精品解析：江苏省苏州工业园区景城学校2021-2022学年九年级上学期数学月考试卷

九年级第十八周周测卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. tan45º的值为（ ） A B. 1 C. D. 3. 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BOC＝64°，则∠BAC的度数为（ ） A. 64° B. 32° C. 26° D. 23° 4. 我市某居民小区户家庭参加了节水行动，现统计了户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表： 节水量吨 家庭数/户 请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 5. 某班七个兴趣小组人数分别为．已知这组数据的平均数是5．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线y＝x2﹣4x+9的顶点坐标是（ ） A (﹣2，5) B. (2，5) C. (2，﹣5) D. (﹣2，﹣5) 7. 下列说法：①三点确定一个圆；②任何三角形有且只有一个内切圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④正多边形一定是中心对称图形，其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度可得抛物线（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（　　） A. 2＋ B. ＋ C. ＋ D. 2＋ 10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点D（－1，2），与x轴的一个交点A在（－3，0）和（－2，0）之间（不含端点），如图所示，有以下结论：①b2－4ac＞0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝2；④方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根，其中结论正确的个数有（ ） A 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是96分，它们的方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是________． 12. 圆锥的母线长为，底面半径为，那么它的侧面展开图的圆心角是______度. 13. 圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为________． 14. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为_______ 15. 如图示，半圆的直径，，是半圆上的三等分点，点是的中点，则阴影部分面积等于______. 16. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________. 17. 如图，在中，为直径，A为弧的中点，点D在弧上，与相交于M，若，，则的长是________． 18. 如图，在中，，，.点P是边上一动点，过点P作交于点Q，D为线段的中点，当平分时，的长度为________． 三、解答题（共76分） 19. 计算： （1） （2） 20 解方程： （1） （2） （3） 21. 甲、乙两个家庭准备到美丽的太湖景区游玩，各自随机选择到“灵山”、“拈花湾”、“鼋头渚”三个景点旅游．假设上述三个景点中的每一个景点被选到的可能性相同． （1）求甲家庭选择到“拈花湾”旅游的概率； （2）求甲、乙两个家庭选择到上述三个景点中的同一个景点旅游的概率．（用列表法或树状图法） 22. 图1是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高AB＝2cm，连杆BC＝40cm，灯罩CD＝34cm． （1）转动BC、CD，使得∠BCD成平角，且∠ABC＝150°，如图2，则灯罩端点D离桌面l的高度DH是　 　cm． （2）将图2中的灯罩CD再绕点C顺时针旋转，使∠BCD＝150°，如图3，求此时灯罩端点D离桌面l的高度DI． 23. 如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，并使，新建墙上预留一长为1米的门.如果新建墙总长为15米，那么怎样修建才能使储料场的面积最大？最大面积多少平方米？ 24. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O外一点， OC⊥OA，OC交AB于点P、交⊙O于点Q，且CP＝CB＝2． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若∠A＝22.5°，求图中阴影部分的面积． 25. 定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形中，若，则称四边形为准平行四边形． （1）如图①，A，P，B，C是上的四个点，，延长到Q，使．求证：四边形是准平行四边形； （2）如图②，准平行四边形内接于，，，若半径为5，，求的长； （3）如图③，在中，，若四边形是准平行四边形，且，请直接写出长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级第十八周周测卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：A． 2. tan45º的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：tan45º=1， 故选B． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值． 3. 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BOC＝64°，则∠BAC的度数为（ ） A 64° B. 32° C. 26° D. 23° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意直接利用圆周角定理即同弧（弦）或等弧（弦）所对的圆周角是圆心角的一半进行求解即可． 【详解】解：∵∠BAC＝∠BOC，∠BOC＝64°， ∴∠BAC＝32°， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解圆周角定理即同弧（弦）或等弧（弦）所对的圆周角是圆心角的一半． 4. 