第二章 直角三角形的边角关系（复习课件）数学鲁教版五四制九年级上册

单元复习课件 第二章 直角三角形的边角关系 鲁教版五四制·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，牢记30°、45°、60°角的三角函数值，会用计算器求一般锐角三角函数值，形成边角定量认知。 3.理解三角函数实际应用价值，在测高、距离测量等情境中，构建直角三角形模型，用三角函数解决问题；掌握测高原理与操作要点，克服情境中模型构建、数据处理难点，体会“数学建模”思想，提升知识应用与实践思维灵活性。 2. 掌握解直角三角形的概念，明晰已知元素（边、角）与求解未知元素的逻辑，能依据直角三角形的边、角条件，灵活运用三角函数、勾股定理等进行求解，准确处理边角运算中的关系，发展几何推理与运算能力 。 单元学习目标 直角三角形的边角关系 余弦(cos):邻边与斜边的比值 正弦(sin):对边与斜边的比值 30°，45°，60°角的三角函数值 正切(tan):对边与邻边的比值 锐角三角函数 sin30°= ，cos30°= ,tan30°= sin60°= ，cos60°= ,tan60°= sin45°= ，cos45°= ,tan45°=1 单元知识图谱 直角三角形的边角关系 已知条件 解题步骤 解直角三角形 实际问题 解题方法 三角函数的应用 利用三角函数测高 两边长 一边长和一锐角 利用三角函数关系求未知边长或角度 验证结果合理性 建立直角三角形模型 应用三角函数求解 测量高度、距离等 测量方法 注意事项 确保测量角度准确 考虑测量点与目标点的水平距离 利用仰角或俯角 应用正切函数计算高度 单元知识图谱 考点一、锐角三角函数 （一）正弦、余弦与正切 1．正弦：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做∠A 的_______，记作_______，即______________. 2．余弦：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，把锐角 A 的邻边b与斜边 c 的比叫做∠A 的_______，记作_______，即______________. 3．正切：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，把锐角 A 的对边 a 与邻边b 的比叫做∠A 的_______，记作_______，即______________. 正弦 sinA 余弦 cosA 正切 tanA 考点串讲 考点二、30°、45°、60°角的三角函数值 特殊角的三角函数值 考点串讲 考点三、解直角三角形 （一）已知两边解直角三角形 1．在Rt△ABC中，有三条边a，b，c和三个角∠A，∠B，∠C，∠C为直角。可得哪些边角关系？ (1)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； (2)三边之间的关系：a²+b²＝c² (3)角与边之间的关系： sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB＝ ，tanA＝ ，tanB＝ . 考点串讲 考点三、解直角三角形 2．在直角三角形中，共有五个元素，即_________和__________，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做______________. 三条边 两个锐角 解直角三角形 考点串讲 考点三、解直角三角形 （二）已知一边及一锐角解直角三角形 已知条件 解法步骤 一 直 角 边 和 一 锐 角 锐角，邻边（如∠A，b） 锐角，对边（如∠A，a） 斜边，锐角（如c，∠A） ∠B＝90°－∠A，a＝b·tanA，c＝ ∠B＝90°－∠A，b＝ ，c＝ ∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA 考点串讲 考点四、三角函数的应用 解直角三角形中问题中常见视角 1．如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做_______，视线在水平线下方的叫做_______. 仰角 俯角 考点串讲 考点四、三角函数的应用 2．从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做_______. 3．从南北方向线较近一端起到目标方向线所夹的锐角叫做______，在找方向角时，要选准______，在说方向角时要先说“_______”，后说“________”. 