜n＜7， 所以3－n＜0，8－n＞0， 所以原式＝|3－n|＋|8－n| ＝－(3－n)＋(8－n) ＝－3＋n＋8－n ＝5. ±eq \r(a) 知识点4平方根有关的公式 1．(eq \r(a))2＝ (a≥0)． 2.eq \r(a2)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1( （a≥0），, 　（a<0）.)) (eq \r(a))2与eq \r(a2)的不同： (1)a的取值范围不同，(eq \r(a))2中a的取值只能是非负数，而eq \r(a2)中a的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0. (2)运算顺序不同，(eq \r(a))2先开方再平方，eq \r(a2)先平方再开方． 2eq \f(7,9) 解：(1)±eq \r(121)＝±11； (2)±eq \r(0.01)＝±0.1； (3)±eq \r(2\f(7,9))＝±eq \r(\f(25,9))＝±eq \f(5,3)； (4)±eq \r(（－13）2)＝±13. 变式1 求下列各数的平方根、算术平方根． (1)|－225|； (2)|eq \f(4,121)|； (3)eq \r(0.001 6). 解：(1)|－225|的平方根为±15；算术平方根为15； (2)|eq \f(4,121)|的平方根为±eq \f(2,11)；算术平方根为eq \f(2,11)； (3)eq \r(0.001 6)＝0.04的平方根为±0.2；算术平方根为0.2. 解：(1)9x2－25＝0， 移项得9x2＝25， 两边都除以9得x2＝eq \f(25,9)， 由平方根的定义得x＝±eq \f(5,3)， 即x＝eq \f(5,3)或x＝－eq \f(5,3)； 考点3 公式eq \r(a2)＝|a|的应用 典例3 [2024·钟山区期中]数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：eq \r(a2)－|a－b|＋|c－a|. 解：由数轴上点的位置可得 a＜b＜0＜c， 所以a－b＜0，c－a＞0， 所以eq \r(a2)－|a－b|＋|c－a| ＝－a＋a－b＋c－a ＝－a－b＋c. 变式 [2024·建宁县期中]若2，5，n为三角形的三边长，化 简eq \r(（3－n）2)＋eq \r(（8－n）2). $$第3课时　立方根 知识点1 立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数__就 叫作__的立方根(也叫作三次方根)．数a的立方根记为“ ”， 读作“__________”． x a 三次根号a 【注意】 知识点2 立方根的性质 每个数都只有___个立方根；正数的立方根是_____；0的立方根 是__；负数的立方根是_____． 一 正数 0 负数 知识点3 开立方 求一个数a的立方根的运算叫作开立方，__叫作被开方数． a 思路导析 (1)(2)(3)(5)直接求立方根； (4)先计算化简再求立方根． 【方法技巧】 求一个数a的立方根，就是找到一个数x，使得x的立方等于这个数a，有些数的立方根是不可化简的，只要表示出来即可，如典例1(5)中的情形． 变式2 [2024·新吴区期末]求下列各式中的x. (1)4x3－256＝0； (2)2(x＋1)3＋16＝0. 解：(1)x＝4；(2)x＝－3. 思路导析 根据立方根的概念求解即可． 2 0或1或2 eq \r(3,a) (1)任意一个数都有立方根，并且只有一个立方根；(2)算术平方根的符号实际上省略了eq \r(2,　)的根指数“2”，因此eq \r(a)也可读作“二次根号a”，但是立方根的符号eq \r(3,　)不可省略根指数“3”． 考点1 立方根 典例1 求下列各数的立方根． (1)－1；(2)eq \f(27,64)；(3)－0.343；(4)eq \r(64)； (5)－7. 解：(1)eq \r(3,－1)＝－1； (2)eq \r(3,\f(27,64))＝eq \f(3,4)； (3)eq \r(3,－0.343)＝－0.7； (4)eq \r(3,\r(64))＝eq \r(3,8)＝2； (5)eq \r(3,－7). 变式1 求下列各数的立方根． (1)0.064；(2)－4eq \f(17,27)；(3)－eq \r(3,（－8）2)； (4)－(－6)3. 