1.1.2 集合的表示 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1.2 集合的表示 1.1 集合的概念 必修第一册 第1章 集合与常用逻辑用语 2025/8/29 学习目标 1.通过实例了解集合与元素的含义， 2.理解元素与集合的“属于”关系． 3.用符号语言刻画集合. 重难点 重点：元素与集合的“属于”关系,用符号语言刻画集合. 难点：用描述法表示集合. 核心素养 数学抽象、逻辑推理 复习引入 1.元素和集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）. 2.集合中元素的特征 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. 3.集合相等 构成集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 复习引入 4.元素集合的符号表示 名称 表示方式 元素 小写拉丁字母𝒂,𝒃,𝒄,… 集合 大写拉丁字母A,B,C… 5.元素与集合的关系及其符号表示 关系 文字叙述 文字语言 符号语言 属于 是集合的元素 属于集合 不属于 不是集合的元素 不属于集合 6.几个常用的数集 复习引入 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N ____或____ Z __ R N* N＋ Q 自然语言 探究：集合中元素的特征 问题1 除了自然语言，还可以用什么方式表示集合？ “地球上的四大洋”组成的集合； 2. 方程𝑥2−3𝑥+2=0的所有实数根； 追问 以上的表示方法有什么共同点？ 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示 1.列举法 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合. 概念生成 思考：方程𝑥2−3𝑥+2=0的所有实数根中的集合如果表示成 对吗？为什么？ 注：(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开． (2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． 元素放在花括号内 元素间用逗号隔开 例题讲解 （教材 P3 例1） 用列举法表示下列集合： (1) 小于10的所有自然数组成的集合； (2) 方程x2＝x的所有实数根组成的集合. 解：(1) 设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么 A＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. (2) 设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0, 1}. 反思领悟：用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)将所有元素用花括号括起来． 跟踪练习 解：(1) A＝{ 2, 3, 4, 5}. (2) B＝{ 1，-2}. （教材 P5） 2. 用列举法表示下列集合： (1) 大于1且小于6的整数； (4)方程组的根组成的集合B； (3) C＝{ 0，1}. (4) D＝ {(3，2)}. 探究：集合中元素的特征 思考 (1) 你能用自然语言描述集合{0, 3, 6, 9}吗？ (2) 你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？ 解：(1) 能，由大于等于0且小于10的整数中所有3的倍数组成的. (2) 不能，因为不等式x－7<3的解集的元素有无穷多个，无法一一列举出来. 此时就要采用集合的另一种表示方法—描述法. 探究：集合中元素的特征 比如：① 不等式x－7<3的解集可表示成 {x∈R|x<10}. 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有公共特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A| P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. ② 所有奇数组成的集合可表示成 {x∈Z|x=2k+1, k∈Z}. ③ 由所有偶数组成的集合可表示成 {x∈Z|x=2k, k∈Z}. 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法. 共同 特征 属性 2.描述法 概念生成 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有公共特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 {x∈A| P(x)} 这种表示集合的方法称为描述法. 集合中元素的取值范围 集合中元素的共同特征 代表元素 2.描述法 概念生成 {x∈A| P(x)} 注意：(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． 奇数集为 {x ∈ Z |x=2k+1, k∈Z}； 偶数集为 {x ∈ Z |x=2k, k∈Z}； 有理数集为 常见集合： 注：代表元素要明确 例题讲解 解：(1) 用描述法 用列举法 (2) 用描述法 用列举法 例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1) 方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A； (2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合B. A={x| x2-2=0}. B={x∈Z|10<x<20}. B={11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}. 不能 省略 反思领悟　用描述法表示集合的2个步骤 提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母． 跟踪练习 [学以致用]　2．下列三个集合： A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}， C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？ 集合B的代表元素是y， 因变量y的取值组成的集合 [解]　(1)不是． (2)集合A的代表元素是x， 自变量x的取值组成的集合； 集合C的代表元素是(x，y)， 由坐标平面内满足y＝x2＋1的点 (x，y)构成的集合． 题型：集合表示方法的综合应用 [典例讲评]　3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值． [解]　①当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意； ②当a≠0时，原方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程， 故当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的根为x＝－1，符合题意． 综上所述： 当a＝0或a＝1时，原方程只有一个根，此时A中只有一个元素． 巩固练习 [母题探究]　在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 题型：集合表示方法的综合应用 [典例讲评]　3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值． [解]　A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素． ①当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1． ②当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1． 综上所述：当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}． 巩固练习 跟踪练习 [学以致用]　3．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m的取值范围． [解]　①当m＝0时，原方程为-2x＋3＝0，解得x＝，符合题意． ②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程， 由Δ＝4－12m≥0，得m≤，即当m≤且m≠0时， 方程mx2－2x＋3＝0至少有一个实数根，符合题意． 综上所述：若A中元素至少有一个，则m≤． 1.列举法 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合. 2.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有公共特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A| P(x)}这种表示集合的方法称为描述法. 课堂小结 奇数集为 {x ∈ Z |x=2k+1, k∈Z}； 偶数集为 {x ∈ Z |x=2k, k∈Z}； 有理数集为 常见集合： 注：代表元素要明确 课堂小结 (1)列举法；(2)描述法； (3)集合与方程、不等式的关系． 分类讨论 (1)注意列举法与描述法的应用； (2)涉及x2的问题，x2的系数不确定时，注意讨论方程是一次方程还是二次方程． 课堂小结 知识 方法 注意 1. 完成P5 练习第3题，习题1.1 第3，4题 2. 完成分层练习AB组 布置作业 $$