2.1.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

2.1.2一元二次方程的解集 及根与系数的关系 第二章 等式与不等式 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 学 习 目 标 1 2 3 通过求一元二次方程的解集，进一步熟悉集合语言，体会分类讨论思想. 理解恒等式，理解一元二次方程根与系数的关系，经历韦达定理的推导过程，提升思辨能力，体会推理论证的严谨. 会运用韦达定理解决两类问题（已知根会构造相应的一元二次方程；已知一元二次方程，会求用根表示的简单二元对称多项式的值），提高代数运算能力 课题引入 我们之前学过一元二次方程，比如 ，你知道这个方程的两个根是多少吗？” 2和3 那我们能不能不通过解方程，直接知道这两个根的和与积是多少呢？ 和是 5，积是 6 那我们能不能找到一个规律，让这个规律适用于所有的一元二次方程呢？比如，对于任意一个二次方程 ，它的两个根的和和积分别是什么？我们今天来研究一下！ 新知探究 写出下列一元二次方程的解集： 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根. 如果一个一元二次方程有两个根相等，那么这两个根叫做重根. 方程x²-2x-1=0有两个不等的根x1,2=，其解集是{,}方程x²-2x+1=0有重根x1,2=，其解集是{1}； 方程x²+x+6=0的判别式小于0，所以方程无实数解，其解集为 典例分析 例1 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解集。 解：原方程解的情况由其判别式=b²-4ac的符号决定， 当>0时，方程有两个不等的根，x1，2=，解集为。 当0时，方程有两个相等的根，x=，解集为。 当0时，方程无解，解集为 新知探究 问题1 一元二次方程的根与系数存在着怎样的关系？ 只要知道一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的系数，就立即可以知道根的情况！！ 已知a=1，b=-2，c=-1，得x1,2=，解集是{,}； 已知a=1，b=-2，c=1，得x1,2=，其解集是{1}； 已知a=1，b=1，c=6，方程无实数解，其解集为. 典例分析 例2 求证：a1=a2，b1=b2，c1=c2是等式a1x2+b1x+c1=a2x2+b2x+c2恒成立的充要条件. 证明：先证充分性． 若a1=a2，b1=b2，c1=c2，则等式a1x2+b1x+c1=a2x2+b2x+c2,自然恒成立. 再证必要性． 由于等式a1x2+b1x+c1=a2x2+b2x+c2恒成立，分别令x=0，1，-1，并代入上式，得 “恒成立”意思是无论x取何值，等式都成立. 典例分析 例2 求证：a1=a2，b1=b2，c1=c2是等式a1x2+b1x+c1=a2x2+b2x+c2恒成立的充要条件. 必要性是否可以用反证法来证明？ 这个结论可以进行推广吗？ 新知探究 问题2 已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的解集，能否确定该方程的系数呢？ 例如，(x-1)²=0和2(x-1)²=0，这两个一元二次方程的解集都是{1}，但是它们对应幂次项系数都不相等. 又如，x²+1=0和x²+x+6=0，这两个一元二次方程的解集都是，但是它们对应幂次项系数不全相等. 新知探究 问题3 已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根，能否确定该方程的系数呢？ x1=1，x2= 新知探究 问题3 已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根，能否确定该方程的系数呢？ 已知x1,x2 a,b,c之间的关系 x1=1，x2= 新知探究 已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2 探究 (x-x1)(x-x2)=0 a(x-x1)(x-x2)=0 ax2-a(x1+x2)+ax1x2=0 猜测b=a(x1+x2),c=+ax1x2 猜测x1+x2=,x1x2= 新知探究 已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2 发现 猜测x1+x2=,x1x2= 根与系数的关系 新知探究 韦达定理： 若x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2，则x1+x2=,x1x2= 典例分析 例3 证明韦达定理. 证明 因为一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根为x1、x2，所以二次三项式 ax²+bx+c可以因式分解为ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2). 由于a(x-x1)(x-x2)=ax2-a(x1+x2)+ax1x2，从而得到等式 a(x-x1)(x-x2)=ax2-a(x1+x2)+ax1x2恒成立. 由例2知，该等式两边的对应项系数相等. 因此x1+x2=,x1x2=. 求代数式的值 题型一 题型探究 小结： 已知一元二次方程，会求用根表示的简单二元对称多项式的值， 构造一元二次方程 题型二 题型探究 小结： 已知根，会构造一元二次方程. 根的分布 题型三 题型探究 根的分布 题型三 题型探究 根的分布 题型三 题型探究 根的分布 题型三 题型探究 课堂小结 根与系数的关系 韦达定理 数学运算 一元二次方程的解集 韦达定理的应用 感谢聆听! 1．已知是方程的两个不相等的实根，求值： (1) (2) (3) $$