4．如图，坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做_____，又称_____，用i表示，_____________，其中坡面与水平面的夹角α叫做_______. 方位角 方向角 原点 南或北 东或西 坡度 坡比 坡角 考点串讲 考点五、利用三角函数测高 （一）测量倾斜角 测量倾斜角可以用测倾器。简单的测倾器由_______、_______和________组成。如下图所示： 度盘 铅锤 支杆 考点串讲 考点五、利用三角函数测高 （二）测量底部可以到达的物体的高度 所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底面之间的距离。 测量步骤：①在测点安置________； ②测量物体________相对于测点的_______； ③测量测点到物体的________距离； ④量出_________________。 测倾器 顶端 仰角 水平 测倾器的高度 考点串讲 考点五、利用三角函数测高 示意图： 物体的高度为 MN，测点为 A，过点 C 作 CE⊥MN 于点 E. 测量数据：①测得 M 的仰角∠MCN =α； ②测点 A 到物体的水平距离AN = l；③侧倾器的高度AC = a。 考点串讲 考点五、利用三角函数测高 计算关系： 由示意图知，CE=AN=l，EN=AC=a。 在Rt△CEM中，tanα= ，则ME = CEtanα=ltanα， ∴MN = ME + EN = ltanα+a，即物体的高度为ltanα+a。 考点串讲 考点五、利用三角函数测高 （三）测量底部不可以到达的物体的高度 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。 测量步骤（如下图所示，测量物体 MN 的高度）： 考点串讲 考点五、利用三角函数测高 (1)在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MCN =α； (2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A,B与N在一条直线上,且A,B之间的距离可以直接测得),测得此时M的仰角∠MDE =β; (3)量出测倾器的高度AC = BD = a,以及测点A,B之间的距离AB = b。 考点串讲 题型一、正弦余弦正切概念理解 例1：在Rt△ABC中，∠C = 90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值 （ ） A. 放大5倍 B. 缩小5倍 C. 不能确定 D. 不变 D 分析：此题考查锐角三角函数中正弦函数的概念及性质。正弦函数sin A= ，在直角三角形中，当三边按相同倍数变化时，对应边的比值不变，据此分析sin A的值变化情况 。 解：在Rt△ABC中，sin A = （BC为∠A对边，AB为斜边 ）。当三边都扩大5倍后，新的对边为5BC，新的斜边为5AB，则sin A= = ，值不变。故选：D 。 题型剖析 一抓定义：明确正弦（对边/斜边 ）、余弦（邻边/斜边 ）、正切（对边/邻边 ）在直角三角形里的比值含义. 二记特性：锐角三角函数值仅由角度定，与三角形边长无关，三边等倍变，比值不变. 题型一、正弦余弦正切概念理解 题型剖析 变式：在Rt△ABC中，∠C = 90°，各边都扩大5倍，则tan A的值（ ） A. 不变 B. 扩大5倍 C. 缩小5倍 D. 不能确定 A 题型一、正弦余弦正切概念理解 解：在Rt△ABC中，∠C = 90°，tan A= 。各边扩大5倍后， tan A= = ，值不变。故选：A 。 题型剖析 题型二、角的正弦值求解 例2：如图，在6×6正方形网格中，△ ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A =__________. 分析：本题考查锐角三角函数中正弦的概念，需构建含∠A的直角三角形，利用网格确定边的长度，再根据sin A = 计算 。 解：1.过C作CD⊥ AB于D，设小正方形边长为1。 2.数网格：CD =2，AD = 4。由勾股定理，斜边AC = ＝ = 3.根据正弦定义sin A= ，代入得sinA＝ 题型剖析 遇角正弦先找“Rt△”，网格坐标算边易；圆中巧借圆周角，等角转化好计算；证明铺垫要做好，边与角的关系明，对边斜边比一比，正弦值就轻松得 。 题型二、角的正弦值求解 题型剖析 变式：如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ） . A. B. C. D. D 解：过A作AD⊥BC交BC延长线于D。 