24.3.1 第1课时 锐角三角函数-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(华东师大版)

2 第24章 解直角三角形 24.3　锐角三角函数 1.锐角三角函数 第1课时　锐角三角函数 3 目 录 6 4 1. （河南洛阳宜阳期末）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，则cos C=（　　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. B 础 基 练 知识点1　锐角三角函数的定义 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 5 2. （易错题）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大5倍，那么锐角A的正切值（　　） A. 不变化 B. 扩大5倍 C. 缩小5倍 D. 不能确定 A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 6 3. （河南南阳卧龙校级阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=3，下列各式中，正确的是 （　　） A. sin A= B. cos A= C. tan A= D. tan B= A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 7 4. （福建泉州校级阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sin A=，那么cos B的值是　　　. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 8 5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°,O是AB的中点，CO=6.5，BC=5. 求∠A的三个三角函数值. 解：在Rt△ABC中，∵O是AB的中点， ∴CO=AB，即AB=2CO=13， 由勾股定理，得AC==12. ∴sin A==，cos A==，tan A==. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 9 6. 对于锐角∠A，下列说法错误的是（　　） A. 0<sin A<1 B. 0<cos A<1 C. 1<tan A<2 D. tan A>0 C 知识点2　锐角三角函数的取值范围及它们之间的关系 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 10 7. （山东青岛市南校级阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin A=，则cos A=（　　） A. B. C. D. C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 11 【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，cos A=，则sin B=　　　　，sin A=　　　　，tan A=　　　　. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 8. （安徽安庆潜山期中）若α为锐角，且cos α=，则m的取值范围是　　　　　. <m< 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 9. （山西长治长子期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的是 （　　） A. B. C. D. 解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°. ∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD=∠A，∴sin∠BCD=sin A===， 故只有选项C中线段的比不能表示sin∠BCD. 故选C. 升 提 练 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 10. 【数学文化·赵爽弦图】（四川乐山中考）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sin θ=（　　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. A 【解析】设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b， 由题意可得，c2=25，b-a=1，a2+b2=c2， 解得a=3，b=4，c=5，∴sin θ= = . 故选A. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 11. （山东泰安高新区期中）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处. 已知AB=8，BC=10，则tan∠DAE的值为 （　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 【解析】∵根据题意可得，AB=8，AF=AD=BC=10，DE=EF. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF==6， ∴CF=BC-BF=10-6=4. 设DE=x，则EF=x，CE=8-x， 在Rt△ECF中，由勾股定理，得42+（8-x）2=x2， 解得x=5，故tan∠DAE===.故选C. C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 12. （四川内江中考）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+│c−10│+=12a−36，则sin B的值为　　　　. 【解析】∵a2+│c-10│+=12a-36， ∴a2-12a+36+│c-10│+=0， ∴（a-6）2+c-10+=0， ∴a-6=0，c-10=0，b-8=0，解得a=6，b=8，c=10， ∴a2+b2=62+82=100=102=c2，∴∠C=90°，∴sin B===. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 13. 【新趋势 多模块综合】如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OM为第一象限中的一条射线，点A的坐标为（1，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧，交y轴于点B，交OM于点P，作CA⊥x轴交OM于点C. 设∠AOM=α，求点P和点C的坐标. （用角α的三角函数值表示） 解：如图，过点P作PH⊥OA于点H. ∵A（1，0），∴OA=1，∴OP=OA=1， ∴PH=OP·sin α=sin α， OH=OP·cos α=cos α， ∴P（cos α，sin α）. ∵AC⊥OA，∴AC=OA·tan α=tan α，∴C（1，tan α）. 故点P的坐标为（cos α，sin α），点C的坐标为（1，tan α）. H 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 14. 【新趋势 阅读理解题】 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A==. 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）sad 60°的值为　　　　； （2）对于0°<∠A<180°，∠A的正对值sad A的取值范围是　　　　　； 解：（1）提示：根据正对的定义，当顶角为60°时，等腰三角形为等边三角形， 设等边三角形的边长为1， ∴sad 60°==1. （2）提示：当∠A接近0°时，sad A接近0， 当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的2倍，故sad A接近2， ∴sad A的取值范围是0<sad A<2. 养 素 练 1 0<sad A<2 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 （3）已知sin A=，其中∠A为锐角，试求sad A的值. （3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin A=. 在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC，垂足为H， 令BC=3k，AB=5k，则AD=AC==4k.又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin A=. ∴DH=AD·sin A=k，AH==k.在Rt△CDH中，CH=AC-AH=k， ∴CD==k. 在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k. 由正对的定义可得，sad A==. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 题 专 微 6 网格中求三角函数 【方法指导】 在网格中求锐角的三角函数值时，先要找到或构造该锐角所在的直角三角形，再根据锐角三角函数的定义求解. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 【针对训练】 1. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cos α的值是 （　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. B 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 2. （江苏宿迁中考）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC=　　　　. 【解析】如图，连结AC， 由勾股定理，得AB2=22+42=20， BC=12+32=10，AC2=12+32=10， 则B2+AC2=AB2，∴∠ACB=90°， ∴sin∠ABC===. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 3. （河南南阳淅川期末）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为　　　　. 【解析】如图，连结BE，∵四边形BCED是正方形， ∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF. 根据题意，得AC⫽BD，∴△ACP∽△BDP， ∴DP∶CP=BD∶AC=1∶3，∴DP∶DF=1∶2， ∴DP=PF=CF=BF，∴在Rt△PBF中，tan∠BPF==2. ∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2. 2 E F 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 微专题6 变式 绿卡图书—走向成功的通行证 25 $