21.1 一元二次方程　课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 1 21.1 一元二次方程 学习目录 一元二次方程的相关概念 一元二次方程一般形式的再认识 一元二次方程概念的再认识 01 02 03 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 实际问题 方程 方程的解 实际问题的答案 建立模型 设未知数，列方程 检验 方程是刻画现实世界中等量关系的重要数学模型 一、复习回顾： 任务1 回顾方程的学习过程，归纳整理所学内容， 并说说是怎么学习它们的． “次数”推广 “元”的推广 实际问题 方程 建立模型 设未知数，列方程 分式方程 整式方程 概念 解法 应用 转化 一元一次方程 一元二次方程 概念 解法 应用 二元一次方程组 概念 解法 应用 消元 概念 解法 应用 任务1 回顾方程的学习过程，归纳整理所学内容， 并说说是怎么学习它们的． 二、引入新知 问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽 50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形? 任务2 请同学们利用方程的知识思考下面的问题． 5 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 问题1 由无盖方盒的底面积为3600 , 二、引入新知 解：设铁皮各角应切的正方形边长为xcm 可列方程为：____________________ 6 . 整理，得 化简，得 ____________________ ____________________ ① 7 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 二、引入新知 解：设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加______场比赛 根据题意可列方程为：____________________________ (x-1) 整理、化简得 ____________________ ② 8 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 已知量：雕像全身高度AB=2 未知量：雕像上部高度AC 雕像下部高度BC 等量关系：AC:BC=BC:2 即 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高呢？ 分析： 上部高度 下部高度 问题3 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高呢？ 上部高度 下部高度 分析： 解：设雕像下部高x m，则雕像上部高为(2-x) m. 可得方程 化简、整理得 x 2-x 问题3 ③ 方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ ①方程的两边都是整式 ②含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2 思考：（1）对比一元一次方程，方程①②③它们有什么共同特点？ ① ② ③ 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 （2）结合学习方程的经验，归纳相关概念． ①方程的两边都是整式 1、像这样，只含有一个未知数（一元），并且未知数的 最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程 ②含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2 ① ② ③ 2、 关于x 的一元二次方程一般形式： 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 例 二次项系数是1， 一次项系数是2， 常数项是-4. （2）结合学习方程的经验，归纳相关概念． 3、使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 例1 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 三、应用巩固 “次数” 推广 一元二次方程 实际问题 建立模型 概念 一般形式 方程的根 一元一次方程 设未知数、 列方程 小结 实际问题 建立模型 设未知数、 列方程 实际问题 建立模型 设未知数、 列方程 二元一次方程 “元”的 推广 按照未知数的个数及未知数的最高次数的标准定义. 相关概念 相关概念 一元二次方程的相关概念 一元二次方程一般形式的再认识 一元二次方程概念的再认识 01 02 03 21.1 一元二次方程 学习目录 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 例2 判断下列方程是否为一元二次方程，如果是，请将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项. 满足以下三个条件的方程是一元二次方程： ①整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为2. 任务3 细心观察，概念辨析． 18 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10． 例2 判断下列方程是否为一元二次方程，如果是， 请将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项. （1） 整理，得 确定各项系数，需要把方程化为一般形式. 二次项 系数 一次项系数 常数项 -10 -8 3 19 Administrator (A) - 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 移项，得 二次项 系数 一次项系数 常数项 例2 判断下列方程是否为一元二次方程，如果是， 请将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项. （2） 0 4 20 例2 判断下列方程是否为一元二次方程，如果是， 请将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项. （3） 二次项 系数 一次项系数 常数项 2 0 21 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 （4） 满足以下三个条件的方程是一元二次方程： ①整式方程；× ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为2. 例2 判断下列方程是否为一元二次方程，如果是， 请将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项. 22 练习 判断下列方程是否为一元二次方程， 如果是，请将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项. （1） 满足以下三个条件的方程是一元二次方程： ①整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为2. × 23 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 练习 判断下列方程是否为一元二次方程， 如果是，请将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项. （2） 二次项 系数 一次项系数 常数项 0 0 24 练习 判断下列方程是否为一元二次方程， 如果是，请将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项. （3） 关于x的方程 mx2-3x+2=0(m≠0) 解：方程是一元二次方程. 二次项系数是m，一次项系数是-3，常数项是2. 分析： 方程两边都是整式， 只含有一个未知数x， 未知数的最高次数是2. 如果去掉m≠0呢？ 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 一元二次方程 二次项 系数 一次项系数 常数项 3 4 0 2 0 0 0 特殊形式 26 ①当b=0，c≠0时， ; ②当b≠0，c=0时， ; ③当b=c=0时， . 小结：一元二次方程的特殊形式是： 27 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 关于x 的一元二次方程一般形式： 为什么规定a≠0呢？ 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 任务3 细心观察，概念辨析． 例3 若(m2-9)x2+(m+3)x-1=0 是关于x的方程． (1) 求m为何值时，方程是一元二次方程； (2) 求m为何值时，方程是一元一次方程． 二次项系数为 m2-9 m2-9≠0 m2-9=0 m≠±3 一元二次方程 且m+3≠0 m=3 一元一次方程 6x-1=0 分析： 四、拓展提升 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 解： (1) 当m2-9≠0，即m≠±3时，方程是一元二次方程． (2) 当m2-9=0且m+3≠0，即m＝3时，方程是一元一次方程． 例3 若(m2-9)x2+(m+3)x-1=0 是关于x的方程． (1) 求m为何值时，方程是一元二次方程； (2) 求m为何值时，方程是一元一次方程． 例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2020的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 小结 方程 一元一次方程 一元二次方程 方程两边都是整式 含有一个未知数 未知数的次数是1 方程两边都是整式 含有一个未知数 未知数的最高次数是2 ax+b=0（a≠0） ax2+bx+c=0（a≠0） 一元二次方程的相关概念 一元二次方程一般形式的再认识 一元二次方程概念的再认识 01 02 03 21.1 一元二次方程 学习目录 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 例5 要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？ 任务4 分析实际问题，建立方程模型． 已知量：照片长29，宽22 未知量：镜框边的宽度 问题中的量： 数量关系： 照片 29 22 镜框 分析： x 设镜框边的宽度是x cm， 外侧矩形的长为 cm， 外侧矩形的宽为 cm. 等量关系： 29 照片 22 镜框 x x x (29+2x) (22+2x) 要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？ 分析： 任务4 分析实际问题，建立方程模型． 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 (22+2x) = x 29 照片 22 镜框 x x x (29+2x) 要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？ 分析： 一次式 一次式 乘积 两个一次式的乘积是二次式，即方程为二次方程． 任务4 分析实际问题，建立方程模型． 等量关系： x 29 照片 22 镜框 x x x 解：设镜框边的宽度是x cm. 可得方程 (29+2x) (22+2x) = . 整理，得 要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？ 任务4 分析实际问题，建立方程模型． 考试中经常考查学生对锥体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解切线判定的本质有助于更好地区分。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平面直角坐标系的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。 课堂总结 一元二次方程 实际问题 抽象 概念 符号表示 建立模型 含有1个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 建立一元二次方程模型 一元一次方程 “次数” 推广 $$