学易金卷：八年级数学上学期第一次月考（陕西专用，北师大版2024八上：勾股定理+实数）

11 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共15分） 9. _________________ 10．___________________ 11． __________________ 12．__________________ 13.___________________ 三、（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（5分） 16. （5分） 17.（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （5分） 19.（5分） 20．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6分） 22．（6分） 23.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （7分） 25.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （12分）          请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师版2024八年级上册第一章勾股定理~第二章实数。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个实数中，是无理数的是（    ） A．1 B． C． D．0 2．下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．，， C．5，， D．9，， 3．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 5．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 7．如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C．34 D．9 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．比较大小： 2．（填“>”“<”或“=”） 10．的算术平方根是 ． 11．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ． 12．已知，则y的值是 ． 13．如图，长方形中，，，是边上一点，连接．把沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为 ． 三、解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5分）计算：． 15．（5分）计算． 16．（5分）如图，在中，，，，求的长． 17．（5分）在中，，，，求证：． 18．（5分）已知与是正数的两个平方根，求的值． 19．（5分）如图是小红购买的用来放照片的长方形相框，若这个相框的长是宽的2倍，且这个相框的面积是．求这个相框的长和宽． 20．（5分）如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为1．求边的长． 21．（6分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题，如图，即，，．通过列方程的方法求水深BC． 22．（6分）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最多只能伸长到，消防车高．救人时云梯伸长至最长，在完成从高的B处救人后，还要从高的D处救人．求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 23．（6分）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积； 24．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 25．（8分）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1）； （2）． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照（1）式化简 ； (2)参照（2）式化简 ； (3)化简：． 26．（12分）阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________； 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．          7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2025-2026 学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师版 2024 八年级上册第一章勾股定理~第二章实数。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．下列四个实数中，是无理数的是（ ） A．1 B． 3 C． 19 7  D．0 2．下列几组数中，是勾股数的一组是（ ） A．4，5，6 B．0.3， 0.4 ，0.5 C．5，12，13 D．9，15，17 3．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． a B． 2 C． 2a  D． 2 1a  4．如图，一木杆在离地面 3m 处折断，木杆顶端落在离木杆底端 4m 处．木杆折断之前的高度是（ ） A．7m B．8m C．9m D．10m 5．下列各式正确的是（ ） A． 3 8 2   B．  22 2   C．  33 7 7  D． 64 8  6．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算 术算法的推广．书中的证明方法是将 4 个边长分别为 a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形 ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知 4c  ，4 个直角三角形未覆盖区域即白色部分 的面积是 10，那么BC的长是（ ） A．5 B．6 C． 2 5 D．2 7 7．如图，在数轴上点A 表示的数为a， 90 , 1BCD CD    ，则a的值为（ ） A． 5 B． 1 5  C．1 5 D． 1 5  8．如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中 9, 6, 5AB BC BF   ．点M在棱 AB上，且 3AM  ， N是 FG的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点 N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． 106 C．34 D．9 第二部分（非选择题 共 96 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9．比较大小： 6 2．（填“>”“<”或“=”） 10． 49 81 的算术平方根是 ． 11．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正 方形边长为7cm，则正方形A 、 B、C、D的面积的和是 ． 12．已知 3 3 4y x x     ，则 y的值是 ． 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 13．如图，长方形 ABCD中， 3AB  ， 4BC  ，E是 BC边上一点，连接 AE．把 B 沿 AE折叠，使点 B落 在点B处，连接BC ．当 90CB E  时， BE 的长为 ． 三、解答题（本大题共 13 小题，满分 81 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5 分）计算： 3 8 | 3 1 | 4   ． 15．（5 分）计算 3 48 3 3 8          ． 16．（5 分）如图，在Rt ABC△ 中， 90C  ， 6AB  ， 4AC  ，求BC的长． 17．（5 分）在 ABC 中， 6AC  ， 2BC  ， 2AB  ，求证： 90ABC  ． 18．（5 分）已知5 1a  与 19a 是正数m的两个平方根，求m的值． 19．（5 分）如图是小红购买的用来放照片的长方形相框，若这个相框的长是宽的 2 倍，且这个相框的面积 是 22.88m ．求这个相框的长和宽． 20．（5 分）如图， ABC 的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为 1．求边 ,AB AC的长． 21．