我市某居民小区户家庭参加了节水行动，现统计了户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表： 节水量吨 家庭数/户 请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】C 【解析】 【分析】先求出样本的平均数，再乘以总户数即可． 【详解】∵抽查的10户家庭这个月节约用水的平均数为(吨)， ∴估计改200户家庭这个月节约用水的总量是(吨)， 故选：C． 【点睛】本题考查用样本估计总体、统计表，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 5. 某班七个兴趣小组人数分别为．已知这组数据的平均数是5．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数、算术平均数、中位数．根据平均数、众数、中位数的定义进行计算求解即可 【详解】解：∵这组数据的平均数是， ∴， 解得：， 这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，， ∴众数为，中位数为第4个位置上的数，即为． 故选：A． 6. 抛物线y＝x2﹣4x+9的顶点坐标是（ ） A. (﹣2，5) B. (2，5) C. (2，﹣5) D. (﹣2，﹣5) 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+9＝（x﹣2）2+5， ∴该抛物线的顶点坐标为（2，5）， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y＝a（x−h）2＋k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）． 7. 下列说法：①三点确定一个圆；②任何三角形有且只有一个内切圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④正多边形一定是中心对称图形，其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的性质、三角形内切圆的性质、圆心角的性质以及中心对称图形的知识，依次分析可得出正确的命题，即可得出答案． 【详解】①不共线的三点确定一个圆，错误，假命题； ②任何三角形有且只有一个内切圆，正确，真命题； ③在同一个圆中,圆心角相等所对的弧也相等,错误，假命题； ④正五边形、正三角形都不是中心对称图形，错误，假命题； 故答案为A. 【点睛】本题考查了圆的性质、三角形内切圆的性质、圆心角的性质以及中心对称图形的知识，解题时记牢性质和判定方法是关键． 8. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度可得抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律：上加下减，左加右减，即可得解. 【详解】平移后的抛物线为 故答案为A. 【点睛】此题主要考查抛物线平移的性质，熟练掌握，即可解题. 9. 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（　　） A. 2＋ B. ＋ C. ＋ D. 2＋ 【答案】D 【解析】 【分析】作点C关于OB对称点点A，连接AD与OB的交点即为E，此时CE+ED最小，进而得到阴影部分的周长最小，再由勾股定理求出AD的长，由弧长公式求出弧CD的长． 【详解】解：阴影部分的周长=CE+ED+弧CD的长，由于C和D均为定点，E为动点，故只要CE+ED最小即可，作C点关于OB的对称点A，连接DA，此时即为阴影部分周长的最小值，如下图所示： ∵A、C两点关于OB对称，∴CE=AE， ∴CE+DE=AE+DE=AD， 又D为弧BC的中点，∠COB=60°， ∴∠DOA=∠DOB+∠BOA=30°+60°=90°， 在Rt△ODA中，， 弧CD的长为， ∴阴影部分周长的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形求线段的最小值，弧长公式，勾股定理等，本题的关键是找出阴影部分周长最小值时点E的位置进而求解． 10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点D（－1，2），与x轴的一个交点A在（－3，0）和（－2，0）之间（不含端点），如图所示，有以下结论：①b2－4ac＞0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝2；④方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根，其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数与x轴有两个交点可以得到b2－4ac＞0；设出二次函数的顶点式，再和一般式比较系数，将b，c均用含有a的代数式表示，再代入即可判断出②和③是否正确；ax2＋bx＋c－2＝0可以转化为y=ax2＋bx＋c和y=2的交点问题即可求解． 【详解】解：对于①：二次函数与x轴有两个交点，故△= b2－4ac＞0，故①正确； 对于②：∵与x轴的一个交点A在（－3，0）和（－2，0）之间（不含端点），∴A点到对称轴x=-1的距离在1到2之间，根据对称性，二次函数与x轴的另一个交点到对称轴x=-1的距离也在1到2之间，故此时当x=1时，a+b+c<0，故②正确； 对于③：设抛物线的顶点式为：y=a(x+1)²+2=ax²+2ax+a+2，与一般式y=ax2＋bx＋c比较系数可知：b=2a，c=a+2，故此时c-a=a+2-a=2，故③正确； 对于④：∵y=ax2＋bx＋c的最大值为2，∴y=ax2＋bx＋c和y=2的交点只有1个，故方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像性质，掌握二次函数的系数与图形之间的关系是解决本题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是96分，它们的方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是________． 【答案】乙同学 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个指标．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差的意义求解可得． 【详解】解：∵，，，， ∴最小， ∴乙同学成绩最稳定， 故答案为：乙同学． 12. 圆锥的母线长为，底面半径为，那么它的侧面展开图的圆心角是______度. 