23.3.2 第1课时 相似三角形的判定定理1-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(华东师大版)

2 第23章 图形的相似 23.3 　相似三角形 2.相似三角形的判定 第1课时 　相似三角形的判定定理1 3 目 录 4 1. （安徽安庆大观校级期中） 如图所示，三个三角形中，相似的是 （　　） A. （1）和（2）　B. （2）和（3）　C. （1）和（3）　D. （1）和（2）和（3） B 础 基 练 知识点1 两角分别相等的两个三角形相似 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 5 2. 【新趋势 开放性问题】如图，已知AC、BD相交于点O，若补充一个条件后，便可得到△AOB∽△DOC，则要补充的条件可以是　　　　　　　　　　　　. ∠A=∠D （答案不唯一） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 6 3. （山西晋城泽州期中）如图，在△ABC中，AB<AC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F，若AC=8，BD=2，BC=6，则=　　　　. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 7 4. 如图，小明在早上10时测得某树的影长OA为3 m，下午16时又测得该树的影长OB为12 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度OC为　　　　. 6 m 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 8 5.（山西临汾洪洞期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC上一点，且BE=BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC. 证明：∵BE=BC，∴∠C=∠CEB， 又∵∠CEB=∠AED，∴∠C=∠AED. ∵AD⊥BE，∴∠D=∠ABC=90°，∴△ADE∽△ABC. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 9 6.（安徽滁州明光期中）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，点D是AB上一点，点E是CD上一点，且△ADE是等边三角形.求证：AC2=AD⋅AB. 证明：∵△ADE是等边三角形， ∴∠ ADE=∠B+∠BCD=60°. ∵∠ ACB=∠ ACD+∠BCD=60°， ∴∠B=∠ACD， ∴△ABC∽△ACD，∴=， ∴AC2=AD·AB. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 10 7. （易错题）（浙江金华模拟）下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的是 （　　） A. 都含有60°角 B. 都含有45°角 C. 都含有90°角 D. 都含有120°角 B 知识点2 仅有一对角相等的两个三角形不一定相似 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 11 8. （教材P67T2改编）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为D、E，则图中与△ABC相似的三角形有几个？请说明理由. 解：与△ABC相似的三角形有4个. 理由如下： ∵CD⊥AB，DE⊥BC， ∴∠CDA=∠CDB=∠DEB=∠DEC=∠ ACB=90°， ∴∠ A+∠B=∠ A+∠ACD=∠B+∠DCB=∠B+∠BDE=∠DCB+∠CDE=90°， ∴∠A=∠BDE=∠BCD，∠B=∠ACD=∠CDE， ∴△ACB∽△ADC∽△DEB∽△CDB∽△CED， 故与△ABC相似的三角形有4个. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 12 9. （易错题）（河南南阳唐河期末）如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（　　） A. 　B. 　C. 　D. 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=3. ∵BP=1，∴PC=2. ∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APD+∠CPD，∠APD=60°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD，∴AB∶CP=BP∶CD，即3∶2=1∶CD，∴CD=. 故选B. B 升 提 练 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 13 10. （山西晋中榆社期中）如图，一副三角板（∠C=∠E=90°，∠B=30°，∠D=45°），AD=BC，顶点A重合，将△ADE绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（　　） 【解析】选项A，∵∠C=90°，∠CAF=∠B=30°， ∴△ACF∽△BCA，故选项A不符合题意； 选项B，∵∠ACO=∠DEO=90°，∠AOC=∠DOE， ∴△ACO∽△DEO，故选项B不符合题意； 选项C，∵∠BCA=∠AED=90°，∴CF⫽ED， ∴△ACF∽△AED，故选项C不符合题意； 选项D中没有相似三角形，符合题意. 故选D. D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 11. （河南南阳唐河期末）如图，将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，已知AB=6，AC=8，BC=10，若以B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么CF的长度是　　　　. 【解析】根据勾股定理易证△ABC是直角三角形， ∴∠BAC=90°，折叠得，BF=B′F，设BF=B′F=x，则CF=10-x， ①当∠FB′C=90°时，△B′FC∽△ABC， ∴=，即=，解得x=，则CF=10-x=； ②当∠B′FC=90°时，△FB′C∽△ABC，，即=，解得x=，则CF=10-x=. 综上，CF的长度是或. 或 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 15 12. 【新情境 交通安全】如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM=4米，CO=5米，DO=3米，AO=米，则汽车从A处前行的距离AB=　　　　米时，才能发现C处的儿童. 【解析】在Rt△CMO中，OM=4米，CO=5米， ∴CM===3（米）. ∵∠BOD=∠MOC，∠BDO=∠CMO=90°，∴△BDO∽△CMO，∴=，即=，∴BD=2.25米， 在Rt△AOD中，AO=米，∴AD==8（米）， ∴AB=AD-BD=8-2.25=5.75（米）. 5.75 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 16 13. 【新趋势 探究性问题】（1）【特殊发现】如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，连结BD，过点A作AF⊥BD，交BD于点E，交BC于点F，若BF=1，BC=3，则AB·CD=　　　　； （2）【类比探究】如图2，在线段BC上存在点E、F，连结AF、DE交于点H，若∠ABC=∠AHD=∠ECD，求证：AB·CD=BF·CE； 解:（1）提示：根据题意，并利用余角的性质，易证得△ABF∽△BCD，∴=，∴AB·CD=BC·BF=3. （2）证明：∵∠ABC=∠AHD，∠AHD=∠EHF， ∴∠ABC=∠EHF，∴∠BAF+∠AFB=∠CED+∠AFB， ∴∠BAF=∠CED. ∵∠ABC=∠ECD，∴△ABF∽△ECD， ∴=，即AB·CD=BF·CE. 养 素 练 3 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 17 （3）【解决问题】如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，E为AB中点，D为AE中点，过点D作直线DM⫽BC，在直线DM上取一点F，连结BF交CE于点H，使∠FHC=∠ABC，问：DF·BC是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由. 解:（3）是定值，DF·BC=12. 理由如下： 如图，在DA的延长线上取一点N， 使∠FND=∠ABC. 由AB=AC，DM⫽BC， 得∠ABC=∠ACB=∠FDN=∠FND, ∴△FND∽△ABC，且DF=NF， ∴=，即NF·BC=ND·AB. 又∵∠ABC=∠FHC，∴∠ABF+∠FBC=∠FBC+∠ECB， ∴∠ABF=∠ECB，∴△NFB∽△BEC， ∴ =，即NF·BC=NB·BE，∴NB·BE=ND·AB. 依题意得AD=DE=1，BE=2， ∴NB·2=ND·4，∴NB=2ND，∴ND=BD=3，∴NB=6， ∴NF·BC=NB·BE=6×2=12，即DF·BC=12. N 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 18 绿卡图书—走向成功的通行证 19 $