22.1 第二课时 二次函数的图像和性质（待定系数法求二次函数的解析式）导学案 2025-2026学年人教版九年级数学上册

待定系数法求二次函数的解析式 知识点回顾 用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0))； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 方法一：一般式 题目条件特征：任意给定三个点，无明显规律，我们一般设一般式来求解。 例1：已知二次函数的图象经过A（0，－1），B（1，－3），C（－1，3）三点，求这个二次函数的解析式。 变式训练1： 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A（2，0），B（0，－1），C（4，5）三点．求二次函数的解析式． 变式训练2：已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（1，0），B（0，－5），C（2，3）．求这个二次函数的解析式。 方法二：交点式（两点式） 题目条件特征：给定抛物线图象并标出与x轴的交点，或给定的已知点为（,0）和（，0）的形式，一般设成两点式。 例1：已知抛物线的图象如图所示，求它的解析式． 例2：已知抛物线经过三点A（－1，0），B（4，0），C（0，－2），求抛物线的解析式。 变式训练1：根据图中条件求抛物线的解析式． 变式训练2：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（－2，0），（3，0），（0，4），求此抛物线的解析式。 方法三：顶点式（a≠0） 题目条件特征：给定顶点坐标 例1：已知抛物线的顶点坐标是（3，-1），与y轴的交点是（0，-4），求这个二次函数的解析式。 变式训练1：已知顶点坐标为（1,3），且过点（3,0），求抛物线的解析式。 变式训练2:若二次函数的图象的顶点坐标（2，1），且经过点（1，-2），求二次函数的解析式。 二次函数综合 1、已知在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A， B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C； （1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积． 2、已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2． （1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；（2）求该函数与坐标轴的交点坐标． 3、已知二次函数 （ 为常数）. （1）求证：不论 为何值，该函数的图象与 轴总有公共点； （2）当 取什么值时，该函数的图象与 轴的交点在 轴的上方？ 4、已知二次函数y＝－x2＋3x－2图像交x轴于点A、B （点A在点B左侧），交y轴于点C. （1）写出这个二次函数图象开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）求△ABC面积S. 5、如图，已知抛物线y1=x2-2x-3与x轴相交于点A，B(点A在B的左侧)，与y轴相交于点C，直线y2=kx+b经过点B，C． （1）求直线BC的函数关系式；（2）当y1>y2时，请直接写出x的取值范围． 6、如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A(－4，－3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题： (1) 求抛物线的解析式； (2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积． （选做）7、如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点D在直线上方时，作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$