解：(1)0.064的立方根是0.4； (2)－4eq \f(17,27)的立方根是－eq \f(5,3)； (3)－eq \r(3,（－8）2)的立方根是－eq \r(3,4)； (4)－(－6)3的立方根是6. 考点2 立方根的性质 典例2 下列计算正确的是( ) A.eq \r(3,（－2）3)＝2 B.eq \r(3,－0.064)＝－0.4 C．(eq \r(3,－21))3＝21 D．－eq \r(3,8\f(1,8))＝－2 变式1 下列各数互为相反数的一组是( ) A．－3与eq \r(3,（－3）3) B.eq \r(3,（－3）3)与eq \r(32) C.eq \r(3,－27)与－eq \r(3,33) D.eq \r(3,27)与|－3| 变式2 (1)若x＝(eq \r(3,－5))3，则eq \r(－x－1)＝ ； (2)已知eq \r(3,x－1)＋1＝x，则x＝ ． $$第4课时　估算 知识点1 用估算法确定无理数的近似值 对于带根号的无理数的近似值可以通过_____运算，逐渐靠近真 实值；在用估算法确定无理数的值时，往往要根据题目要求有 目的地去估计到某个数值． 乘方 知识点2 用估算法比较数的大小 用估算法比较两个数的大小，一般先估算出无理数的大致范围， 再做具体的比较． 考点1 估算无理数的近似值 思路导析 仿照使用夹逼法求 近似值的方法解答即可． 【易错易混】 (1)“精确到”与“误差小于”的意义的区别：精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，答案在其值左右1都符合题意，答案不唯一；(2)估算无理数的方法：①通过平方或立方运算，逐渐接近，确定真实值所在范围；②根据问题中误差允许范围，在真实值范围内取近似值． 1 ＜ ＞ 典例1 采用夹逼法，利用eq \r(2)的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下： 因为12＝1，22＝4， 所以1<eq \r(2)<2. 因为1.42＝1.96，1.52＝2.25, 所以1.4<eq \r(2)<1.5. 因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4， 所以1.41<eq \r(2)<1.42. 因为1.4142＝1.999 396，1.4152＝2.002 225， 所以1.414<eq \r(2)<1.415， 因此eq \r(2)≈1.41(精确到百分位)． 使用夹逼法，求出eq \r(5)＋2的近似值．(精确到百分位) eq \r(2) 解：因为22＝4，32＝9， 所以2＜eq \r(5)＜3. 因为2.22＝4.84，2.32＝5.29， 所以2.2＜eq \r(5)＜2.3. 因为2.232 ＝4.972 9，2.242 ＝5.017 6， 所以2.23＜eq \r(5)<2.24.因为2.2362＝4.999 696， 2.2372＝5.004 169， 所以2.236＜eq \r(5)＜2.237，因此eq \r(5)＋2≈4.24. 变式1 估算下列各数的大小． (1)eq \r(54)(精确到0.1)； (2)eq \r(3,800)(误差小于0.1)． 解：(1)eq \r(54)精确到0.1为7.3； (2)eq \r(3,800)误差小于0.1为9.3(答案不唯一)． 变式2 [2024·郫都区期中]设4－eq \r(3)的整数部分为a，小数部分为b，则(a＋eq \r(3))b的值是 ． 考点2 利用估算比较数的大小 典例2 [2024·临澧县期末]比较大小． (1)eq \f(\r(7)－1,3) eq \f(2,3)；　(2)eq \f(\r(5)＋1,2) eq \f(8,5). 思路导析 (1)应用夹逼法，判断出eq \f(\r(7)－1,3)，eq \f(2,3)的大小关系即可； (2)先将两数化为同分母分数，再比较分子大小即可． 变式 莉莉比较下列各数的大小，结果如下： ①eq \r(3,11)＞eq \r(5) ②eq \f(5,8)＞eq \f(\r(5)－1,2) ③eq \r(7)＞eq \r(3,25) ④eq \f(\r(8)－2,2)＜eq \f(5,6). 其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 $$3　用计算器开方 知识点 用计算器开方 使用计算器进行开方运算时，一般是按从___到___的顺序依次 输入．