【答案】270 【解析】 【分析】易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解． 【详解】∵圆锥底面半径是3， ∴圆锥的底面周长为6π， 设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°， ， 解得n=270． 故答案为270． 【点睛】此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长． 13. 圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，中心角等知识点，熟练掌握圆与正多边形相关性质是解题的关键． 连接，交于点，先求出，，设，则为等腰直角三角形，由勾股定理可求，由求出的面积，再乘以8即为圆的内接正八边形的面积． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得，， ∵， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得， 解得：（舍负）， ∴， ∴圆的内接正八边形的面积为， 故答案为：． 14. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为_______ 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH=16﹣r，然后在Rt△OFH中，r2﹣（16﹣r）2=82，解此方程即可求得答案： 如答图，由题意，⊙O与BC相切，记切点为M，作直线OM，分别交AD、劣弧于点H、N，再连接OF， 在矩形ABCD中，AD∥BC，而MN⊥BC，∴MN⊥AD.∴在⊙O中，FH=EF=4. 设球半径为r，则OH=8﹣r， 在Rt△OFH中，由勾股定理得，r2﹣（8﹣r）2=42，解得r=5. 考点：1.垂径定理的应用；2.勾股定理；3.切线的性质；4.方程思想的应用． 15. 如图示，半圆的直径，，是半圆上的三等分点，点是的中点，则阴影部分面积等于______. 【答案】 【解析】 【分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后计算扇形面积就可． 【详解】连接OC、OD、CD，如图所示： ∵△COD和△CDE等底等高， ∴S△COD=S△ECD． ∵点C，D为半圆的三等分点， ∴∠COD=180°÷3=60°， ∴阴影部分的面积=S扇形COD=． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积是解题关键． 16. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案． 【详解】如图，连接BE， ∵四边形BCEK是正方形， ∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK， ∴BF=CF， 根据题意得：AC∥BK， ∴△ACO∽△BKO， ∴KO：CO=BK：AC=1：3， ∴KO：KF=1：2， ∴KO=OF=CF=BF， 在Rt△PBF中，tan∠BOF==2， ∵∠AOD=∠BOF， ∴tan∠AOD=2． 故答案为2 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 17. 如图，在中，为直径，A为弧的中点，点D在弧上，与相交于M，若，，则的长是________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握各知识点 灵活运用是解题的关键． 先得到为等腰直角三角形，运用勾股定理和解直角三角形得到，，然后证明，得到,设，则，则， ，则，即可求解． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵A为弧的中点， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴, 设，则，则， ， ∴， 解得：， 即， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，.点P是边上一动点，过点P作交于点Q，D为线段的中点，当平分时，的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据勾股定理求出，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴，． 解得． ∵， ∴， 即． 解得． 三、解答题（共76分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． （1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再由直接开平方法求解； （2）先化为一般式，再由因式分解法求解； （3）先移项，再由因式分解法求解． 【小问1详解】 解： ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，； 【小问3详解】 解：， ， 或， 解得：，． 21. 甲、乙两个家庭准备到美丽的太湖景区游玩，各自随机选择到“灵山”、“拈花湾”、“鼋头渚”三个景点旅游．假设上述三个景点中的每一个景点被选到的可能性相同． （1）求甲家庭选择到“拈花湾”旅游的概率； （2）求甲、乙两个家庭选择到上述三个景点中的同一个景点旅游的概率．（用列表法或树状图法） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接用概率公式求解可得； （2）记选择到“灵山”、“拈花湾”、“鼋头渚”三个景点旅游的分别为A、B、C，列表得出所有等可能结果，从中找到甲、乙两个家庭选择到上述三个景点中的同一个景点旅游的结果数，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）甲家庭选择到“拈花湾”旅游的概率为：1÷3=； （2）记选择到“灵山”、“拈花湾”、“鼋头渚”三个景点旅游的分别为A、B、C， 列表得： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由表格可知，共有9种等可能性结果，其中甲、乙两个家庭选择到上述三个景点中同一个景点旅游的有3种结果， ∴甲、乙两个家庭选择到上述三个景点中的同一个景点旅游的概率为：P＝3÷9＝． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式求事件A的概率． 22. 