浙江省杭州市西湖区弘益中学2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（5月份）

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区弘益中学七年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在日本核电站排放核废水期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘，其浓度为贝克立方米数据“”用科学记数法可表示为(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图所示易拉罐的上下底面互相平行，用吸管吸易拉罐内的饮料时，若，则(    ) A. B. C. D. 4.已知是方程的一组解，那么的值是(    ) A. B. C. D. 5.下列因式分解正确的是(    ) A. B. C. D. 6.已知，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，，分别交，于点，，连结，点是线段上的点，连结若，，则结论；；中，正确的是(    ) A. B. C. D. 8.照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片像到镜头的距离．已知，，则(    ) A. B. C. D. 9.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则的度数是(    ) A. B. C. D. 10.如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为，(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.分解因式：          ． 12.分式有意义，则的值不可能是      ． 13.已知关于，的方程组的解满足，则的值为      ． 14.如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向下折叠，点落在点处，当时， ______度 15.已知，，若，，则的值为      ． 16.实验室需要购买，，三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 盒子容量单位：升 盒子单价单位：元 其中型号盒子做促销活动：购买个及以上可一次性优惠元，现有升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个． 若购买，，三种型号的盒子的个数分别为，，，则购买总费用为      元； 若一次性购买所需盒子且购买总费用为元，则购买，，三种型号的盒子的总数为      个 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算： ； ． 18.本小题分 解下列方程组： ； ． 19.本小题分 先化简，再求值：，从，，中选择一个合适的数代入并求值． 20.本小题分 如图，，过点的直线交于点，在，之间作射线，与互余． 求证：； 作的平分线交于点，若，求的度数． 21.本小题分 如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． 用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； 若，，求的值． 22.本小题分 定义：代数式中只含有两个字母如，，若把其中的一个字母均换成另一个字母，同时另一个字母均换成这个字母，若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”如，，等 代数式，，，中，是对称式的有______． 若关于，的代数式是常数，是对称式，求常数的值． 在的条件下，若，当时，求的值． 23.本小题分 年月，中国汽车流通协会联席分会月日至日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转某新能源汽车厂接到两项都为生产辆新能源汽车的任务． 在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的倍进行，结果提前天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？ 在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案其中 甲方案：设完成生产任务所需的时间为天，计划辆按每天生产辆完成，剩下的辆按每天生产辆完成，则 ______天用，的代数式表示． 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产辆，另一半时间每天生产辆则 ______天用，的代数式表示． 在的条件下，请判断，的大小，并说明理由． 24.本小题分 如图甲所示，已知点在直线上，点，在直线上，且，平分． 判断直线与直线是否平行，并说明理由． 如图乙所示，是上一动点，的平分线交所在直线于点，设，． 当点在点右侧运动时，若，，求的度数． 当点在直线上运动时，请求出和的数量关系． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：数据“”用科学记数法可表示为； 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：． 根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：如图， 由条件可知， 故选：． 根据平行线的性质可得，进而根据对顶角相等，即可求解． 本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是关键． 4.【答案】  【解析】解：把代入方程得：， 解得：． 故选：． 先把代入方程得出，再求出方程的解即可． 本题考查了一元一次方程的解，能得出关于的方程是解此题的关键． 5.【答案】  【解析】解：、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，不是因式分解，故D不符合题意； 故选：． 【分析】利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答． 本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 6.【答案】  【解析】解：、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：． 根据分式的乘除法、分式的加减法法则分别计算判断即可． 本题考查了分式的乘除法，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：，， 又， ， ． ，故正确 ， ． ， ，故正确． 不一定等于， ，故不正确． 故选：． 由平行线的性质和垂直的定义，逐个判断得结论． 本题考查了平行线的性质及垂直的定义，由相等的角和平角的定义得到互余的角是解决本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ． 故选：． 利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含、的代数式表示． 考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 9.