24.1.2 垂直于弦的直径-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(人教版)

24.1.2 　垂直于弦的直径 1 练基础 练提升 目 录 练素养 微专题 2 练基础 知识点1 圆的对称性 1. 下列说法中，不正确的是 （　　） A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴 D 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 3 2. （黑龙江大庆杜尔伯特期末）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB，垂足为点E，则下列结论中不一定成立的是 （　　） A. = B. = C. OE=BE D. CE=DE C 知识点2 垂径定理 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 4 3. （四川凉山州中考） 点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为 （　　） A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm B 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 5 4. （教材P83第2题改编）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，DE=2，AB=8，则⊙O的半径为 （　　） A. 5 B. 8 C. 3 D. 10 A 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 6 5. 如图，AB是⊙O的直径，且AB平分弦CD，若∠COD=80°，则∠OCD=________°，∠BOD=________°. 50 40 知识点3 垂径定理的推论 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 7 6. 如图，在⊙O中，已知弦AB长为16 cm，C为的中点，OC交AB于点M， 且OM∶MC=3∶2，则CM的长为________. 4 cm 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 8 7. （新情境 传统文化）如图1，筒车是我国一种古老而传统的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产. 如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8 m，半径为5 m，则圆心O到水面AB的距离是________m. 3 知识点4 垂径定理的应用 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 9 练提升 8. （广西河池环江期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，P为弦AB上的动点，则线段OP长的取值范围是 （　　） A. 3<OP<5 B. 3≤OP≤5 C. 4<OP<5 D. 4≤OP≤5 【解析】如图，过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接OB， 则AH=HB=AB=4， 在Rt△OBH中， OH===3， ∴线段OP长的取值范围是3≤OP≤5. B H 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 10 9. 如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6，EB=2，∠CEA=30°， 则弦CD的长为 （　　） A. 8　 　B. 4　 　C. 2 D. 2 【解析】如图，过点O作OM⊥CD，垂足为M，连接OC， 则CD=2CM. ∵AE=6，EB=2，∴AB=8， ∴OC=OB=4，∴OE=4-2=2. ∵∠CEA=30°，∴OM=OE=×2=1， ∴CM===，∴CD=2. C M 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 11 10. （原创题 生产生活）川藏公路东起成都，西止拉萨，沿途翻过 数座险峻高山，景色壮丽. 如图，公路的某转弯处是一段圆弧（）， 点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB=60°，点C是的中点，点D是 AB的中点，且CD=5 m，则这段弯路所在圆的半径为 （　　） A. （20-10） m B. 20 m C. 30 m D. （20+10） m D 【解析】连接OD，如图.∵点O是这段弧所在圆的圆心，∴OA=OB. ∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∵D是AB的中点， ∴OD⊥AB. 设AB=OB=OA=r，则AD=DB= r，∴在Rt△AOD中，OD= r.∵点C是的中点， ∴OC⊥AB，∴C，D，O三点共线，∴OD+CD=OC，∴r+5=r，解得r=20+10， ∴这段弯路所在圆的半径为（20+10）m. 故选D. 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 12 11.（易错题）已知半径为10的⊙O中，AB，CD是⊙O的两条互相平行的弦. 若AB=8，CD=10，则AB，CD之间的距离为_______________________. 【解析】如图1，当AB与CD在圆心O异侧时，过O点作OE⊥AB，垂足为点E， 延长EO交CD于点F，连接OA，OC.∵AB⫽CD，∴OF⊥CD，∴AE=BE= AB=4，CF=DF=CD=5.在Rt△OAE中，OE===2， 在Rt△OCF中，OF===5，∴EF=OE+OF=2+5； 如图2，当AB与CD在圆心O同侧时，同理可得EF=OE-OF=2-5. 综上所述，AB，CD之间的距离为2+5或2-5. 反思：本题易错点是_______________________________________________________. 2+5或2-5 AB与CD可能在圆心同侧，也可能在圆心异侧，需分情况讨论 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 13 12.（浙江宁波鄞州阶段练习）如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12 m，宽AB为3 m，隧道的顶端E（圆弧AED的中点）高出道路（BC）7 m. （1）求圆弧AED所在圆的半径； 解：设圆心为点O，半径为R，连接OE交AD于F点， 连接OA，OD，如图. 由题意，得EF=7-3=4（m），∴OF=（R-4） m. 由垂径定理，得OF垂直平分AD，∴AF=6 m， 由勾股定理，得AF2+OF2=OA2，即62+（R-4）2=R2，解得R=6.5， ∴圆弧AED所在圆的半径为6.5 m. O F 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 （2）如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5 m，宽2.3 m， 问这辆货运卡车能否通过该隧道. 解：能通过，但要小心. 如图，在上取H，过H作GH⊥OE，垂足为点G，且GH=2.3 m， 圆的半径OH=6.5 m，由勾股定理，得OG=≈6.1（m）， G点与BC的距离为7-6.5+6.1=6.6（m）， 6.6>6.5，故能通过. O H G F 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 13.（新情境 数学文化）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积=（弦×矢+矢2）. 弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. 现已知弦AB=8 m，半径等于5 m的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为________m2. 【解析】∵弦AB=8 m，半径OC⊥弦AB， ∴AD=4 m，∴OD==3 m，∴CD=OC-OD=2 m， ∴弧田面积=（弦×矢+矢2）=×（8×2+22）=10（m2）. 10 练素养 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 16 微专题6　垂径定理与勾股定理的综合应用 类型1 直接应用勾股定理进行计算 1. 在⊙O中，直径AB=15，弦DE⊥AB，垂足为点C，若OC∶OB=3∶5，则DE的长为 （　　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【解析】如图，连接OD. ∵直径AB=15，∴DO=BO=7.5. ∵OC∶OB=3∶5，∴CO=4.5， ∴DC==6，∴DE=2DC=12. C 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 17 类型2 根据勾股定理列方程进行计算 2.（江苏南京秦淮期中）如图，在⊙O中，直径EF与弦CD相交于点M，F为的中点. 若CD=2，EM=5，则⊙O的半径长为 （　　） A. 4 B. 3 C. D. 【解析】如图，连接OC，设OC=OE=OF=r. ∵F为的中点，EF是直径，∴EF⊥CD，∴CM=MD=1. 在Rt△COM中，∵OC2=OM2+CM2，∴r2=12+（5-r）2，∴r=. C 目 录 导 航 微专题6 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 18 绿卡图书—走向成功的通行证 19 $$