精品解析：江苏省镇江市丹阳市第三中学2020—2021学年上学期第一次质量调研九年级数学试题

九年级数学 第一次阶段调研试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、填空：（每小题2分，共24分） 1. 一元二次方程的根是_____________． 2. 把方程化为一元二次方程的一般形式为__________． 3. 如果，那么______． 4. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则_____． 5. 若是关于的一元二次方程，则__________． 6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 7. 请你写一个两根分别为-2和1的一元二次方程__________． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的非负整数值是__________． 9. 已知1是一元二次方程的一个解，那么的值等于__________． 10. 已知三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是_____． 11. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____________． 12. 阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数化为的一元二次方程，得． 因为为实数，所以，所以． 根据材料给你的启示，则函数的最小值是__________． 二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 14. 下面图形是相似形的为（ ） A. 所有矩形 B. 所有正方形 C. 所有菱形 D. 所有平行四边形 15. 一元二次方程的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 16. 设方程的两个根为α，β，那么的值等于（ ） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3 17. 用配方法解一元二次方程 ，下面的配方正确的是（ ） A. B. C. D. 18. 若实数满足方程，那么的值为（ ） A. 或4 B. 4 C. D. 2或 三．简答题．（本大题共10小题，共78分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知： (x、y、z均不为零).求的值. 21. 如图，已知中，，且，，，求和的长． 22. 某村的粮食年产量，在两年内从60万千克增长到72.6万千克，问平均每年增长的百分率是多少？ 23. 已知关于的一元二次方程.试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根. 24. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，点E是AC上的点，AB＝6，AC＝9，若△AED∽△ABC，求AE的长． 25. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k为正整数时，求此时方程的根． 26. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 27. 已知关于的方程. (1)用含的代数式表示这个方程的实数根. (2)若的两边恰好是这个方程的两根，另一边长，求的值. 28. 如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B匀速运动，点Q以的速度向终点D匀速运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）当时，求四边形的面积； （2）当t为何值时，为？ （3）当___，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 第一次阶段调研试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、填空：（每小题2分，共24分） 1. 一元二次方程的根是_____________． 【答案】±2 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：∵x2=4， ∴x=±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2. 把方程化为一元二次方程的一般形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将等式右边移项即可化为一般形式. 【详解】由移项，化为一般形式得， 故答案为：. 【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，正确掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键. 3. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由可得，再将变形为，代入即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 4. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，，， 则． 故答案为：． 5. 若是关于的一元二次方程，则__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义求出m的值即可. 【详解】由题意得， ， ∴m=-2， 故答案为：-2. 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键. 6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根列不等式即可得到答案. 【详解】∵方程有两个不相等的实数根， ∴∆>0， ∴1+4m>0， ∴， 故答案为：. 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的应用，熟记一元二次方程的根的三种情况是解题的关键. 7. 请你写一个两根分别为-2和1的一元二次方程__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根利用因式分解法列方程即可. 【详解】∵一元二次方程的两根分别是-2和1， ∴列方程为（x+2）（x-1）=0， 即， 故答案为：（答案不唯一）. 【点睛】此题是一道开放性试题，正确掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键. 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的非负整数值是__________． 【答案】1、0 【解析】 【分析】由一元二次方程有实数根列不等式，即可得到答案. 【详解】∵方程有实数根， ∴∆， ∴16-12k， 解得， ∴k的非负整数值是1、0， 故答案为：1、0. 【点睛】此题考查一元二次方程的根的实际应用，解一元一次不等式，求不等式的整数解，正确掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键. 9. 已知1是一元二次方程的一个解，那么的值等于__________． 【答案】2 【解析】 【分析】将方程的解代入方程计算即可得到答案. 【详解】将x=1代入方程，得到a+b-2=0， ∴a+b=2， 故答案为：2. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，正确计算是解题的关键. 10. 已知三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件， 先利用因式分解法解方程得到或，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的范围，进而确定第三边的长即可得到答案． 【详解】解：解方程得或， ∵三角形两边的长是2和4， ∴第三边长， ∵第三边的长是方程的根， ∴第三边长为4， ∴该三角形的周长是， 故答案为：10． 11. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____________． 【答案】﹣1或﹣3． 【解析】 【详解】解：∵这个方程的两个实数根为、， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴，， ∴m=﹣1或﹣3， 故答案为﹣1或﹣3． 12. 阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数化为的一元二次方程，得． 因为为实数，所以，所以． 根据材料给你的启示，则函数的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将原函数化为的一元二次方程，再利用∆求解即可得到答案. 【详解】将原函数化为的一元二次方程，得， ∵x为实数， ∴， ∴， ∴函数的最小值是， 故答案为：. 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，正确理解材料中的解题方法和思路是解题的关键. 