【答案】  【解析】解：设交于点，延长到点，延长到点， ， ， ， ， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 设交于点，延长到点，延长到点，由平行线的性质得，，推导出，由折叠得，，而，则，所以，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行线的性质、同角的补角相等、翻折变换的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：由题意得，， A.若，即，而，所以，因此选项A不符合题意； B.若，即，而，因此，即，因此选项B不符合题意； C.若，即，而，所以，因此选项C符合题意； D.若，即，而，因此，所以，即，因此选项D不符合题意． 故选：． 根据，以及逐项进行计算判断即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 11.【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案． 此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键． 12.【答案】  【解析】解：由题意，得 ， 解得， 故答案为：． 根据分母不能为零，可得答案． 本题考查了分式有意义的条件，利用分母不能为零得出不等式是解题关键． 13.【答案】  【解析】解：方程组的解为， 把，代入得， --． 故答案为：． 根据题意求出方程组方程组的解，再代入即可． 本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键． 14.【答案】  【解析】解：由折叠可知：， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 先根据已知条件求出的底数，然后根据折叠可知：，再利用平行线的性质求出，最后利用三角形内角和求出即可． 本题主要考查了三角形内角和和平行线的性质，解题关键是正确识别图形，由折叠得到哪些角相等． 15.【答案】  【解析】解：，，，， ，， ， ， ． 先根据题意得出，，再代入代数式进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 16.【答案】   【解析】解：购买费用为：元， 故答案为：； 设购买种型号盒子个，购买种型号盒子个，购买种盒子型号个， 根据题意得：， 当时，， ，，都为正整数， 方程组无解； 当时，， ，，都为正整数， 时，，， 综合所述，购买，，三种型号的盒子的个数分别，，， ， 故答案为：． 根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用； 设购买种型号盒子个，购买种型号盒子个，购买种盒子型号个，根据题意列出方程组，然后求正整数解即可． 本题考查了三元一次方程组的应用，分类讨论思想及列出方程求整数解是解题的关键． 17.【答案】；    【解析】原式 ； 原式 ． 根据多项式乘多项式法则、单项式乘多项式法则、同底数幂相乘法则和合并同类项法则进行计算即可； 先把被减数的分母分解因式，再进行通分，然后按照同分母分式相减法则进行计算，最后约分即可． 本题主要考查了整式和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、单项式乘多项式法则、同底数幂相乘法则、合并同类项法则和分式的通分与约分． 18.【答案】 解：得， 解得：， 将代入得 ， 解得：， 则原方程组的解为； ． 方程转化为， 去分母得：， 移项合并得：， 经检验，是原分式方程的解． ．  【解析】方程组利用加减消元法求出解即可； 根据解分式方程的步骤解答即可． 此题考查了解一元一次方程组及解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是关键． 19.【答案】解：原式 ， ，， 选择， 当时，原式．  【解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再结合分式有意义的条件选取使分式有意义的的值代入计算即可． 本题考查了分式的混合运算化简求值等知识，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键． 20.【答案】证明：， ， 即， ， ， ； 解：平分， ， ， ， ．  【解析】先利用平行线的性质可得，从而可得，再根据余角定义可得，然后进行计算可得，即可得证； 利用的结论和角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了余角和补角，垂线，平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 21.【答案】，．     【解析】大卧室面积是：， 阳台的面积是：． 答：大卧室的面积是，阳台的面积是． 因为， 所以， 露台面积是：， 阳台的面积是：， 因为， 所以， 即， 得：， 得． 大小卧室都是正方形，大卧室的边长是，根据正方形的面积公式：正方形的面积边长边长，代入字母表示出大卧室的面积；阳台是一个长方形，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的，阳台的宽是，阳台的长是，长方形的面积长宽，代入字母表示出代数式即可． 由，得，因为，所以，化简求出即可． 本题考查了列代数式，解决本题的关键是熟练利用长方形得到面积公式计算． 22.【答案】  【解析】解：由题知， 因为与不相同， 所以不是对称式． 因为， 所以是对称式． 因为， 所以是对称式． 因为， 所以是对称式． 故答案为：． 因为关于，的代数式是常数，是对称式， 所以， 整理得， ， 因为， 所以， 所以， 解得． 将代入等式得， ， 整理得， ， 因为， 所以， 所以． 根据“对称式”的概念，对所给代数式进行判断即可． 根据“对称式”的概念，得出关于，，的等式，据此可解决问题． 将中的值代入中的等式，再利用整体思想即可解决问题． 本题主要考查了分式的混合运算及完全平方公式，理解题中“对称式”的概念是解题的关键． 23.【答案】解：设完成第一项任务实际用了天，则若按原计划速度生产需天完成任务， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：完成第一项任务实际用了天； ，； ，理由如下： ． ，均为正数，且， ，， ， ， ．  【解析】解：见答案． 根据题意得：甲方案所需时间天； 乙方案所需时间天． 故答案为：，； 见答案． 设完成第一项任务实际用了天，则若按原计划速度生产需天完成任务，利用工作效率工作总量工作时间，结合实际的生产速度是原计划生产速度的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； 利用工作时间工作总量工作效率，结合给出的两种生产方案，即可用含，的代数式表示出，的值； 二者作差后，可得出，结合，均为正数，且，即可得出，即，进而可得出． 本题考查了分式方程的应用，分式的加减以及列代数式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，用含，的代数式表示出，的值；二者作差后，推出． 24.【答案】直线与直线平行， 平分， ， 又， ， ；   ； 点在运动过程中，和的数量关系不发生变化， 是的外角，是的外角， ，， 又平分，平分， ，， ， 即  【解析】直线与直线平行，理由： 平分， ， 又， ， ； ， ， 又平分， ， ； 点在运动过程中，和的数量关系不发生变化， 是的外角，是的外角， ，， 又平分，平分， ，， ， 即 根据平行线的判定定理解答即可； 依据，即可得到，依据平分，即可得到，根据进行计算即可； 根据是的外角，是的外角，即可得到，，再根据平分，平分，即可得出，，最后依据进行计算，即可得到 本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，解决问题的关键是利用三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$