使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，可以按照 算式的书写顺序从___到___按键输入算式，计算器将按照运算 顺序的_____顺序自动进行运算，其运算的优先顺序为：_____ 中的运算、_____与_____运算、_____运算、_____运算． 左 右 左 右 优先 括号 乘方 开方 乘除 加减 思路导析 正确的按键顺序是解决本题的关键． 考点 用计算器求值 典例 利用计算器，比较下列各组数的大小． (1)eq \r(3,15)和eq \r(5)； (2)eq \f(7,6)和eq \f(\r(11)－1,2). 解：(1)eq \r(3,15)>eq \r(5)； (2)eq \f(7,6)＞eq \f(\r(11)－1,2). 变式1 用计算器计算下面各题． (1)eq \r(3,6)＋4eq \r(2)(精确到0.001)； (2)3×π－eq \f(1,2)×eq \r(7)＋eq \f(1,8)(精确到百分位)． 解：(1)eq \r(3,6)＋4eq \r(2)≈7.474； (2)3×π－eq \f(1,2)×eq \r(7)＋eq \f(1,8)≈8.23. 变式2 利用计算器，比较下列各组数的大小． (1)eq \r(8)，eq \r(3,25)； (2)eq \f(8,13)，eq \f(\r(5)－1,2). 解：(1)eq \r(8)＜eq \r(3,25)； (2)eq \f(8,13)＜eq \f(\r(5)－1,2). $$2　平方根与立方根 第1课时　算术平方根 知识点1 算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即_____，那么这个正数 __就叫作__的算术平方根，记为“____”，读作“______”．规 定0的算术平方根是__． x2＝a x a 根号a 0 非负数 ≥0 非负数 ≥0 正数 0 没有 【注意】 (1) 表示a的算术平方根，其中a≥0，且 ≥0； (2)算术平方根等于它本身的数只有0和1. 思路导析 根据算术平方根的定义解答各题即可． 【方法技巧】 (1)熟记一些平方数；(2)带分数化为假分数； (3)注意先化简再求算术平方根． 变式2 [2024·海州区期中]已知2b＋3的算术平方根为3，3a＋b的算术平方根为6. (1)求a，b的值； (2)求4a－6b的算术平方根． 思路导析 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． －1 eq \r(a) 知识点2 算术平方根eq \r(a)具有双重非负性 1.eq \r(a)中的数a是 ，即a ． 2．算术平方根eq \r(a)本身是 ，即eq \r(a) ．也就是说，正数的算术平方根是一个 ，0的算术平方根是 ，负数 算术平方根． 3．当a≥0时，eq \r(a2)＝a，(eq \r(a))2＝a；当a<0时，eq \r(a2)＝－a. eq \r(a) eq \r(a) 考点1 算术平方根 典例1 求下列各数的算术平方根． (1)121； (2)1.69； (3)104； (4)3eq \f(22,49)； (5)(－eq \f(1,3))2；(6)eq \r(0.008 1). 解：(1)121的算术平方根是11； (2)1.69的算术平方根是1.3； (3)104的算术平方根是102＝100； (4)3eq \f(22,49)＝eq \f(169,49)，它的算术平方根是eq \f(13,7)； (5)(－eq \f(1,3))2＝eq \f(1,9)，它的算术平方根是eq \f(1,3)； (6)eq \r(0.008 1)＝0.09，它的算术平方根是0.3. 变式1 求下列各数的算术平方根． (1)eq \f(1,16)；　　 (2)2eq \f(1,4)；　　 (3)eq \r(81)； (4)－(－4)；　(5)(－12)×(－3)． 解：(1)eq \f(1,4)； (2)eq \f(3,2)； (3)3； (4)2；(5)6. 解：(1)由题可知，2b＋3＝(3)2＝9， 解得b＝3，3a＋b＝62＝36， 因为b＝3， 所以a＝11； (2)因为a＝11，b＝3， 所以4a－6b＝4×11－6×3＝44－18＝26， 则4a－6b的算术平方根为eq \r(,26). 考点2 算术平方根非负性的应用 典例2 已知eq \r(a－1)＋|b＋2|＝0，则eq \r(（a＋b）2)的值为( ) A．