（6 分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数 学史上的“葭生池中”问题，如图，即 5AB  ， 1DB  ，CD CA ．通过列方程．．．的方法求水深 BC． 22．（6 分）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最 多只能伸长到  15m 15mAB CD  ，消防车高  3m 3mOE  ．救人时云梯伸长至最长，在完成从  12m 12mBE  高的 B处救人后，还要从  15m 15mDE  高的 D处救人．求这时消防车从 A处向着火的楼 房靠近的距离 AC ． 23．（6 分）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用 地的空间活化和提升．如图所示，四边形 ABCD是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园 B在 A 入口的正南方向300m处，C入口在桂花园 B的正东方向400m处，玫瑰园 D与 C入口相距1200m，玫瑰园 D与 A入口相距1300m．求某市口袋公园的面积； 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … 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之间的数量关系：________．如果将正方形改成其 他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图 2，分别以直角三角形 ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 1S 、 2S 、 3S 表示，我发现， 1S 、 2S 、 3S 之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图 1，分别以直角三角形 ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 1S 、 2S 、 3S 表示， 请写出 1S 、 2S 、 3S 之间的数量关系：________； 任务二：如图 2，分别以直角三角形 ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 1S 、 2S 、 3S 表示， 请问：任务一中 1S 、 2S 、 3S 之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图 3，四边形 ABCD的对角线互相垂直，现以四边形 ABCD的四条边为边向外作四个正方形， 面积分别为 1S 、 2S 、 3S 、 4S ，请直接写出 1S 、 2S 、 3S 、 4S 之间的数量关系． 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师版2024八年级上册第一章勾股定理~第二章实数。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个实数中，是无理数的是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：1，，0是有理数； 是无理数． 故选B． 2．下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．，， C．5，， D．9，， 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股数，解题关键是理解勾股数的定义． 根据勾股数的定义，需逐一验证各选项是否满足条件． 【详解】解：，不是勾股数，故A错误； ，，这三个数不是正整数，，，不是勾股数，故B错误； ∵， ∴5、12、13是勾股数，故C正确； ∵，， 306 ≠ 289， ∴9，，不是勾股数，故D错误， 故选：C． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查的是二次根式的定义，把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式； B、∵，∴不是二次根式； C、当时，，不是二次根式； D、∵，∴一定是二次根式． 故选：D． 4．如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 【答案】B 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．由题意得，在直角三角形中，知道两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：由题意可知，两段木杆和地面构成直角三角形，则由勾股定理得： 折断的部分长为， 故木杆折断之前的高度是． 故选： B． 5．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据平方根与立方根的性质，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A．，选项A符合题意； B．，选项B不符合题意； C．，选项C不符合题意； D．，选项D不符合题意； 故选：． 6．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理的证明方法、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 7．如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．首先利用勾股定理求出，然后得到点A表示的数． 【详解】解：在直角三角形中，根据勾股定理得， ， 则， 故点A表示的数为， 故选B． 8．如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C．34 D．9 【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了最短路径、勾股定理的应用等知识，正确理解题意是解题关键．结合题意，分三种情况讨论，然后比较即可获得答案． 【详解】解：∵长方体盒子中，且，N是的中点 ∴，， 分三种情况讨论， ①如下图， ∵， ∴； ②如下图，过点作于点， 则， ∵， ∴； ③如下图， ∵， ∴． ∵， ∴蚂蚁沿长方体表面从点爬行到点的最短距离为10． 故选：A． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．比较大小： 2．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，对于含有算术平方根的两个实数大小的比较，先比较两个被开方数的大小，则被开方数大的其算术平方根也大；或者先比较这两个数的平方，则平方大的这个数也大． 【详解】解：∵， ∴，即， 故答案为：． 10．的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵ ∴的算术平方根是， 故答案为：． 11．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ． 【答案】/49平方厘米 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理可证明，同理可得，，则． 【详解】解：如图所示，在中，由勾股定理得， 由正方形的面积计算公式可得， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 12．已知，则y的值是 ． 【答案】4 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识点，求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后确定y的值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：4． 13．如图，长方形中，，，是边上一点，连接．把沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理；由折叠得，则、、三点共线，设，则，，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：由长方形得， 由折叠得：，， ， ， 、、三点共线， ， ， 设，则，， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5分）计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据立方根、绝对值、算术平方根的定义计算，再合并即可． 【详解】解： ····················3分 ．····················5分 15．（5分）计算． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的除法，再计算二次根式的加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： 16．