22.3 实际问题与二次函数-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(人教版)

22.3 实际问题与二次函数 1 练基础 练素养 目 录 2 1. （原创题 五育文化）实心球是中考体育考试项目之一，讲究力量性和动作速度. 我们发现，实心球在空中运行的轨迹可以近似看成是抛物线. 已知某实心球运动的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是y=，则此实心球在运动过程中距离地面的高度最大为________m. 【解析】由题意，得 a=，b=，c=，所以 =3， 即此实心球在运动过程中距离地面的高度最大为3 m. 3 练基础 知识点1 二次函数的最值 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 3 2. （湖北恩施州巴东期中）用一根长60 cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大 面积为（ ） A. 125 cm2 B. 225 cm2 C. 200 cm2 D. 250 cm2 【解析】设矩形的长为x cm，则宽为 cm，∴矩形的面积S== -x2+30x，∵a=-1<0，∴S最大值= =225，故矩形的最大面积是225 cm2. B 知识点2 几何图形面积问题 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 4 3. （原创题 生产生活）接种疫苗后，极少数人可能会出现急性过敏反 应、晕厥等情况，因此接种者须在接种单位指定区域留观半小时. 如图，某医院用一段长为50 m的警示带围出一个一边靠墙的矩形封 闭区域作为疫苗接种观察区，已知墙长为 25 m（靠墙面无需使用警 示带），则能围出的最大面积为 （ ） A. 312 m2 B. 312.5 m2 C. 25 m2 D. 625 m2 【解析】设矩形的面积为 y m2，AD 长为 x m，则 DC 长为（50-2x）m，根 据 题 意 ，得 y=x（50-2x）=-2x2+50x=-2+ ，∵-2<0，∴当 x= 时，y 最大，最大值为 . 此时DC=25 m，符合题意，即能围出的最大面积为312.5 m2. B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 5 4. （教材P52第6题改编）如图，从长宽比为2∶1的矩形ABCD的较短边AD上找一点E， 过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面 积之和最小时，点E应选在 . 【解析】设 AD=1，DC=2，AE=x，则 DE=1-x. 设剪下的两个正方形的面积之和为y， 则y=AE2+DE2=x2+（1-x）2=2+ . 当x= 时，y取得最小值. 即点E应选在AD的中点. AD的中点 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 6 5. （广东揭阳普宁期末）用长 12 m 的铝合金条制成矩形窗框（如图所示），那么 这个窗户的最大透光面积是 （中间横框所占的面积忽略不计）. 【解析】设窗框的高度为x m，则宽为m， 由矩形面积公式，得其面积 S= ·x=- x2+4x=-（x-3）2+6， ∴当x=3时，S最大值为6，即最大透光面积为6 m2 . 6 m2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 7 6. （山西吕梁柳林期中）某种商品每天的销售利润y（单位：元）与单价x （单位：元）之间的函数关系式为y=-0.1（x-3）2+25，则这种商品每天 的最大利润为 （ ） A. 0.1元 B. 3元 C. 25元 D. 75元 【解析】∵-0.1<0，∴当x=3时，y有最大值，最大值为25，故选C. 知识点3 销售中的利润问题 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 8 7.（新情境 生产生活）“一人一盔安全守规，一人一带平安常在！”某商店销售一批 头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶. 在“创建文明城市”期间，计划将头盔 降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶. 已知头盔的进价为每顶 50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 （ ） A. 60元 B. 65元 C. 70元 D. 75元 【解析】设每顶头盔降价x元，利润为w元，由题意可得， w=（80-x-50）（200+20x）=-20（x-10）2+8 000， ∴当x=10时，w取得最大值，此时80-x=70， 即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，故选C. C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 9 8.（山东淄博沂源期中）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人的费用为800 元. 旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的费用就 降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是 （ ） A. 56 B. 55 C. 54 D. 53 【解析】设一个旅游团的人数是 x，旅行社的营业额为 y 元， 依题意得 y=x［800-10（x-30）］=-10x2+1100x=-10（x-55）2+30250， 故当一个旅游团的人数是55时，这个旅行社可以获得最大营业额. B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 10 9.（教材P51第2题改编）商店销售一种进价为20元/个的帽子，经调查发现，该种帽 子每天的销售量w（单位：个）与销售单价x（单位：元）满足 w=-2x+80（20 ≤x≤ 40），设销售这种帽子每天的利润为y（单位：元），则y与x之间的函数关系式为 （20≤x≤40）；当销售单价定为________元时，每天的利润最大. 【解析】由题意，得 y=w（x-20）=（-2x+80）（x-20）=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200. ∵20≤x≤40，a=-2<0，∴当x=30时，y有最大值， 即当销售单价定为30元时，每天的利润最大. y=-2x2+120x-1600 30 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 11 10.（新情境 传统文化）中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征，如图所 示，拱桥的形状是抛物线，其函数解析式为 y=-x2，当水面离桥顶的距离为 m 时，水面的宽度为 （ ） A. 8 m B. 9 m C. 10 m D. 11 m 【解析】：将y=- 代入y=- x2，得- =- x2，解得x1=5，x2=-5， ∴水面宽度=5-（-5）=10（m）. 故选C. C 知识点4 生活中的抛物线形问题 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 12 11. （甘肃张掖甘州期末）某涵洞是抛物线形，截面如图所示，现测得水面宽AB= 1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物 线的函数解析式是 . 【解析】设函数解析式为 y=ax2，由题意，得 A点坐标为（-0.8，-2.4）， 代入y=ax2，得-2.4=a×（-0.8）2，即a=- ，故y= - x2 . y= - x2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 13 12.（原创题 五育文化）2022 年，中国女足逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军. 足球运动员将 足球沿与地面成一定角度的方向踢出，不考虑空气阻力，足球飞行的路线是一条抛物线，足球 距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s）之间的关系如下表所示. 有下列结论：①足球飞行路线的对称轴是t=20；②足球10 s时落地；③足球飞行的最大高度超过 20 m；④足球被踢出4～7 s时，飞行的高度逐渐下降. 其中正确的是________（填序号）. 【解析】易得h=-t2+9t=- + ，∴该抛物线的对称轴是t=4.5，当t=4.5时，h取得最大值，此时h= >20，故①错误，③正确. 当h=0时，t=0或t=9，∴足球9 s时落地，故②错误.由二次函数的性质，知足球被踢出4 s～7 s时，飞行的高度先上升后下降，故④错误. 故正确的只有③. ③ 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 14 13. 如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12 m，高6 m. 车辆双向通行，若规 定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2 m的范围内行驶，并保持车辆顶部与 隧道有不少于1 m的空隙，则通过隧道的车辆的高度限制应为多少米？ 解：建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意，得 A（-6，0），B（6，0），C（0，6）. 设抛物线的解析式为y=ax2+6，把B（6，0）代入，得36a+6=0， 解得a=-，所以抛物线的解析式为y=- x2+6. 当x=4时，y=-×42+6=，-1=. 所以通过隧道的车辆的高度限制应为 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 14.（新情境 数学文化）（广东中考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形 的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角 形的三边长分别为 a，b，c，记 p=则其面积S=这个 公式也被称为海伦-秦九韶公式. 若p=5，c=4，则此三角形面积的最大值为 （ ） A. B. 4 C. 2 D. 5 【解析】∵p=，p=5，c=4，∴5= ，∴a+b=6，∴a=6-b， ∴S==， 当b=3时，S有最大值，最大值为=2. 故选C. 练素养 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 16 绿卡图书—走向成功的通行证 17 $$