0 B．±18 C．1 D．－1 变式 若数m，n满足|m＋1|与eq \r(n－1)互为相反数，则(mn)2 025的值 为 ． $$4　实　数 第1课时　实数及其分类 知识点1 实数的定义 _______和_______统称为实数． 有理数 无理数 知识点2 实数的性质 有理数范围内的一些概念和性质在实数范围内仍然适用．实数 与数轴上的点_____对应． 一一 思路导析 根据实数的分类方法，判断出正分数、负有理数、无理数各有哪些即可． 【规律总结】 无理数常见类型： (1)根号型：带根号且开方开不尽的数，注意带根号的数不一定是无理数； (2)小数型：无限不循环小数； (3)含π型：最终结果含有π的数． ⑥⑧ ①⑤⑦ ①⑦ ② ①②⑦ ③④⑤⑥ 解：如图，点A，B即为所求． 变式1 [2024·成都期末]如图所示，数轴上的点A表示的实数 为－1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则点C表 示的数是_________． 解：如图，数轴上的点A表示的数是－1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D为所求作． 考点1实数的分类 典例1 [2024·官渡区期中]把下列各数填入相应集合的括号内． －(－2)，－eq \f(1,2)，－eq \r(3)，3.14，－π，－|－6|，eq \f(1,3)，－eq \f(10,5)， 2.131 331 333 13…(相邻两个1之间3的个数逐次加1) 正分数集合：{________________…}； 负有理数集合：{________________…}； 无理数集合：{________________…}； 解：正分数集合：{3.14，eq \f(1,3)…}； 负有理数集合：{－eq \f(1,2)，－|－6|，－eq \f(10,5)…}； 无理数集合：{－eq \r(3)，－π，2.131 331 333 13…(相邻两个1之间3的个数逐次加1)，…}． 变式1 [2024·福建]下列实数中，无理数是( ) A．－3 B．0 C．eq \f(2,3) D．eq \r(5) 变式2 [2024·西湖区期中]在下列数中：①π，②－|－3|，③eq \f(22,7)，④1.7，⑤eq \r(　,5)，⑥0，⑦1.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0)，⑧eq \r(　,4).非负整数有 ；无理数有 ．(填序号) 变式3 把下列各数的序号填在相应的大括号中． ①－7　②3.5　③eq \r(8)　④－eq \r(2)　⑤eq \f(π,3)　⑥0.101 001 000 1…(两个1之间的0逐次增加)　⑦eq \r(3,－27) (1)整数集合{ …}； (2)分数集合{ …}； (3)有理数集合{ …}； (4)无理数集合{ …}． 考点1 无理数与数轴 典例2 请你用合理的方法，在数轴上作出表示eq \r(10)和－eq \r(8)的点．(保留作图痕迹，不写作法) 思路导析 (1)首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是eq \r(32＋12)＝eq \r(10).再以原点为圆心，以eq \r(10)为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可． (2)因为8＝4＋4，则首先作出以2和2为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是eq \r(22＋22)＝eq \r(8).在数轴的负半轴作出即可． －1－eq \r(5) 变式2 利用尺规作出实数eq \r(8)－1所在数轴上的位置．(不写作法，保留必要的作图痕迹) 变式3 如图，实数π，eq \r(7)对应数轴上A，B，C，D四点中的两点，根据图中各点的位置，请回答下列问题． (1)实数π对应的点是_____；实数eq \r(7)对应的点是_____； (2)计算：|eq \r(7)－π|－eq \r(（－π）2). 解：(1)实数π对应的点是D；实数eq \r(7)对应的点是C；故答案 为：D；C； (2)由数轴可知eq \r(7)<π，所以eq \r(7)－π<0， 所以|eq \r(7)－π|－eq \r(（－π）2)＝π－eq \r(7)－π＝－eq \r(7). $$