24.2.2 第3课时 切线长定理与内切圆-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(人教版)

24.2.2 　直线和圆的位置关系 第3课时　切线长定理与内切圆 1 目 录 练基础 练素养 练提升 2 练基础 知识点1　切线长定理 1. 平面内，⊙O的半径为2，PO=3，过点P可作⊙O的切线 （　　） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 C 【变式】平面内，⊙O的半径为2， PO=2，则过点P可作⊙O的________条切线. 1 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 2. （湖南益阳中考）如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为 A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不 一定成立的是 （　　） A. PA=PB　　　　B. ∠BPD=∠APD　　　　C. AB⊥PD　　　　D. AB平分PD D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 4 3. （福建泉州南安一模）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于________. 1 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 5 4. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD. 若∠ACD=48°，则∠DBA=________°. 66 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 6 5. （福建泉州校级模拟）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D 在⊙O上. 若∠P=102°，则∠A+∠C=________. 219° 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 7 6.（贵州兴义期末）已知△ABC的内心为P，则下列说法错误的是 （　　） A. PA=PB=PC B. P在△ABC的内部 C. P为△ABC三个内角平分线的交点 D. P到三边距离相等 A 知识点2　三角形的内切圆 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 8 7.（广东广州天河阶段练习）如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若∠DEF=55°，则∠A的度数是 （　　） A. 35°　　　　B. 55°　　　　C. 70°　　　　D. 125° C 8.（教材P100第2题改编）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形 内切圆的半径为 （　　） A. 4　　　　　B. 3　　　　　C. 2　　　　　D. 1 D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 9 9.（教材P100第1题改编）如图，点I是△ABC的内心，若∠I=116°， 则∠A等于 （　　） 50°　　　　　　　　　　　B. 52° C. 54°　　　　　　　　　　 D. 56° B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 10. 如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°.若AC=12 cm，BC=9 cm，求⊙O的半径r. 解：如图，连接OD，OF. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB===15（cm）. ∵⊙O是Rt△ABC的内切圆， ∴∠ODC=∠OFC=∠C=90°，OD=OF，∴四边形OFCD是正方形， ∴CD=OD=r.由切线长定理，得AD=AE，CD=CF，BE=BF， ∴CD=CF= = = =3（cm）， 即⊙O的半径r为3 cm. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 11. 如图，PA，PB，CD分别切⊙O于A，B，E，CD交PA，PB于C，D两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE的度数为 （　　） A. 50°　　　　　B. 62°　　　　　C. 66°　　　　　D. 70° D 【解析】由切线长定理，可知CE=CA，DE=DB，∴∠CEA= ∠PAE，∠DEB=∠PBE，∴∠PCD=∠PAE+∠CEA=2∠PAE，∠PDC=∠DEB+∠PBE=2∠PBE，∴∠PAE=∠PCD，∠PBE=∠PDC.∵∠P=40°，∴∠PAE+∠PBE=∠PCD+∠PDC=（∠PCD+∠PDC）=（180°-∠P）=70°. 练提升 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 12.（河北保定高阳期末）如图， △ABC是一张周长为17 cm的三角形的纸片，BC=5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为 （　　） A. 12 cm　　B. 7 cm　　C. 6 cm　　D. 随直线MN的变化而变化 B 【解析】如图，设D，E，F，G均是⊙O的切点， ∵⊙O是△ABC的内切圆，BC=5 cm， ∴BD+CE=BG+CG=BC=5 cm，则AD+AE=17-2BC=7（cm）， 易知DM=MF，FN=EN，∴AM+AN+MN=AD+AE=7（cm）. D F E G 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 13. （天津南开期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF=2，AF=3，则△ABC的面积是________. 6 【解析】连接DO，EO，如图. ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=2，AE=AF=3， 又∵∠C=90°，∴四边形OECD是正方形，设EC=CD=x， 在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，故（x+2）2+（x+3）2=52， 解得x=1（负值舍去），∴BC=3，AC=4，∴S△ABC=×3×4=6. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 14. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，BC为⊙O的直径，OP交⊙O于点E，交AB于点F. 求证： （1）AC⫽OP； 证明：∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO，∴PO⊥AB，∴∠AFP=90°. ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC=90°， ∴∠BAC=∠AFP，∴AC⫽OP. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 证明：如图，连接BE. ∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBO=90°，∴∠PBE+∠OBE=90°. ∵PF⊥AB，∴∠EBF+∠BEF=90°， ∵OB=OE，∴∠BEF=∠OBE.∴∠PBE=∠EBF，∴BE平分∠PBF. ∵PA，PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB. ∴点E是△ABP的内心. （2）点E是△ABP的内心. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 15. 如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G， 且AB⫽CD，OB=6 cm，OC=8 cm.求： （1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径. 解：（1）根据切线长定理，得BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG.∵AB⫽CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°. （2）由（1）知，∠BOC=90°，∵OB=6 cm，OC=8 cm， ∴BC==10 cm，∴BE+CG=BF+CF=BC=10 cm. （3）如图，连接OF. ∵OF⊥BC，∠BOC=90°， ∴S△BOC =OF⋅BC=OB⋅OC，∴OF=4.8 cm. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 16. （新情境 数学文化） 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何.” 其意思是：今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是________步. 练素养 6 【解析】如图，设三角形为△ABC，∠C=90°，AC=8，BC=15， ∴AB===17. 设内切圆的半径为r， 则S△ABC=（AB+BC+CA）·r，∴AC·BC=（AB+BC+CA）·r， 即×8×15=×（8+15+17）·r，解得r=3， ∴内切圆的直径是6步. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 17. （新趋势 动点探究题） 如图，把Rt△OAB置于平面直角 坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0）， 点P是Rt△OAB内切圆的圆心. 将Rt△OAB沿x轴的正方向作 无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，第99次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P99的坐标是________. （397，1） 【解析】 ∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），∴OA=4，OB=3， ∴AB==5，∴Rt△OAB内切圆的半径= （3+4-5）=1，∴P的坐标为（1，1）.∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合， ∴可得P1（5，1），P2（11，1），P3（13，1），∴每滚动3次一个循环，每个循环圆心前进4+6+2=12.∵99÷3=33，∴第99次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P99的横坐标是33×12+1=397，即P99的横坐标是397，∴P99的坐标是（397，1）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 16 12 17 13 15 14 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$