（5分）如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理，直接运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴．····················5分 17．（5分）在中，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形中，若两较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此只需要证明即可证明结论． 【详解】证明：，，， ∴····················3分 ， 是直角三角形，且．····················5分 18．（5分）已知与是正数的两个平方根，求的值． 【答案】的值为256 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据一个数的两平方根和为0或者这两个数都是m的同一个平方根，列出一元一次方程求出a，然后再求m即可． 本题考查了平方根的性质和平方根与被开方数的关系，解一元一次方程，掌握平方根的性质是解答本题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得，····················3分 则． 故的值为256．····················5分 19．（5分）如图是小红购买的用来放照片的长方形相框，若这个相框的长是宽的2倍，且这个相框的面积是．求这个相框的长和宽． 【答案】这个相框的长为2.4m，宽为1.2m 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，根据题意列出方程，并解出即可获解． 【详解】解：设这个相框的宽为，则长为． 根据题意，得，····················3分 （负值已舍去），． 这个相框的长为，宽为．····················5分 20．（5分）如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为1．求边的长． 【答案】， 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理解答即可． 【详解】解：由勾股定理得：，····················3分 ．····················5分 21．（6分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题，如图，即，，．通过列方程的方法求水深BC． 【答案】12 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理建立等量关系是解题的关键．设，则，在中，由勾股定理得出方程求解即可． 【详解】解：设 ， ····················2分 在中，由勾股定理得：， 即····················4分 解得，即， 答：水深为12．····················6分 22．（6分）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最多只能伸长到，消防车高．救人时云梯伸长至最长，在完成从高的B处救人后，还要从高的D处救人．求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在中，因为， 所以， 所以．····················2分 在中，因为， 所以， 所以，····················5分 所以． 故消防车从处向着火的楼房靠近的距离为．····················6分 23．（6分）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积； 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、三角形的面积等知识点，能求出是解此题的关键． 连接．根据勾股定理求得的长，从而根据勾股定理的逆定理得到，进而求得该四边形的面积． 【详解】解：连接． 由题意得， ∴． ∴．····················2分 ∵，， ∴．····················4分 这块地的面积的面积的面积 （）．····················6分 24．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴，····················2分 ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响；····················4分 （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得，····················6分 ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有．····················8分 25．（8分）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1）； （2）． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照（1）式化简 ； (2)参照（2）式化简 ； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3)1 【知识点】运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，运用平方差公式进行运算，利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义． （1）直接分母有理化； （2）将分母有理化，利用平方差公式进行运算； （3）先将各部分分母有理化，再提出，然后作加减． 【详解】（1）解： ， 故答案为：；····················2分 （2） ， 故答案为：；····················4分 （3） ．····················8分 26．（12分）阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________； 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．          【答案】任务一：；任务二：结论仍成立，理由见解析；任务三：． 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】任务一：利用勾股定理，结合正方形面积与直角三角形三边平方的对应关系，推导、、的数量关系． 任务二：先依据半圆面积公式，用直角三角形三边表示出、、，再结合勾股定理验证面积关系是否成立． 任务三：借助正方形面积与边长平方的联系，利用对角线互相垂直时，把四边形四边平方转化为直角三角形直角边平方和，推导、、、的数量关系． 此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 【详解】任务一：∵为直角三角形，如图1 ， 即 故答案为：；····················2分 任务二：结论仍成立，理由如下： 为直角三角形，如图2 ， 即····················6分 任务三：设相交于点，如图： 则均为直角三角形，由勾股定理得： 又 ∴．····················12分 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D B A D B A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．＞ 10． 11．/49平方厘米 12．4 13． 三、解答题：本大题共13小题，共81分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（5分） 【解答】解： ····················3分 ．····················5分 15．（5分） 解： 16．（5分） 解：∵，，， ∴．····················5分 17．（5分） 证明：，，， ∴····················3分 ， 是直角三角形，且．····················5分 18．（5分） 【解答】解：根据题意，得， 解得，····················3分 则． 故的值为256．····················5分 19．（5分） 【解答】解：设这个相框的宽为，则长为． 根据题意，得，····················3分 （负值已舍去），． 这个相框的长为，宽为．····················5分 20．（5分） 【解答】解：由勾股定理得：，····················3分 ．····················5分 21．（6分） 【解答】解：设 ， ····················2分 在中，由勾股定理得：， 即····················4分 解得，即， 答：水深为12．