由网格知AD = 4，CD = 3，则AC= = 5 。 sin∠ACB=\frac{AD}{AC}= ，答案选D 。 题型二、角的正弦值求解 题型剖析 题型三、角的余弦值求解 例3：在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果AB = 5，BD = 2，那么cos C =__________. 分析：此题考查直角三角形的性质及三角函数的概念，利用同角的余角相等得到∠ C =∠ABD，再通过三角函数定义求解cos C 。 解：在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，BD⊥AC，则∠ADB = ∠ABC = 90° 。 因为∠A +∠C = 90°，∠A +∠ABD = 90°，所以∠C =∠ABD 。 在Rt△ ABD中，AB = 5，BD = 2，由勾股定理得AD = = = 。 cos∠ABD = = ，又因为∠C = ∠ ABD，所以∠cos C = 题型剖析 1.明确角的余弦值定义——邻边与斜边的比值 2.掌握核心思路——构造含所求角的直角三角形（或利用角的等量转化） 。 题型三、角的余弦值求解 题型剖析 变式：在△ABC中，∠A = 90°，若tanB = 0.75，则cosC的值为（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.8 D. B 题型三、角的余弦值求解 解：因为∠A = 90°，tanB = 0.75= ，设AC = 3x，AB = 4x。 由勾股定理得BC= = 5x。 cos C= = 0.6，选B 。 题型剖析 题型四、角的正切值求解 例4：如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC = ( ) 分析：本题考查圆周角定理和三角函数的应用，利用同弧所对圆周角相等，将∠ADC转化为∠ABC，再通过网格构造直角三角形求正切值。 A 题型剖析 题型四、角的正切值求解 解：由圆周角定理，同弧所对圆周角相等，∠ADC与∠ABC同对弧AC，故∠ADC=∠ABC 。 在网格中，以A、B、C为顶点构造直角三角形，数小正方形边长：AC对应纵向4格，BC对应横向3格，即AC = 4，BC = 3 。 根据正切定义，tan∠ABC＝ ，因∠ADC =∠ABC，所以tan∠ADC = ，故选A。 题型剖析 1.明确正切值定义——对边与邻边的比值. 2.掌握核心思路——构造含所求角的直角三角形（或利用角的等量转化，如圆周角定理等实现角转移 ） . 题型四、角的正切值求解 题型剖析 变式：北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ ABE=__________． 题型四、角的正切值求解 解：连接正六边形中心O，连接OA、OB、OE，正六边形内角和为720°，每个内角为120°，中心角∠AOB =∠BOE = 60°，所以△AOB、△BOE是等边三角形。 则∠ABE = 30°，根据特殊角的三角函数值，tan30°= ，故tan∠ABE = 题型剖析 题型五、已知三角函数值求边长 例5：如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,AB = 6，sin A = ,求BC的长. 分析：本题考查锐角三角函数的定义及应用，利用正弦函数的定义（在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比值 ），在Rt△ABC中，sin A的对边是BC，斜边是AB，结合已知条件直接计算BC的长 。 题型剖析 解：在Rt△ABC中，∠C = 90°， 根据正弦函数定义，sin A = . 已知AB = 6，sin A = ， 代入得 = ， 解得BC= 2 。 所以，BC的长为2. 题型五、已知三角函数值求边长 题型剖析 1.明确三角函数定义——如正弦（对边与斜边比值）、余弦（邻边与斜边比值）等 。 2.掌握核心思路——利用三角函数定义，结合直角三角形中已知边与角的关系，建立等式直接求解边长（或通过设未知数，依据定义列方程求解 ） 。 题型五、已知三角函数值求边长 题型剖析 变式：如图，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，BE = 4，cos A = ，求菱形的周长. 题型五、已知三角函数值求边长 解：设AE = 3x， 因为cos A= ， 在Rt△ADE中，根据余弦函数的定义 cos A = ，所以AD = 5x。 