24.4 第3课时 坡度、坡角问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(华东师大版)

2 第24章 解直角三角形 24.4　解直角三角形 第3课时　坡度、坡角问题 3 目 录 4 1. （福建泉州永春阶段练习）某斜坡的坡度x=1∶，则该斜坡的坡角为（　　） A. 75°　　　B. 60°　　　C. 45°　　　D. 30° B 础 基 练 知识点1　坡度与坡角 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 5 2. 【跨学科 物理运动】（广东深圳中考）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1 m耗能（1.025-cos α）J，若某人爬了1 000 m，该坡角为30°（如图），则他耗能（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）（　　） A. 58 J　　　B. 159 J　　　C. 1 025 J　　　D. 1 732 J B 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 6 3. 如图所示是一水库大坝的横截面的一部分，坝高h=6 m，迎水坡AB=10 m，斜坡的坡角为α，则该斜坡的坡度是　　　　. 3∶4 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 7 4. （吉林长春绿园校级期末）河堤横断面如图所示，堤高BC=10米，迎水坡AB的坡比为1∶2，则AC的长是（　　） A. 5米　　　B. 10米　　　C. 15米　　　D. 20米 知识点2　坡面距离、坡面的水平长度（或铅垂高度） D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 8 5. （一题多解）（贵州毕节中考）如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5 m，坡面AB的坡度为1∶，则AB的长度为（　　） A. 10 m B. 10 m C. 5 m D. 5 m A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 9 6. （河北邢台襄都期中）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，已知楔子斜面的倾斜角为20°，要使木桩向上移动5 cm，则 楔子沿水平方向前进（如箭头所示）了　　　　cm. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 10 7. （江苏盐城校级二模）如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=1∶2.4，李老师乘扶梯从底端A以0.5 m/s的速度用时40 s到达顶端B，则李老师上升的垂直高度BC为　　　　m. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 11 8. （教材P116练习改编）如图，某水库大坝的横截面是梯形，其迎水坡AD的坡比为4∶3，背水坡BC的坡比为1∶2，大坝的高为20 m，坝顶CD的宽为10 m.求大坝横截面的周长. 【解析】∵如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，则四边形DEFC是矩形， ∴DE=CF，DC=EF=10 m. ∵DE=20 m，DE∶AE=4∶3， ∴AE=15 m， ∴AD==25 m. ∵CF=DE=20 m，CF∶BF=1∶2， ∴BF=40 m，∴BC==20 m，∴AD+DC+BC+AB=25+10+20+15+10+40=（100+20）m. 答：大坝横截面的周长为（100+20）m. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 9. （湖北十堰中考）如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB=45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D=30°，则CD的长度约为（参考数据：≈1.414，≈1.732）（　　） A. 1.59米　　　B. 2.07米　　　C. 3.55米　　　D. 3.66米 【解析】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°， ∴AC=AB=5米. 在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠D=30°， ∴=tan 30°=，∴AD=5米， ∴CD=AD-AC=5-5≈3.66（米）. 故选D. 升 提 练 D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 10. （广东深圳校级三模）如图为“雪飞天”滑雪大跳台赛道.若点A的高AE=a米，水平赛道BC=b米，赛道AB、CD的坡角均为θ，则点D与点A的水平距离DE为（　　） A. 米 B. 米 C. （a-b）sin θ米 D. （a-b）cos θ米 B 【解析】如图，过点B作BG⊥AE，垂足为G， 过点C作CF⊥DE，垂足为F， 由题意，得CF=GE=DF·tan θ米，AG=BG·tan θ米， ∴AE=AG+GE=BG·tan θ+DF·tan θ=a米， ∴BG+DF=米， ∴DE=DF+BC+BG=米. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 11. 【新情境 生产生活】如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知AC⊥CD，坡道AB的坡比i=1∶2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米. 按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点D到AB的距离DH的值为　　 米. 2.4 【解析】如图，延长CD交AB于点E， ∵i=1∶2.4， ∴tan∠CAB==， ∴=. ∵AC=7.2米， ∴CE=3米. ∵CD=0.4米，∴DE=2.6米. 由勾股定理，得AE==7.8米，∴cos∠CAB===. 由题意，得DH⊥AB，∴∠EDH=∠CAB. ∴cos∠EDH=cos∠CAB=，∴DH=DE×cos∠EDH=2.6×=2.4（米）. E 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 12. 【新情境 生产生活】暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600 m高的山峰，由山底A处先步行300 m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°. （换乘登山缆车的时间忽略不计） （1）求登山缆车上升的高度DE； （2）若步行速度为30 m/min，登山缆车的速度为60 m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟. （结果精确到0.1 min. 参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33） 【解析】（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M， 由题意可知，∠A=30°，∠DBE=53°，DF=600 m，AB=300 m， 在Rt△ABM中，∠A=30°，AB=300 m，∴BM=AB=150 m=EF， ∴DE=DF-EF=600-150=450（m）. 答：登山缆车上升的高度DE为450 m. （2）在Rt△BDE中，∠DBE=53°，DE=450 m， ∴BD=≈ =562.5（m），∴需要的时间t=t步行+t缆车≈+≈19.4（min）. 答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4 min. M 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 13. （新考法）如图1是某楼梯原设计稿的侧面图，AD⫽BC，∠C=90°，楼梯AB的坡比为1∶2，为了增加楼梯的舒适度，将其改造成如图2，测量得BD=2AB=18 m，M为BD的中点，过点M分别作MN⫽BC交∠ABD的平分线于点N，MP⫽BN交AD于点P，其中BN和MP为楼梯，MN为平地，则平地MN的长度为　　　　　　　　. 【解析】如图，过点A作AF⊥BC于点F，∵楼梯AB的坡比为1∶2，∴设AF=k m，BF=2k m，∴AB==3k=9 m，∴k=3，∴AF=3 m，BF=6 m. 由题意，得四边形AFCD是矩形，∴CD=AF=3 m，AD=CF， ∴BC===3（m），∴AD=CF=（3-6）m. 如上图，延长MN交AB于点E，∵ME⫽BC⫽AD，M为BD的中点， ∴BE=AB= m，ME=AD= m，BM=BD=9 m， 如上图，过E作EG⫽BM交BN的延长线于点G， ∴∠EGB=∠MBG. ∵BN是∠ABD的平分线，∴∠EBG=∠MBG，∴∠EGB=∠EBG，∴EG=BE=92 m. 又∵EG⫽BM，∴△EGN∽△MBN， ∴== ，∴=，∴MN=（-2）m. （）m 养 素 练 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 绿卡图书—走向成功的通行证 18 $