····················6分 22．（6分） 【解答】解：在中，因为， 所以， 所以．····················2分 在中，因为， 所以， 所以，····················5分 所以． 故消防车从处向着火的楼房靠近的距离为．····················6分 23．（6分） 【解答】解：连接． 由题意得， ∴． ∴．····················2分 ∵，， ∴．····················4分 这块地的面积的面积的面积 （）．····················6分 24．（8分） 【解答】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴，····················2分 ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响；····················4分 （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得，····················6分 ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有．····················8分 25.（8分） （1）解： ， 故答案为：；····················2分 （2） ， 故答案为：；····················4分 （3） ．····················8分 26.（12分） 任务一：∵为直角三角形，如图1 ， 即 故答案为：；····················2分 任务二：结论仍成立，理由如下： 为直角三角形，如图2 ， 即····················6分 任务三：设相交于点，如图： 则均为直角三角形，由勾股定理得： 又 ∴．····················12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025-2026 学年八年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 9. _________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13.___________________ 三、（本大题共 13 个小题，共 81 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.（5 分） 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 15．（5 分） 16. （5 分） 17.（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （5 分） 19.（5 分） 20．（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6 分） 22．（6 分） 23.（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （7 分） 25.（8 分） 26. （12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师版2024八年级上册第一章勾股定理~第二章实数。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列四个实数中，是无理数的是（    ） A．1 B． C． D．0 2．下列几组数中，是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．，， C．5，， D．9，， 3．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 5．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 7．如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C．34 D．9 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．比较大小： 2．（填“>”“<”或“=”） 10．的算术平方根是 ． 11．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ． 12．已知，则y的值是 ． 13．如图，长方形中，，，是边上一点，连接．把沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为 ． 三、解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5分）计算：． 15．（5分）计算． 16．（5分）如图，在中，，，，求的长． 17．（5分）在中，，，，求证：． 18．（5分）已知与是正数的两个平方根，求的值． 19．（5分）如图是小红购买的用来放照片的长方形相框，若这个相框的长是宽的2倍，且这个相框的面积是．求这个相框的长和宽． 20．（5分）如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为1．求边的长． 21．（6分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题，如图，即，，．通过列方程的方法求水深BC． 22．（6分）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最多只能伸长到，消防车高．救人时云梯伸长至最长，在完成从高的B处救人后，还要从高的D处救人．求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 23．（6分）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积； 24．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 25．（8分）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1）； （2）． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照（1）式化简 ； (2)参照（2）式化简 ； (3)化简：． 26．（12分）阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________； 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．          试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026 学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师版 2024 八年级上册第一章勾股定理~第二章实数。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．下列四个实数中，是无理数的是（ ） A．1 B． 3 C． 19 7  D．0 2．下列几组数中，是勾股数的一组是（ ） A．4，5，6 B．0.3， 0.4 ，0.5 C．5，12，13 D．9，15，17 3．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． a B． 2 C． 2a  D． 2 1a  4．如图，一木杆在离地面 3m 处折断，木杆顶端落在离木杆底端 4m 处．木杆折断之前的高度是（ ） A．7m B．8m C．9m D．10m 5．下列各式正确的是（ ） A． 3 8 2   B．  22 2   C．  33 7 7  D． 64 8  6．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算 术算法的推广．书中的证明方法是将 4 个边长分别为 a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形 ABCDE， 然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知 4c  ，4 个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是 10，那么BC的长是（ ） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 A．5 B．6 C． 2 5 D．2 7 7．如图，在数轴上点A 表示的数为a， 90 , 1BCD CD    ，则a的值为（ ） A． 5 B． 1 5  C．1 5 D． 1 5  8．如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中 9, 6, 5AB BC BF   ．