根据勾股定理DE= 题型剖析 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = AD = 5x。 又∵AB = AE + BE，BE = 4，AE = 3x， ∴5x=3x + 4。 解得x = 2 . ∴AD = 5x = 5×2 = 10. ∵菱形的周长等于边长的4倍， ∴菱形ABCD的周长为4×10 = 40 。 题型五、已知三角函数值求边长 题型剖析 题型六、特殊角的三角函数值及运算 例6：计算： tan 30° ·tan 45° - 2cos 60° 分析：此题考查特殊角的三角函数值及实数的混合运算。需先明确tan 30°、tan 45°、cos 60°的具体数值，再按照先乘后减的运算顺序计算即可。 解：原式＝ ＝0 题型剖析 1.明确特殊角——30°、45°、60°，牢记其正弦、余弦、正切的对应数值 。 2.掌握核心思路——先代入特殊角的三角函数值，再按实数运算规则（先乘除后加减等 ）进行计算，实现特殊角三角函数的化简与求值 。 题型六、特殊角的三角函数值及运算 题型剖析 题型六、特殊角的三角函数值及运算 变式：计算：(-1)⁴ - 2tan 60° + ( )⁰ + 解：原式＝ ＝2 题型剖析 题型七、三角函数值大小比较与锐角范围判断 例7：如果0°<∠A < 60°，那么sin A与cos A的差（ ）. A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 不能确定 分析：此题考查锐角三角函数的增减性以及特殊角的三角函数值。需要利用正弦函数和余弦函数在0°到90°之间的变化规律，结合45°时sin A与cos A的关系来判断sin A - cos A的正负。 D 题型剖析 题型七、三角函数值大小比较与锐角范围判断 解：在0°到90°中，sin A随角度增大而增大，cos A随角度增大而减小；且sin45°=cos45°= 。 分区间判断sin A与cos A的大小： 已知0°<∠A<60°： 1、当0°<∠A<45°时，sin A<sin45°，cos A>cos45°，故sin A<cos A，sin A - cos A<0； 2、当∠ A=45°时，sin A=cos A，sin A - cos A=0； 3、当45°<∠A<60°时，sin A>sin45°，cosA<cos45°，故sinA>cosA，sin A－cos A>0。 因0°<∠A<60°包含多种情况，sin A－cos A可能正、可能负、也可能为0，无法确定符号。综上，答案选D。 题型剖析 1.明确关键依据——牢记0°到90°间，正弦（sin A随角增大而增大 ）、余弦（cos A随角增大而减小 ）函数的增减性，以及特殊角（30°、45°、60° ）的三角函数值。 2.掌握核心思路——比较大小时，利用增减性，结合特殊角值判断；判断锐角范围时，通过三角函数值与特殊角值的关系，借助增减性确定角的区间 。 题型七、三角函数值大小比较与锐角范围判断 题型剖析 题型八、解直角三角形的基本计算 例8：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则 BC 的长是（ ）. A. B.4 C. D. 解析：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，所以AC= AB，已知AB = 8，则AC = 4。 再根据勾股定理BC= = ，答案选C。 C 题型剖析 1.明确关键依据——牢记直角三角形中，勾股定理以及三角函数定义，还有特殊角（30°、45°、60° ）的三角函数值。 2.掌握核心思路——已知两边时，用勾股定理求第三边，用三角函数定义求角；已知一边一角时，用三角函数定义求其他边，或利用直角三角形两锐角互余（∠A + ∠B = 90° ）求另一角 。 题型八、解直角三角形的基本计算 题型剖析 变式：在Rt△ ABC中，∠C = 90°，AB = 10，AC = ，则cos A的值为______，∠A的度数为______。 题型八、解直角三角形的基本计算 根据余弦的定义，在直角三角形中，cos A= ，在Rt△ABC中，∠A的邻边是AC，斜边是AB，已知AB=10，AC = ，所以cosA＝ 。 因为cos A= ，且0°<∠A<90°（直角三角形锐角），所以∠A = 30° 。 30° 题型剖析 题型九、构造直角三角形解几何问题 例9：如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B，C，测得∠α= 30°，∠β= 45°，量得BC的长为200米，求河的宽度（结果保留根号）。 