图1是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高AB＝2cm，连杆BC＝40cm，灯罩CD＝34cm． （1）转动BC、CD，使得∠BCD成平角，且∠ABC＝150°，如图2，则灯罩端点D离桌面l的高度DH是　 　cm． （2）将图2中的灯罩CD再绕点C顺时针旋转，使∠BCD＝150°，如图3，求此时灯罩端点D离桌面l的高度DI． 【答案】（1）（37+2）；（2）灯罩端点D离桌面l的高度DI为（20+19）cm． 【解析】 【分析】（1）作BE⊥DH于点E，根据题意求出BD，根据正弦的定义求出DE，进而求出DH； （2）过点D作DE⊥l于E，过点C作CG⊥BH于G，CK⊥DE于K，根据直角三角形的性质求出DK，根据正弦的定义求出KE，进而求出DI． 【详解】解：（1）如图2，作BE⊥DH于点E， ∵AB⊥AH，DH⊥AH， ∴四边形ABEH是矩形， ∴∠EBA＝90°，EH＝AB＝2cm， ∴∠DBE＝150°﹣90°＝60°， ∴ED＝BD•sin60°＝37（cm）， ∴DH＝ED+EH＝（37+2）cm， ∴连杆端点D离桌面l的高度DE为（37+2）cm， 故答案为：（37+2）； （2）如图3，过点D作DE⊥l于E，过点C作CG⊥BH于G，CK⊥DE于K， 则四边形ABEI、CGEK为矩形， ∴EI＝AB＝2cm，KE＝CG，∠KCG＝90°， ∴∠DCK＝150°﹣30°﹣90°＝30°， ∴DK＝DC＝17（cm）， 在Rt△CBG中，CG＝BC•sinCBG＝40×＝20（cm）， ∴DI＝DK+KE+EI＝DK+CG+EI＝17+20+2＝（20+19）cm， 答：灯罩端点D离桌面l的高度DI为（20+19）cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造矩形和直角三角形解决问题． 23. 如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，并使，新建墙上预留一长为1米的门.如果新建墙总长为15米，那么怎样修建才能使储料场的面积最大？最大面积多少平方米？ 【答案】当与垂直的墙长为米时，储料场面积最大值为平方米 【解析】 【分析】过点A作AG⊥BC，则四边形ADCG为矩形，得出，再证明△ABG是等腰直角三角形，得出，然后根据梯形的面积公式即可求出S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解． 【详解】设的长为，则长为 过点作，垂足为.如图所示: ∵，， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， ∴中 ∴ ∴ ∴ ∴当时， 答：当与垂直的墙长为米时，储料场面积最大值为平方米 【点睛】此题考查二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数，进一步利用函数的性质解决问题． 24. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O外一点， OC⊥OA，OC交AB于点P、交⊙O于点Q，且CP＝CB＝2． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若∠A＝22.5°，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见详解；（2）2- 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切； （2）根据三角形的内角和定理得到∠APO＝67.5°，推出∠C=45°，从而得∆OBC是等腰直角三角形，求得BO＝2，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵CP＝CB， ∴∠CPB＝∠CBP， ∵∠CPB＝∠APO， ∴∠CBP＝∠APO， ∵OC⊥OA， ∴在Rt△AOP中，∠A＋∠APO＝90°， ∴∠OBA＋∠CBP＝90°，   即：∠OBC＝90°， ∴OB⊥CB， 又∵OB是半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）∵∠A＝22.5°，∠AOP＝90°， ∴∠APO＝67.5°， ∴∠BPC＝∠APO＝67.5°， ∵PC＝CB， ∴∠BPC＝∠PBC=67.5°， ∴∠C＝45°， ∵OB⊥CB， ∴∠BOC=90°-45°=45°， ∴OB=BC=2， ∴图中阴影部分的面积＝S△OBC−S扇形OBQ＝×2×2-=2-． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理和扇形的面积公式，是解题的关键． 25. 定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形中，若，则称四边形为准平行四边形． （1）如图①，A，P，B，C是上的四个点，，延长到Q，使．求证：四边形是准平行四边形； （2）如图②，准平行四边形内接于，，，若的半径为5，，求的长； （3）如图③，在中，，若四边形是准平行四边形，且，请直接写出长的最大值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证是等边三角形，可得，由，可证四边形是准平行四边形； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，于是得到是直径，将绕点顺时针旋转得到 ，可得，由勾股定理可求的长； （3）作的外接圆，过点O 作于E，于F，由准平行四边形定义可求，可得，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可求，由勾股定理可求，由当点D在的延长线时的长有最大值； 【小问1详解】 证明：∵， ∴，且， ∴等边三角形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴四边形准平行四边形； 【小问2详解】 如图②，连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是准平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴是直径， ∴， ∴， 将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴点A，点D，点H三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图③，作的外接圆，过点O作于E，于F， ∵， ∴， ∵四边形是准平行四边形，且， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵当点D在的延长线时，的长有最大值， ∴长的最大值． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$