点M在棱 AB上，且 3AM  ， N是 FG的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点 N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． 106 C．34 D．9 第二部分（非选择题 共 96 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9．比较大小： 6 2．（填“>”“<”或“=”） 10． 49 81 的算术平方根是 ． 11．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正 方形边长为7cm ，则正方形A 、 B、C、D的面积的和是 ． 12．已知 3 3 4y x x     ，则 y的值是 ． 3 / 7 学科网（北京）股份有限公司 13．如图，长方形 ABCD中， 3AB  ， 4BC  ，E是 BC边上一点，连接 AE．把 B 沿 AE折叠，使点 B落 在点B处，连接B C ．当 90CB E  时， BE的长为 ． 三、解答题（本大题共 13 小题，满分 81 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5 分）计算： 3 8 | 3 1| 4   ． 15．（5 分）计算 3 48 3 3 8          ． 16．（5 分）如图，在Rt ABC△ 中， 90C  ， 6AB  ， 4AC  ，求BC的长． 17．（5 分）在 ABC 中， 6AC  ， 2BC  ， 2AB  ，求证： 90ABC  ． 18．（5 分）已知5 1a  与 19a 是正数m的两个平方根，求m的值． 4 / 7 学科网（北京）股份有限公司 19．（5 分）如图是小红购买的用来放照片的长方形相框，若这个相框的长是宽的 2 倍，且这个相框的面积 是 22.88m ．求这个相框的长和宽． 20．（5 分）如图， ABC 的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为 1．求边 ,AB AC的长． 21．（6 分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数 学史上的“葭生池中”问题，如图，即 5AB  ， 1DB  ，CD CA ．通过列方程．．．的方法求水深 BC． 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 22．（6 分）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最 多只能伸长到  15m 15mAB CD  ，消防车高  3m 3mOE  ．救人时云梯伸长至最长，在完成从  12m 12mBE  高的 B处救人后，还要从  15m 15mDE  高的 D处救人．求这时消防车从 A处向着火的楼 房靠近的距离 AC． 23．（6 分）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用 地的空间活化和提升．如图所示，四边形 ABCD是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园 B在 A 入口的正南方向300m处，C入口在桂花园 B的正东方向400m处，玫瑰园 D与 C入口相距1200m，玫瑰园 D与 A入口相距1300m．求某市口袋公园的面积； 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 24．（8 分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破 坏力．如图，有一台风中心沿东西方向 AB由点 A向点 B移动，已知点 C为一海港，且点 C与直线 AB上两 点 A，B的距离CA CB、 分别为150km 200km、 ，又 250kmAB  ，以台风中心为圆心周围130km以内为受影 响区域． (1)海港 C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为20km/h，台风影响海港 C持续的时间有多长？ 25．（8 分）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如 5 3 ， 2 3 1 这样的式 子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） 5 5 3 5 3 33 3 3     ； （2）         2 2 3 1 2 3 12 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1            ． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照（1）式化简 3 5  ； (2)参照（2）式化简 2 5 3   ； (3)化简：． 1 1 1 1 3 1 5 3 7 5 9 7        7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 26．（12 分）阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题． 2024 年 9 月 6 日 星期五 天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图 1， 分别以直角三角形 ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 1S ， 2S ， 3S 表示， 则根据勾股定理，易得出 1S ， 2S ， 3S 之间的数量关系：________．如果将正方形改成其 他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图 2，分别以直角三角形 ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 1S 、 2S 、 3S 表示，我发现， 1S 、 2S 、 3S 之间有如下数量关系：________． 理由如下：… 任务一：如图 1，分别以直角三角形 ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 1S 、 2S 、 3S 表示， 请写出 1S 、 2S 、 3S 之间的数量关系：________； 任务二：如图 2，分别以直角三角形 ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 1S 、 2S 、 3S 表示， 请问：任务一中 1S 、 2S 、 3S 之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图 3，四边形 ABCD的对角线互相垂直，现以四边形 ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面 积分别为 1S 、 2S 、 3S 、 4S ，请直接写出 1S 、 2S 、 3S 、 4S 之间的数量关系． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026 学年八年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共 81 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（5 分） 16．（5 分） 17．（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5 分） 19．（5 分） 20．（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6 分） 22．（6 分） 23．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（8 分） 25．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共81分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（5分） 16．（5分） 17．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19．（5分） 20．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6分） 22．（6分） 23．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（8分） 25．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（12分）          请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$