解：过A作AD⊥BC交BC延长线于D，设河宽AD = x米。 在Rt△ADC中，∠β 45°，则CD = AD = x. 在Rt△ADB中，∠α= 30°，BD = BC + CD = 200 + x， 且tanα= ，即tan30°= ， ， 解得x = 所以河的宽度为 米。 题型剖析 1.明确关键依据——牢记直角三角形判定（勾股定理逆定理 ）、勾股定理、三角函数定义，特殊角（30°、45°、60°）三角函数值，及两锐角互余性质 。 2.掌握核心思路——遇非直角三角形几何问题，通过作高、平移等构造直角三角形，把已知边、角纳入其中，用勾股定理算边，借三角函数、互余关系推角，或结合函数性质解最值 。 题型九、构造直角三角形解几何问题 题型剖析 变式：在△ ABC中，∠C = 30°，AC =12，sinB＝ ，求BC的长。 题型九、构造直角三角形解几何问题 解：过A作AD⊥BC于D。 在Rt△ADC中，∠C = 30°，AC = 12，则AD= = 6，CD= 在Rt△ABD中，sin B= ，AD = 6， 所以AB = 10，BD= 8 。 BC = BD + CD = 8 + 。 综上，BC的长为8 + 。 题型剖析 题型十、网格与坐标系中的三角函数问题 例10：如图所示的正方形网格中有α，则 tanα的值为________. 1.构造直角三角形： 在正方形网格中，过∠α的一边上的格点作另一边的垂线，构造出一个包含∠α的直角三角形。 2.确定直角边长度： 设每个小正方形的边长为1。∠α的对边（垂直方向）长度为1，邻边（水平方向）长度为2。 3.根据正切定义计算： 根据三角函数中正切的定义，在直角三角形中， 已知对边长度为1，邻边长度为2，所以tanα＝ 题型剖析 1.明确关键依据——牢记网格中线段长度可通过勾股定理（水平、竖直格数为直角边，求斜边）计算，坐标系中坐标与线段长度关系（横坐标差、纵坐标差为直角边，用勾股定理算距离 ），三角函数定义，特殊角三角函数值。 2.掌握核心思路——遇网格或坐标系中三角函数问题，利用网格线/坐标轴构造直角三角形，通过坐标差、格数算直角边与斜边长度，再依据三角函数定义求对应角的三角函数值；若涉及特殊角，结合特殊角三角函数值反向推导角或边的关系 。 题型十、网格与坐标系中的三角函数问题 题型剖析 变式：如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 cos∠BAC 的值为________. 题型十、网格与坐标系中的三角函数问题 解：过C作CD⊥AB于D。 由网格可知，AB = 4 利用勾股定理，AC = 5 AD＝3 根据余弦定义cos∠BAC= 把AD = 3，AC = 5代入， 得cos∠ BAC= 题型剖析 题型十一、仰角与俯角问题 例11：如图，在高楼（AB）前D 点处测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60m到达C 点处，又测得楼顶的仰角为 45°，则该高楼的高度大约为 （ =1. 73）（ ） A. 82 m B. 163 m C. 52 m D. 30 m 解：设高楼高度AB = x米。 在Rt△ABC中，∠ACB = 45°，所以BC=AB=x米。 在Rt△ABD中，∠ADB = 30°，BD = BC + CD=(x + 60)米，由tan30°= ， 即 解得：x≈82，故选A. A 题型剖析 1.明确关键依据——牢记仰角、俯角定义（视线与水平线夹角），三角函数定义、特殊角函数值，及直角三角形边、角关系（勾股定理、两锐角互余 ）。 2.掌握核心思路——遇仰角/俯角问题，作水平线 + 竖直线构造直角三角形，将仰角/俯角纳入三角形内角，把水平距离、竖直高度等设为边，用三角函数列方程求解；涉及特殊角，直接用特殊角函数值算边、角 。 题型十一、仰角与俯角问题 题型剖析 变式：如图，，无人机在距离地面（直线AB）高度为100米的空中C点处测得地面A，B 两点俯角分别为60°，45°，则A，B两点之间的距离是__________米.（结果保留根号） 题型十一、仰角与俯角问题 解：过C作CD⊥ AB于D，则CD＝ 米。 在Rt△ACD中，∠A = 60°，tan60°= ，AD=100米。 在Rt△BCD中，∠B = 45°，BD = CD = 米。 AB = AD + BD = 100 + 米 。 100 + 题型剖析 题型十二、方位角问题 例12：如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10km到B处，再从B处向正西方向行驶20km 到C处，这时这艘船与点A的距离为 （ ） A. 15 km B. 10 km C. km D. km 解：过A作AD⊥ BC于D。