二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 、含有个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 14. 下面图形是相似形的为（ ） A. 所有矩形 B. 所有正方形 C. 所有菱形 D. 所有平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】A、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； B、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确． C、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； D、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误； 故选B． 【点睛】本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形． 15. 一元二次方程的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出根的判别式的值，根据判别式的值就可以判断根的情况． 【详解】解：∵在方程中，， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数；（3）⇔方程没有实数根，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 16. 设方程的两个根为α，β，那么的值等于（ ） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，因为二次项系数为：1，一次项系数为：1，常数项为：-2，所以可得出和的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵α，β是方程的两个根，，， ∴，， ∴原式＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，关键是找到一元二次方程的系数，然后根据“ ”，然后代值即可． 17. 用配方法解一元二次方程 ，下面的配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法，移项、再方程两边同时加上即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：． 18. 若实数满足方程，那么的值为（ ） A. 或4 B. 4 C. D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】设x2＋2x＝y，则原方程化为y（y−2）−8＝0，求出y，即可得出选项． 【详解】解：设x2＋2x＝y，则原方程化为y（y−2）−8＝0， 解得：y＝4或−2， 当y＝4时，x2＋2x＝4，此时方程有解， 当y＝−2时，x2＋2x＝−2，此时方程无解，舍去， 所以x2＋2x＝4． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 三．简答题．（本大题共10小题，共78分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先移项得，再利用直接开平方法求解； （2）利用配方法解方程； （3）利用公式法解方程； （4）先提公因式，利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， ∴或， ∴，． 20. 已知： (x、y、z均不为零).求的值. 【答案】3 【解析】 【分析】设x=6k，y=4k，z=3k，代入约分化简即可. 【详解】设x=6k，y=4k，z=3k，代入，得 . 【点睛】本题考查了比例的性质和分式的约分，解答本题的关键是熟练掌握比例的性质. 21. 如图，已知中，，且，，，求和的长． 【答案】，. 【解析】 【分析】利用BD＝BC﹣CD及比例式求解即可． 【详解】∵，∴． ∵AB＝6，AC＝4，BC＝5，∴，解得：CD＝2，∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是找出CD，BD及BC的关系． 22. 某村的粮食年产量，在两年内从60万千克增长到72.6万千克，问平均每年增长的百分率是多少？ 【答案】10% 【解析】 【分析】根据增长率公式计算即可得到答案. 【详解】设平均每年增长的百分率是x， 由题意得， 解得， （不合题意，舍去）， 答：平均每年增长的百分率是10%. 【点睛】此题考查增长率问题的一元二次方程的实际应用，正确掌握增长率的计算公式是解题的关键. 23. 已知关于的一元二次方程.试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根. 【答案】 证明： ∵ ∴，即 ∴无论为何实数，方程都有两个不相等实根 【解析】 【分析】表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根; 【详解】略 【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根. 24. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，点E是AC上的点，AB＝6，AC＝9，若△AED∽△ABC，求AE的长． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应变的比，进而得出的长． 【详解】解：， ， 是的中点，，， ， ， 解得：． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的比值是解题关键． 25. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k为正整数时，求此时方程的根． 【答案】（1）k＜2（2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式即可求出k的取值范围； （2）根据（1）中的k的取值范围和k为正整数得出k的值，再解方程即可． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， =8－4k >0， ∴； （2）∵k为正整数， ∴k=1， 解方程得， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程．利用一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式是解题的关键． 26. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 27. 已知关于的方程. (1)用含的代数式表示这个方程的实数根. (2)若的两边恰好是这个方程的两根，另一边长，求的值. 【答案】(1)，；(2)或. 【解析】 【分析】（1）先求出的值，然后根据一元二次方程的求根公式，列出算式，再进行计算即可； （2）分两种情况考虑：当为斜边时或当为斜边时，然后根据勾股定理列出方程，即可得出答案. 【详解】(1) ∴ ∴， (2)当为斜边时， ，(舍去) 当边长为斜边时 综上：或 【点睛】本题考查的是求根公式与勾股定理，解题的关键是根据求根公式和根据勾股定理列出关于m的方程，注意把不合题意的解舍去． 28. 如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B匀速运动，点Q以的速度向终点D匀速运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）当时，求四边形的面积； （2）当t为何值时，为？ （3）当___，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1） （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先求出，再直接用梯形的面积公式即可； （2）分当，当，两种情况过点作于点，先表示出，再用勾股定理建立方程求解即可； （3）分三种情况，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，，， ∵在矩形中，， ∴，， ，． 当时，，， ， ． 【小问2详解】 解：如图1所示，当，即，即时， 过点作于点，则四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 或(舍去)． 如图2，当，即，即时， 过点作于点，则四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， ， 或(舍去)． 综上所述：当为或时，为． 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理得， ∴，． 点，，为顶点的三角形是等腰三角形，， ①当时，即：， ， (舍去)或． ②当时，即：， ， (舍去)或． ③当时，即，， 或． 综上所述：当的值为或或或时，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，解本题的关键是用时间表示出，用方程的思想是解本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $