第1章 有理数　　习题课件　 2025-2026学年青岛版（2024）数学七年级上册

1.5　有理数的大小 1．[2024·辽宁]亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表： 其中最低海拔最小的大洲是 ( )　　　　　　　　　　　　　　 A．欧洲 B．亚洲 C．非洲 D．南美洲 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m －415 －28 －156 －40 2．[2024·莱西期末]某地为加强高铁沿线环境整治，进行了巡 回检查维护，境内高铁线路呈东西走向．某天，巡护车辆从护 路联防站出发，按向东为“＋”，向西为“－”，分别行驶了 如下路程(单位：km)：－11，9，－6，－15.那么在－11，9， －6，－15四个数中，最小的数是 ( ) A．－11 B．9 C．－15 D．－6 3．[2024·西青区期末]下列各对数的大小比较中，正确的 是 ( ) 4．[2024·罗庄区二模]下列各组数中，大小关系正确的是 ( ) 5．[2024·柳州期中]在－5，－1，－3.5，－0.01，－2，－12 各数中，最大的数是 ( ) A．－0.01　 B．－1　 C．－12　 D．－5 7．(多选)[2024·云溪区期中]下列各组有理数的大小比较中， 正确的是 ( ) 8．[2024·西宁期末]比较大小：－2.6__－ . < 9．[2024·英德期末]有5张卡片，卡片正面分别写有五个数，背 面分别写有五个字母，如表所示： 将卡片正面的数由小到大排列，然后将卡片翻转使背面朝上，卡 片上的字母组成的单词是______． 正面 7的相反数 －|－12| 0 背面 a h m s t maths 10．[2024·凉州区期末]绝对值小于2 的整数是______________ _____． －2，－1，0， 1，2 11．[2024·澄城县期中]根据以下信息，完成相应的任务． a是最大的负整数；b是最小的正整数；c是负数，且数轴上表示 c的点到原点的距离为2；d的相反数是其本身．任务：求出有 理数a，b，c，d的值，并用“＞”将值连接起来． 解：由题意得a＝－1，b＝1，c＝－2，d＝0， 所以1＞0＞－1＞－2. 12．[2024·巴东县期中]如图所示，点在数轴上，则将m，n，0， －m，－n从小到大排列正确的是 ( ) A．－m＜－n＜0＜m＜n B．m＜n＜0＜－m＜－n C．－n＜－m＜0＜m＜n D．m＜n＜0＜－n＜－m 14．[2024·南开区期末]用[x]表示不大于x的整数中的最大整数， 如[2.6]＝2，[－3.2]＝－4，则[5.4]＝__，[－4.4]＝____． 5 －5 15．[2024·淅川县期中]如图所示，数轴上的点A，B，C，D表示 的数分别为－3，－1.5，2，3.5，回答下列问题： (1)将点A，B，C，D表示的数用“＜”连接起来； (2)若数轴上的点E到C点的距离为2，请直接写出E点表示的数； (3)若将原点改在C点，则点A，B，C，D所表示的数分别为多少？ 将这些数也用“＜”连接起来； (4)改变原点位置后，点A，B，C，D所表示的数的大小排列顺序 改变了吗？这说明了关于数轴的什么性质？ 解：(1)由数轴可知，－3＜－1.5＜2＜3.5； (2)因为数轴上的点E到C点的距离为2， 所以E点表示的数为2－2＝0或2＋2＝4， 所以E点表示的数为0或4； (3)原点改在C点，则点A，B，C，D所表示的数分别为－5， －3.5，0，1.5； 所以－5＜－3.5＜0＜1.5； (4)未改变，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 16．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较－ 与－ 的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大 小要涉及分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： (1)上述方法是先通过找中间量 来比较出 与 的大小， 再根据两个负数比较大小， 大的负数反而小，把这种方 法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较－ 与－ 的大小． 解：(1)上述方法是先通过找中间量 来比较出 与 的大小， 再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法 叫做借助中间量比较法；故答案为： ；绝对值； A.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－eq \f(2,3)　 B．－eq \f(1,5)＞－eq \f(1,4) C．－|－5|＜＋(－5) D．－(－5)＜eq \f(10,3) A．－eq \f(1,2)＜－eq \f(1,3)＜－eq \f(3,5) B．－eq \f(1,2)＜－eq \f(3,5)＜－eq \f(1,3) C．－eq \f(3,5)＜－eq \f(1,2)＜－eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)＜－eq \f(3,5)＜－eq \f(1,2) 6．[2024·城关区期中]已知a＝－(－2eq \f(1,3))，b＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1\f(4,5)))，c＝－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1\f(3,4)))，则a，b，c的大小关系是 ( ) A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c A．－(－eq \f(3,5))＞－eq \f(3,5) B．－(－3eq \f(3,4))＞－(＋3eq \f(3,4)) C．＋|－13|＞－(－13) D．＋(－0.1)＜0 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2\f(1,4))) eq \f(1,2) eq \f(3,4) eq \f(1,2) 13．[2024·雁塔区期中]Min(a，b)表示a，b两数中的最小者，Max(a，b)表示a，b两数中的最大者，如：Min(－4，5)＝－4，Max (－4，5)＝5.则Min[Max(－eq \f(1,3)，－1)，Min(－eq \f(3,4)，－eq \f(2,3))]＝ ( ) A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(3,4) C．－1 D．－eq \f(1,3) eq \f(99,201) eq \f(51,101) 解：因为eq \f(99,201)＜eq \f(1,2)，eq \f(51,101)＞eq \f(1,2)，所以eq \f(99,201)＜eq \f(51,101)，所以－eq \f(99,201)＞－eq \f(51,101). eq \f(99,201) eq \f(51,101) eq \f(43,126) eq \f(79,243) eq \f(1,2) eq \f(99,201) eq \f(51,101) eq \f(1,2) (2)因为eq \f(43,126)＞eq \f(1,3)，eq \f(79,243)＜eq \f(1,3)， 所以eq \f(43,126)＞eq \f(79,243)， 所以－eq \f(43,126)＜－eq \f(79,243). $$ 第2课时　绝对值 1．[2024·常州]－2024的绝对值是 ( ) 2．[2024·郓城县一模]－|－2 024|的相反数是 ( ) 3．[2024·洛阳期末]古筝是中国独特的民族乐器之一，为了 保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图 所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高， 需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最 接近标准音(指针指在0处为标准音)的是 ( ) A．－20 B．－5 C．10 D．20 4．[2024·松江区期末]已知a，b是有理数，|a|＝－a，|b|＝b， 且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是 ( ) A. B. C. D. 5．[2024·宁乡期中]一个数的绝对值是它本身，则这个数 是 ( ) A．0 B．正整数 C．正数 D．正数或0 6．如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若 点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的 点是 ( ) A．点A B．点B C．点C D．点D 7．[2024·丹江口期中]下列两个数中，互为相反数的是 ( ) A．|＋3|和－(－3) B．|－4|和|4| C．－2和－ D．＋(－2)和－(－2) 8．(多选)下列说法中，错误的是 ( ) A．一个有理数的绝对值不小于它自身 B．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等 C．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数 D．－a的绝对值等于a 9．(多选)[2024·吕梁期末]若|－a|＝ ，则a的值为 ( ) A．5 B．－5 C. D．－ 10．[2024·德惠期中]我们是这样研究一个数绝对值的性质的： 当a＞0时，如a＝6，则|a|＝|6|＝6，此时a的绝对值是它本身； 当a＝0时，|a|＝0，此时a的绝对值是零；当a＜0时，如a＝－6， 则|a|＝|－6|＝6，此时a的绝对值是它的相反数．这种分析问题 的方法所体现的数学思想是_____________． 分类讨论思想 11. [分类讨论思想][2024·洛阳期末]若|a－4|＝5，则a的值为 _______． －1或9 12．在|－7|，－|0|，－|－2|，－(－2)这4个数中负数共有__个． 1 14．[2024·合肥期中]国际乒乓球联在正式比赛中，对所使用的 乒乓球的质量有严格的标准，如表是6个乒乓球质量检测的结果 (单位：克，超过标准质量的个数记为正数). 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 －0.5 ＋0.1 ＋0.2 0 －0.08 －0.15 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识 说明； (2)若规定与标准质量误差不超过0.1 g的为优等品，超过0.1 g 但不超过0.3 g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品 和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 解：(1)四号球，|0|＝0，正好等于标准的重量， 五号球，|－0.08|＝0.08，比标准质量轻0.08克， 二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克； (2)一号球|－0.5|＝0.5不合格， 二号球|＋0.1|＝0.1，优等品， 三号球|＋0.2|＝0.2，合格品， 四号球|0|＝0，优等品， 五号球|－0.08|＝0.08，优等品， 六号球|－0.15|＝0.15，合格品． 综上所述，优等品为二、四、五号球，合格品为三、六号球， 不合格品为一号球． 15．如果一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应 点间的距离是6个单位长度，那么这个数的绝对值是 ( ) A．3 B．6 C．3或－3 D．6或－6 16．[2024·北京二模]在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别 表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO， 则a的值为 ( ) A．4 B．2 C．－2 D．－1 A．0或±1 B．±3或0 C．±3或0或±1 D．±3或±1 18．如果实际值为a，测量值为b，我们把|a－b|称为绝对误差， 称为相对误差．若有一种零件实际长度为10.0 cm，测量得 9.9 cm，则测量所产生的相对误差是_____. 0.01 19．当x＝__时，|x－2|有最小值，最小值为__． 2 0 20．阅读材料：因为|x|＝|x－0|，所以|x|的几何意义可解释为 数轴上表示数x的点与表示数0的点之间的距离．这个结论可推广 为：|x1－x2|的几何意义是数轴上表示数x1的点与表示数x2的 点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)等式|x－2|＝3的几何意义是什么？这里x的值是多少？ (2)等式|x－4|＝|x－5|的几何意义是什么？这里x的值是多少？ (3)式子|x－1|＋|x－3|的几何意义是什么？这个式子的最小值 是多少？ 解：(1)等式|x－2|＝3的几何意义为数轴上表示数x的点与表示 数2的点之间的距离等于3，这里x＝－1或5； (2)设数轴上表示数x，4，5的点分别为点P，A，B，则等式|x－ 4|＝|x－5|的几何意义是点P到点A的距离等于点P到点B的距离， 即PA＝PB，所以x＝4.5； (3)设数轴上表示数x，1，3的点分别为点P，M，N，则式子|x－ 1|＋|x－3|的几何意义是点P到点M的距离与点P到点N的距离的 和，即PM＋PN. 结合数轴可知当1≤x≤3时，式子|x－1|＋|x－3|的值最小， 最小值为2. A．2 024 B.eq \f(1,2 024) C．－2 024 D．－eq \f(1,2 024) A．2 024 B．－2 024 C．－eq \f(1,2 024) D.eq \f(1,2 024) eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))) eq \f(1,5) eq \f(1,5) 13．计算： (1)|－eq \f(1,2)|＋|－5|－|＋eq \f(1,2)|； (2)|－3eq \f(1,3)|÷|－1eq \f(1,4)|×|－1eq \f(1,2)|； (3)|－6|×(eq \f(5,6)－|－eq \f(1,2)|＋|eq \f(1,3)|)． 解：(1)|－eq \f(1,2)|＋|－5|－|＋eq \f(1,2)|＝eq \f(1,2)＋5－eq \f(1,2)＝5； (2)|－3eq \f(1,3)|÷|－1eq \f(1,4)|×|－1eq \f(1,2)| ＝eq \f(10,3)÷eq \f(5,4)×eq \f(3,2) ＝eq \f(10,3)×eq \f(4,5)×eq \f(3,2) ＝4； (3)|－6|×(eq \f(5,6)－|－eq \f(1,2)|＋|eq \f(1,3)|) ＝6×(eq \f(5,6)－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)) ＝6×eq \f(2,3) ＝4. 17．[2024·萧山区期中]若abc≠0，则eq \f(a,|a|)＋eq \f(|b|,b)＋eq \f(|c|,c)＝ ( ) eq \f(|a－b|,a) $$1.3　数轴 1．[2024·苏州]用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离 最近的是 ( )　　　　　　　　　　　　　 A．－3 B．3 C．2 D．1 2．如图，一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹 盖住的整数个数是 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．[2024·钦州二模]如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的 数可能是 ( ) A．0.5 B．－0.5 C．－1.5 D．－2.5 4．[2024·凌海期中]下列给出的数轴中正确的是 ( ) A. B. C. D. 5．[2024·临汾期中]点A为数轴上一点，若将点A向右移动3个 单位长度，再向左移动5个单位长度后到达原点，则点A表示的 数是( ) A．－2 B．2 C．5 D．－8 6．[2024·怀仁期中]第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎行． 如图是在数轴上表示出的5个城市的国际标准时间(单位：时)， 奥运会开幕式时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市 的时间是 ( ) A．北京时间7月27日3时30分 B．纽约时间7月26日14时30分 C．伦敦时间7月26日18时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 7．(多选)[2024·天山区期末改编]已知数轴上有一点A，A表示 的数为－7.5.则数轴上与A距离为10的点B表示的数为 ( ) A．2.5　 B．17.5 C．－2.5 D．－17.5 8．[2024·巫山县期末]如图，数轴上有A，B，C三点，A，B两点 表示的有理数分别是－2和8，若将该数轴从点C处折叠后，点A和 点B恰好重合，那么点C表示的有理数是__． 3 9．[2024·福州期中]如图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答 问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是 ； (2)怎样移动A，B，C的其中一个点，才能使点C恰好是线段AB的 中点？请写出三种移动的方法． 方法一： ， 方法二： ， 方法三： . 解：(1)由数轴可知A表示的数为4， 向左移动5个单位长度时表示的数为－1； 故答案为：－1； (2)当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位长度即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位长度即可． 当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位长度即可． 故答案为：将点C向右移动4个单位长度；将点B向左移动8个单位长度；将点A向左移动8个单位长度． 10．[2024·陇南期末]邮递员从邮局出发，先向西骑行3 km到达 A村，继续骑行2 km到达B村，然后向东骑行9 km到达C村，最后回 到邮局． (1)如图，请在以邮局为原点，向东为正方向，1 km为1个单位长 度的数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置； (2)C村离A村有多远？ (3)邮递员一共行驶了多少千米？ 解：(1)如图所示， (2)C村离A村的距离为3＋4＝7(km)； (3)邮递员一共行驶了3＋2＋9＋4＝18(千米)． 11．[2024·平山县期末]如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排 列的三个点，分别对应的数为－2，b，4，某同学将刻度尺如图2 放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度 1.8 cm，点C对应刻度5.4 cm.则数轴上点B所对应的数b为 ( ) A．2 B．1 C．0 D．－1 12．[2024·魏县期中]数轴上点所表示的数是整数的点称为整点， 某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为18 厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点数是 ( ) A．17个或18个 B．18个或19个 C．17个或19个 D．18个或20个 13．(多选)[2024·西安期末改编]已知A，B是数轴上的两个点， 点A表示的数在原点的左侧，距离原点5个单位长度，AB＝11，点 C到点B和原点的距离相等，则点C表示的数为 ( ) A．3 B．4 C．－8 D．－9 14．[2024·江安县期中]如图，圆的周长为4个单位长度，在该 圆的4等分点处分别标上A，B，C，D，先让圆周上表示数字A的点 与数轴上表示－1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴 上表示数2 024的点与圆周上表示字母的点重合是__． B 解析：根据题意可得， 表示A的点与－1重合，表示B的点与0重合，表示C的点与1重合， 表示D的点与2重合，圆旋转一周前进4个单位，2 024到－1的距 离为2 025， 2 025÷4＝506……1， 圆旋转506周，再旋转 周时，点B与表示数2 024的点重合， 所以表示数2 024的点与圆周上表示字母的点重合是B. 15．如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻 度尺上“1 cm”和“8 cm”分别对应数轴上的－2和x，那么x的 值为__． 5 16．如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示 数－1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题： (1)表示数－2的点与表示数__的点重合，表示数7的点与表示数 ____的点重合； (2)若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间的距离为12，且A， B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是____，点B表 示的数是__． 6 －3 －4 8 17．[2024·乐亭县期中]数轴是一个非常重要的数学工具，它 使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联 系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进 行操作探究： 操作一： (1)折叠纸面，若使1表示的点与－1表示的点重合，则－3表示的 点与______表示的点重合； 操作二： (2)折叠纸面，若使2表示的点与－6表示的点重合，回答以下问 题： ①3表示的点与______表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为16(A在B的左侧)，且A，B两点 经折叠后重合，则A，B两点表示的数分别是______； 操作三： (3)数轴上，点A，B表示的数分别是－17，7，如图，以点C为折 点，将此数轴向右对折，且AB＝2，则C点表示的数是______． 解：(1)由条件可知折点表示的点为0， 所以－3表示的点与3表示的点重合； 故答案为：3； (2)折叠纸面，若使2表示的点与－6表示的点重合，则折点表示 的数为－2， ①3表示的点与－7表示的点重合； 故答案为：－7； ②因为数轴上A，B两点之间距离为16， 所以数轴上A，B两点到折点－2的距离为8， 因为A在B的左侧，则 A，B 两点表示的数分别是－10和6； 故答案为：－10和6； (3)若AB＝2，则点A折叠之后表示的数是5或者9， 所以C点表示的数是－4或－6. 故答案为：－4或－6. eq \f(1,4) $$1.2　有理数 1．[2024·涵江区期中]下列说法正确的是 ( ) A．整数分为正整数和负整数 B．正分数、负分数统称有理数 C．零既可以是正整数，也可以是负分数 D．所有的分数都是有理数 2．[2024·重庆模拟]在 ，－4，0，－ 这四个数中，属于 负整数的是 ( )　　　　　　　　　　　　　 A．－ B. C．0 D．－4 3．[2024·长沙期末]在－2，＋3.5，0，1.010 010 001…(相 邻2个1之间0的个数逐次加1)， ，－ 中，有理数有 ( ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．[2024·西宁期末]所有整数组成整数集合，所有负数组成负 数集合，如图阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含 的有理数是 ( ) A．－ B．－3 C．0 D．5.3 5．[2024·黄石期中]下列说法正确的是 ( ) A．零是整数，又是分数 B．有理数可以分为正数和负数 C．收入200元和支出－200元是互为相反意义的量 D．若向南走8 m记作＋8 m，则向北走9 m记作－9 m 6．[2024·佳木斯期中]下列说法中，错误的有 ( ) ①－2 是负分数 ②1.5不是整数 ③非负有理数不包括0 ④正整数、负整数统称整数 ⑤0是最小的有理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．(多选)下列说法中，正确的是 ( ) A．－3.14既是负数、分数，也是有理数 B．0既不是正数，也不是负数，但是整数 C．－2 023既是负数，也是整数，但不是有理数 D．0是非正数 8．(多选)把下列各数填在相应的大括号里，填写错误的 是 ( ) ＋ ，－3.5，0，－1 ，－19，4，＋56. A．正整数集合：(0，＋56) B．分数集合：(＋ ，－1 ) C．非负数集合：(＋ ，4，＋56) D．负数集合：(－3.5，－1 ，－19) 9．[2024·广州期中]把下列各数填入相应的集合里：0.236，0.37，－ ，－ ，18，－0.021 021 021…，0. 正整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}． 解：正整数集合：{ 18…}； 负分数集合：{－0.021 021 021…，－ …}； 有理数集合：{0.236，0.37，－ ，18， －0.021 021 021…，0…)． 10．[2024·长垣期中]把下列各数填在相应的集合中： 15，－ ，0.81，－3， ，－3.1，－4，171，0，3.14，π， 1. . 正数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}． 解：正数集合：{15，0.81， ，171，3.14，π，1. …}； 负分数集合：{－ ，－3.1…}； 非负整数集合：{15，171，0…}； 有理数集合：{15，－ ，0.81，－3， ，－3.1，－4， 171，0，3.14，1. …}． 11．“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通 过自己专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿 者带领以下有理数有秩序地进行检录(填序号)： ①－ 　 ②＋0.007　 ③3 　 ④0　 ⑤0.　 ⑥10　 ⑦－44　 ⑧＋101 12.将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2 012个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 解：(1)由题意，得位置A上的数是正数； (2)由题意，得负数在箭头向下的线段的始点、箭头向右末端， 所以负数在B与D处； (3)因为这些数中的第偶数个数均为正数，且箭头方向的规律为每组4个数一组， 2 012÷4＝503， 所以第2 012个数在A的位置上． 13．[2024·丰泽区期中]【阅读理解】我们知道，有理数包括整 数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化 为分数形式(整数可看作分母为1的分数)，运用方程思想可以将 无限循环小数表示为分数形式． 根据以上阅读材料回答下列问题： 【尝试运用】(1)请利用例题的方法，把无限循环小数0. 化成 分数； 例如： (2)请把混循环小数2.0 化为分数． 解：(1)设x＝0. ，即x＝0.232 323…， 将方程两边都×100，得 100x＝23.232 323…， 即100x＝23＋0.232 323…， 因为x＝0.232 323…， 所以100x＝23＋x， 所以99x＝23， 14．[2024·济南期中]如图，一只甲虫在5×5的方格(每小格边 长为1)上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B，C，D处的其他 甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A 到B记为A→B{1，4}，从B到A记为B→A{－1，－4}，其中第一个 数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中A→C{____，____}，C→B {____，____}； (2)若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过 的路程； (3)若图中另有两个格点M，N，且M→A{1－a，b－5}，M→N{5 －a，b－2}，则A→N应记为什么？直接写出你的答案． 解：(1)图中A→C{3，4}，C→B{－2，0}． 故答案为：3，4，－2，0； (2)由已知可得A→B记为{1，4}，B→C记为{2，0}，C→D记为{1，－2}， 则该甲虫走过的路程为1＋4＋2＋0＋1＋2＝10； (3)由M→A{1－a，b－5}，M→N{5－a，b－2}， 所以点A向右走4个格点，向上走3个格点到点N， 所以A→N应记为(4，3)． eq \f(1,2) eq \f(7,3) eq \f(7,3) eq \f(1,2) eq \f(7π,5) eq \f(2,3) eq \f(24,7) eq \f(4,7) eq \f(7,9) eq \f(1,2) eq \f(7,9) eq \f(1,2) eq \f(7,9) eq \f(1,2) eq \f(π,2) eq \f(1,12) eq \f(1,12) eq \f(1,12) eq \f(1,2) eq \f(22,7) eq \o(6,\s\up6(·)) eq \f(22,7) eq \o(6,\s\up6(·)) eq \f(22,7) eq \o(6,\s\up6(·)) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(5,2 021) eq \f(2,9) eq \o(3,\s\up6(·)) 例如，化0.eq \o(3,\s\up6(·))为分数，解决方法是：设x＝0.eq \o(3,\s\up6(·))，即x＝0.333…，将方程两边都×10，得10x＝3.333…，即10x＝3＋0.333…，又因为x＝0.333…，所以10x＝3＋x，所以9x＝3，即x＝eq \f(1,3)，所以0.eq \o(3,\s\up6(·))＝eq \f(1,3). eq \o(2,\s\up6(·)) eq \o(3,\s\up6(·)) 【思维延伸】0.eq \o(3,\s\up6(·))写作0.333 3…，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1eq \o(6,\s\up6(·))，0.0eq \o(4,\s\up6(·))5 eq \o(6,\s\up6(·))，它们可分别写作0.166 6…，0.045 645 645 6…，像这样的循环小数称为混循环小数．我们在对混循环小数研究时发现，所有混循环小数都可以先化为纯循环小数，然后再化为分数． 0.1eq \o(3,\s\up6(·))＝eq \f(1,10)×1.eq \o(3,\s\up6(·))＝eq \f(1,10)×(1＋0.eq \o(3,\s\up6(·)))＝eq \f(1,10)×(1＋eq \f(3,9))＝eq \f(2,15). eq \o(5,\s\up6(·)) eq \o(0,\s\up6(·)) eq \o(2,\s\up6(·)) eq \o(3,\s\up6(·)) 所以x＝eq \f(23,99)， 所以0.eq \o(2,\s\up6(·)) eq \o(3,\s\up6(·))＝eq \f(23,99)； (2)2.0eq \o(5,\s\up6(·)) eq \o(0,\s\up6(·))＝eq \f(1,10)×20.eq \o(50,\s\up6(··))＝eq \f(1,10)×(20＋0.eq \o(50,\s\up6(··)))＝2＋eq \f(1,10)×eq \f(50,99)＝eq \f(203,99)； $$1.4　相反数与绝对值 第1课时　相反数 1．[2024·泰安]－ 的相反数是 ( ) 2．[2024·海珠区期末]下列各组数中，互为相反数的是 ( ) A．＋(＋5)与5 B．＋(－5)与－5 C．－(＋5)与－5 D．－(－5)与－5 3．[2024·象州县期中]－(－2)的相反数是 ( ) A．±2 B. C．2 D．－2 4．[2024·新化县模拟]在下列数中，相反数等于本身的数 是 ( ) A．0 B．1 C．－1 D. 5．[2024·晋江期中]下列各组数中，互为相反数的是 ( ) A．－(＋7)与＋(－7) 6．如图，在单位长度为1的数轴上，点A，C表示的两个数互为 相反数，那么点B表示的数是 ( ) A．2 B．3 C．－2 D．－3 7．如图，这是一个正方体的表面展开图，若将展开图折叠成正 方体后，相对面上所标的两个数互为相反数，则a的值为 ( ) A．－2 B．5 C．1 D．－1 8．[2024·闵行区期中]下列说法：①a的相反数是－a　②符号 相反的数互为相反数　③－[－(＋3.8)]的相反数是－3.8　④一 个数和它的相反数可能相等　⑤正数与负数互为相反数．正确 的有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．(多选)下列各数中，互为相反数的有 ( ) A．－1与＋1 B．－(－3)与＋(－3) 10．(多选)下列说法中，错误的是 ( ) A．π的相反数是－3.14 B．－ 与2.2互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D. 的相反数是3 11．填空： (1)－(－2.5)的相反数是______； (2)____是－100的相反数； (3)－5 是____的相反数； (4)____的相反数是－1.1； (5)8.2和______互为相反数； (6)a和____互为相反数； (7)_____的相反数比它本身大，__的相反数等于它本身． －2.5 100 5 1.1 －8.2 －a 负数 0 12．[2024·固原期中]化简：－[＋(－7)]＝__，－[－(－2)]＝ ____，＋[－(＋a)]＝____． 7 －2 －a 13．如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B 之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是____． －2 14．如图，这是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的 两个数互为相反数，那么x－2y＋z的值为__． 7 15．在数轴上表示下列各数：0，－2.5，－3，＋5，1 ，4.5及 它们的相反数． 解：在数轴上可表示为 16．若－a不是负数，那么a一定是 ( ) A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 17．数轴上A点表示－3，B，C两点表示的数互为相反数，且点B 到点A的距离是2，则点C表示的数应该是_____． 1或5 18．用“⇒”与“⇐”表示一种法则：(a⇒b)＝－b，(a⇐b)＝－a， 如(2⇒3)＝－3，则(2 023⇒2 018)⇐(2 023⇒2 015)＝______. 2 018 19．已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出a，b的相反数的位置； (2)若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ (3)在(2)的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相 距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 解：(1)如图， (2)数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距 离为10， 所以b表示的数是－10； (3)因为－b表示的点到原点的距离为10， 而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度， 所以a表示的点到原点的距离为5，所以a表示的数是5. 20．化简下列各式的符号，并回答问题： (1)－(－2)； (2)＋(－ )； (3)－[－(－4)]； (4)－[－(＋3.5)]； (5)－{－[－(－5)]}； (6)－{－[－(＋5)]}； 问：①当＋5前面有2 025个负号，化简后结果是多少？ ②当＋5前面有2 026个负号，化简后结果是多少？你能总结出 什么规律？ 解：(1)－(－2)＝2； ①当＋5前面有2 025个负号，化简后结果是－5； ②当＋5前面有2026个负号，化简后结果是＋5， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的 相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． eq \f(5,6) A.eq \f(6,5) B．－eq \f(6,5) C.eq \f(5,6) D．－eq \f(5,6) eq \f(1,2) eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)与－(－0.9) C．－eq \f(5,4)与eq \f(4,5) D．＋(－0.01)与－(－0.01) C．－(－eq \f(1,3))与＋(＋eq \f(1,3)) D．＋[－(＋2)]与－[＋(－2)] eq \f(11,5) eq \f(1,3) eq \f(1,5) eq \f(1,5) eq \f(1,3) eq \f(1,5) (2)＋(－eq \f(1,5))＝－eq \f(1,5)； (3)－[－(－4)]＝－4； (4)－[－(＋3.5)]＝3.5； (5)－{－[－(－5)]}＝5； (6)－{－[－(＋5)]}＝－5； $$第1章 有理数 1.1 正数和负数 1．[2023·吉林]月球表面白天的平均温度为零上126 ℃，记作 ＋126 ℃，夜间的平均温度为零下150 ℃，应记作 ( )　　　　　　　　 A．＋150 ℃ B．－150 ℃ C．＋276 ℃ D．－276 ℃ 2．[2024·葫芦岛期末]七年级一班期末数学考试的平均成绩 是88分，小欢得了95分，记作＋7分，小乐的成绩记作－3分， 则小乐得了 ( ) A．83分 B．85分 C．91分 D．92分 3．[2024·沂水县期中]小明同学的微信钱包部分账单明细如图 所示，＋5.20表示收入5.20元，下列说法正确的是 ( ) A．－4.98表示收入4.98元 B．－4.98表示支出－4.98元 C．－4.98表示支出4.98元 D．收支总和为10.18元 4．2024年，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行．巴黎、 悉尼与北京的时差如表所示(正数表示同一时刻比北京时间早的 时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数) 当北京是7月25日23时时，悉尼、巴黎的时间分别是 ( ) A．7月25日1时；7月26日6时 B．7月26日1时；7月25日16时 C．7月26日21时；7月25日16时 D．7月25日21时；7月25日16时 城市 悉尼 巴黎 时差/时 ＋2 －7 5．[2024·高碑店期中]如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明 球的直径是40 mm±0.05 mm，下列乒乓球的尺寸中，不合格的 是 ( ) A．39.92 mm B．40.01 mm C．39.99 mm D．40.05 mm 6．[2024·白云区期末]体育课上全班女生进行了50米测试，达 标成绩为10.6 s，下面是某小组8名女生的成绩记录：－0.1， ＋0.8，0，－1.6，－0.8，－0.3，＋1.5，－0.6，其中“＋” 号表示成绩大于10.6 s，“0”表示成绩等于10.6 s，“－”号 表示成绩小于10.6 s，该小组达标的女生共有__人． 6 7．[2024·五河县期末]以下数据为小明同学6次测量同一大树的 高度：11.8 m，12.7 m，11.4 m，10.9 m，12.3 m，10.5 m. (1)以11 m为标准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分， 写出小明同学6次测量数据对应的数； (2)求这6次测量的平均值． 解：(1)以11 m为标准， 用正数表示超出部分， 用负数表示不足部分， 小明同学6次测量数据对应的数为 ＋0.8 m，＋1.7 m，＋0.4 m，－0.1 m，＋1.3 m，－0.5 m； 8．聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当 天的收支情况，如表所示是她们上周各天收支情况(记收入为正， 单位：元) 星期 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 根据表格回答下列问题： (1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义； (2)把表格补充完整． 解：(1)聪聪这一行中，10表示周一收入10元， 0表示周三没有收支情况； －2表示本周结余是支出2元； (2)补充表格如表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －4 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 1 9．这是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与 固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘 三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“＋5”，此时标记线对准 的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“－2”，再逆时针旋转3个小格记 为“＋3”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“＋5，－2，＋3”． 如果一组开锁密码为“－10，＋5，－7”，那么打开锁 时标记线对准的刻度线表示的数是 ( ) A．5 B．28 C．0 D．12 10.[中华传统文化][2024·兰溪期中]如表所示，算筹是我国古 代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种．古人在个位数上划 上斜线以表示负数．如“ ”表示－723.则“ ”所表 示的数是 ( ) A.223　 B．－223　 C．263　 D．－262 11．[2024·市北区期中]如图，小李在某运动APP中设定了每天 的步数目标为8 000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数， 用负数表示少于目标步数的步数． (1)从9月2日到9月5日这四天中， 步数最多的是9月 日， 步数最少的是9月 日； (2)小李这四天走的步数一共是多少？ 解：(1)由题意可知，从9月2日到9月5日这四天中， 步数最多的是9月4日，步数最少的是9月3日． 故答案为：4，3； (2)(8 000＋650)＋(8 000－500)＋(8 000＋1 258)＋(8 000－368) ＝33 040(步)， 答：小李这四天走的步数一共是33 040步． 12．[2024·北京期末]2024年7月27日，在巴黎奥运会射击混合 团体10米气步枪金牌赛中，中国组合黄雨婷、盛李豪摘得本届奥 运会首金．其中两人最后14枪的成绩如表所示： 若以10.6环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： (1)请写出表中m，n的值； (2)黄雨婷所射14枪中，与10.6环偏差最大的那一枪的序号为 ； (3)请计算出盛李豪所射14枪的总成绩． 解：(1)n＝0.2，m＝－0.6； (2)①； (3)10.6＋10.8＋10.6＋10.6＋10.5＋10.5＋10.4＋10.6＋10.6＋10.3＋10.2＋10.4＋10.3＋10.7＝147.1(环)， 答：盛李豪所射14枪的总成绩为147.1环． (2)eq \f(11.8＋12.7＋11.4＋10.9＋12.3＋10.5,6)＝11.6(m)， 答：这6次测量的平均值为11.6 m. $$