在Rt△ABD中，∠BAD = 30°，AB = 10，则BD = 5，AD = BC = 20，所以CD = 20 - 5 = 15 。 在Rt△ACD中，由勾股定理AC= 选C 。 C 题型剖析 1.明确关键依据——牢记方位角定义（以正北/正南为基准的方向角），三角函数定义、特殊角函数值，及直角三角形边、角关系（勾股定理、两锐角互余 ）。 2.掌握核心思路——遇方位角问题，作正方向线（北/南/东/西）构造直角三角形，把方位角转为三角形内角，相关线段设为边，用三角函数列方程求解；涉特殊角，直接用其函数值算边、角 。 题型十二、方位角问题 题型剖析 变式：丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点 P处观看200m 直道竞速赛.如图所示，赛道AB 为东西方向，赛道起点 A 位于点P的北偏西30°方向上，终点 B 位于点P的北偏东60°方向上，AB=200 m，则点P到赛道AB 的距离约为_________m（结果保留整数，参考数据： ≈ 1.732） 解：过C作CD⊥ AB于D，则CD＝ 米。 在Rt△ACD中，∠A = 60°，tan60°= ，AD=100米。 在Rt△BCD中，∠B = 45°，BD = CD = 米。 AB = AD + BD = 100 + 米 。 题型十二、方位角问题 题型剖析 解：设点P到AB的距离为h，∠APH = 30°，∠BPH = 60°（H为垂足 ）。 则AH = htan30°，BH = htan60° 。 因为AH + BH = 200，即 ， 解得 题型十二、方位角问题 题型剖析 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2AC，分别求 sinB,cosB，tanB 的值. 解： 设AC = x，因为BC = 2AC，所以BC = 2x。 在Rt△ABC中，∠C = 90°，根据勾股定理AB²=AC²+BC²，可得：AB＝ 所以sinB＝ cosB＝ tanB＝ 针对训练 2．计算：3 sin60°－2cos30°＋tan60° 解： 原式＝3× －2× ＋ ＝ 针对训练 3．已知：如图，在ABC中，∠B=45°，∠C= 60°，AB=60 求BC 的长（结果保留根号）。 解： 过A作AD垂直 BC于D。 在Rt△ ABD中，∠B = 45°，AB = 6，则AD = BD＝ABcos45°＝ 在Rt△ACD中，∠C = 60°，AD = ，由tan60°= ， 得CD= BC = BD + CD = + 。 综上，BC的长为 ＋ 针对训练 4．如图,为测量某建筑物的高度AB,在离该建筑物底部24m的点C处,目测建筑物顶端A处,视线与水平夹角∠ADE为39°,目高CD为1.5m,求建筑物的高度AB(结果精确到0.1m;参考数据:sin 39°≈0.63， cos 39°≈0. 78,tan 39°≈0.81). 针对训练 解：由题意知四边形BCDE是矩形， 所以DE = BC = 24m，BE = CD = 1.5m。 在Rt△ADE中， 已知∠ADE = 39°，DE = 24m，tan39°≈0.81， 则AE = DE×tan39°≈24×0.81 = 19.44m。 建筑物高度AB = AE + BE = 19.44 + 1.5≈20.9m. 题型十二、方位角问题 题型剖析 5．科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行.如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离. 针对训练 解：过B作BD⊥AC于D。 在Rt△ABD中，∠BAD = 60°，AB = 4千米， 所以BD = AB×sin60°= 千米 。 在Rt△BCD中，∠C = 45°，sin C= ， BC= 千米 题型十二、方位角问题 题型剖析 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. ✅ 知识构建：直角三角形的边角关系 锐角三角函数概念→正弦、余弦、正切定义→特殊角三角函数值→解直角三角形（边、角计算）→实际应用（仰角、俯角、方位角等问题） 课堂总结 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. ✅ 思想方法： 构造直角三角形、转化与化归（非直角三角形转直角三角形）、数学结合（数与形结合）、分类讨论（涉及多种情况分析）、类比迁移（与直角三角形性质类比）、函数思想（用三角函数表示关系） 课堂总结 感谢聆听! $$