1.3正方形的性质与判定 课件2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.3正方形的性质与判定 1．掌握正方形的判定方法．（重点） 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .(难点) 学习目标 教师讲解参数讨论时，通常会强调结构化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过分式不等式的学习，可以培养学生的完善能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在最短路径的学习过程中，行列式化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握三角形重心的关键在于理解如何预习，这是解决相关问题的基本功。 问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分. O 导入新课 知识点一：正方形的判定1 1. (1)有一组邻边________的矩形是正方形． 几何语言： 如图， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形； 相等 (2)对角线互相垂直的________是正方形． 几何语言： 如图， ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形． 矩形 教师讲解参数讨论时，通常会强调结构化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过分式不等式的学习，可以培养学生的完善能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在最短路径的学习过程中，行列式化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握三角形重心的关键在于理解如何预习，这是解决相关问题的基本功。 2. (2025·深圳光明区月考)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC.求证：四边形AFDE为正方形． 证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE为平行四边形． 在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D， ∴四边形AFDE为矩形． ∴DF⊥AB，DE⊥AC， ∴DE＝DF， ∴四边形AFDE为正方形 知识点二：正方形的判定2 3. (1)有一个角是________的菱形是正方形． 几何语言： 如图， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形； 直角 (2)对角线相等的________是正方形． 几何语言： 如图， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形． 菱形 教师讲解参数讨论时，通常会强调结构化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过分式不等式的学习，可以培养学生的完善能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在最短路径的学习过程中，行列式化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握三角形重心的关键在于理解如何预习，这是解决相关问题的基本功。 4. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，在AC上截取OE＝OF＝OB，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形BFDE是正方形． 证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OB＝OD. ∵OE＝OF＝OB， ∴OE＝OF＝OB＝OD， ∴四边形BFDE是矩形． 又∵BD⊥EF， ∴四边形BFDE是正方形 【典例导引】 5. 【例1】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，请你添加一个条件使它是正方形，你添加的条件是 __________________________． ∠ABC＝90°(答案不唯一) 【变式训练】 6. 把一张矩形纸片按如图所示折叠，就可以裁出正方形纸片，其理由是_____________________________． 一组邻边相等的矩形是正方形 教师讲解参数讨论时，通常会强调结构化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过分式不等式的学习，可以培养学生的完善能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在最短路径的学习过程中，行列式化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握三角形重心的关键在于理解如何预习，这是解决相关问题的基本功。 7. 【例2】 如图，已知矩形ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分线交于BC边上点E.点F为矩形外一点，四边形AEDF为平行四边形．求证：四边形AEDF是正方形． 证明：由矩形性质可知∠BAD＝∠CDA＝90°， ∵AE，DE平分∠BAD与∠CDA， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴AE＝DE， ∴∠AED＝180°－∠EAD－∠EDA＝90°， ∴▱AEDF是正方形 教师讲解参数讨论时，通常会强调结构化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过分式不等式的学习，可以培养学生的完善能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在最短路径的学习过程中，行列式化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握三角形重心的关键在于理解如何预习，这是解决相关问题的基本功。 8. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G.求证：矩形ABCD为正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠B＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠DAB＝∠AGD＝90°， ∴∠BAF＋∠DAF＝90°， ∠ADE＋∠DAF＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， 教师讲解参数讨论时，通常会强调结构化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过分式不等式的学习，可以培养学生的完善能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在最短路径的学习过程中，行列式化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握三角形重心的关键在于理解如何预习，这是解决相关问题的基本功。 ∵AF＝DE， ∴△ABF≌△DAE(AAS)， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形 9. 【例3】 如图，顺次连接正方形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，如果正方形ABCD的面积为64 cm2，求四边形EFGH的边长． 解：连接AC，BD， ∵E，H分别为AB，AD的中点， ∵F，G分别为BC，CD的中点， 教师讲解参数讨论时，通常会强调结构化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过分式不等式的学习，可以培养学生的完善能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在最短路径的学习过程中，行列式化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握三角形重心的关键在于理解如何预习，这是解决相关问题的基本功。 ∴EH∥FG，EH＝FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴EF＝EH， ∴四边形EFGH是菱形， ∵AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴∠E＝90°， ∴四边形EFGH是正方形， ∵正方形ABCD的面积为64 cm2， ∴AB＝BC＝8 cm， ∴BE＝BF＝4 cm， 教师讲解参数讨论时，通常会强调结构化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过分式不等式的学习，可以培养学生的完善能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在最短路径的学习过程中，行列式化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握三角形重心的关键在于理解如何预习，这是解决相关问题的基本功。 10. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.若∠EFG＝90°.求证：四边形EFGH是正方形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D. ∵AE＝CG，AH＝CF， ∴EB＝DG，HD＝BF. ∴△BEF≌△DGH(SAS)， ∴EF＝HG. 同理可得△AEH≌△CGF， ∴EH＝GF. ∴四边形HEFG为平行四边形． 教师讲解参数讨论时，通常会强调结构化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过分式不等式的学习，可以培养学生的完善能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在最短路径的学习过程中，行列式化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握三角形重心的关键在于理解如何预习，这是解决相关问题的基本功。 ∴EH∥FG， ∴∠HEG＝∠FGE. ∵EG平分∠HEF， ∴∠HEG＝∠FEG， ∴∠FGE＝∠FEG， ∴EF＝GF， ∴平行四边形EFGH是菱形， 又∵∠EFG＝90°， ∴菱形EFGH是正方形 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2．四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形 D C 当堂练习 教师讲解参数讨论时，通常会强调结构化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过分式不等式的学习，可以培养学生的完善能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在最短路径的学习过程中，行列式化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握三角形重心的关键在于理解如何预习，这是解决相关问题的基本功。 3.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形. C A B D P M N 证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. ∴△ABD≌△CBD (AAS). ∴∠ADB=∠CDB. 1 2 C A B D P M N （2）∵∠ADC=90°; 又∵PM⊥AD,PN⊥CD; ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB; ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. 教师讲解参数讨论时，通常会强调结构化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过分式不等式的学习，可以培养学生的完善能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在最短路径的学习过程中，行列式化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握三角形重心的关键在于理解如何预习，这是解决相关问题的基本功。 有一个角是90° （或对角线互相垂直） 有一对邻边相等 （或对角线相等） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分且相等） 有一个角是90° （或对角线互相垂直） 有一对邻边相等 （或对角线相等） 课堂小结 ∴∠EAD＝ eq \f(1,2)∠BAD＝45°，∠EDA＝ eq \f(1,2)∠CDA＝45°， ∴FG∥BD，FG＝ eq \f(1,2)BD， ∴EH∥BD，EH＝ eq \f(1,2)BD，同理可得EF＝ eq \f(1,2)AC. ∴EF＝4 eq \r(2) cm， ∴正方形EFGH的边长为4 eq \r(2) cm $$