亲爱的同学们，大家好。今天这节课我们继续来讲解高中数学必修第一册同步提高班视频系列专栏课的专题三不等关系及1元2次不等式的第一类题型，1元2次不等式的恒成立问题。这个恒成立问题可以说是咱们高考数学的一个重难点，它也是一个热考点。相信同学们在学校已经被很多的课时练习已经做烂了，所以说这类题型本身的难度适中，当然也有一些非常难的题。他像到高三之后，我们会有一些恒成立的一一些较难的题目。那一类题目就是属于超越不等式，难度更大，就是不等式的恒成立问题，还有一个就是能成立问题。至于不等式的恒成立问题，到下一期视频我们再讲好。我们首先以除成例一来讲一下这个1元2次不等式恒成立问题它的常见解法。首先这个不等式含参，幸亏这个20项系数不含参。如果二次项系数含参，还要对二次项系数为零进行讨论。如果它没有那就比较简单了。这个分析是不等式对于任意实数X都是成立的这是最基础的一道题型。那么这一类题型我们可以用构造函数的方法，当然分餐也行，分餐麻烦一些。这里面我们用整体构造函数，我们可以令FX等于X方减去KX再加上一个一构造这样一个二次函数，那么这个就等价于对于任意的X属于R那么很有FX大于零成立，这个就等价于什么呢？这个等价于就相当于FX图像横在X轴的上方。既然横在X轴上方，那么它的图像是只能如图所示这样来画。也就是你让这个Y等于FX图像与X轴它是没有交点的。既然没有焦点，我们的这个delta一定是小于零的。就是我们只实际上只需满足开口向上，德尔塔小于0，我们的德耳塔等于0与X轴只有一个交点，德耳塔大于0与X轴有两个交点，所以只需要满足德耳小点就行了。所以说我们这道题来解的话，就是德尔塔就等于B方，就是负K的平方减去4 ac就是4乘以1乘以1，就是K方减4小于0。解这个1元2次不等式4就可以了，我们写成K加2乘以K减2小于0。所以说K的范围位于两根之间，就大于负二小于2。那直接答案是-2到2，这是一个中等题型。下面我们来巩固一道题，我们看这道题，这是恒成立问题的另外一种方法。他说若关于X的不等式，这个不等式的解集为空集，那么则实数A的取值范围。既然这个解集是空集，我们首先讨论第一种情况，就是当A等于零的时候，如果A等于0，那么这个圆不等式就变成一小于等于0。很明显这个解集为空集，因为一不可能小于等于0。第二类情况我们看啊，当A不等于0的时候，O等于零的时候，我们可以我们是可以构造一个函数，FX等于AX方加上一个AX再加上一个一。很明显该函数图像是一个抛物线，也就是说，你这个图像小于等于零不存在。换句话说，跟X轴没有交点，在X轴下方也没有图像，那图像只能这样画，对吧？你看这样的话，你随便取一个X值，都不可能使得它是小于等于零的，它都是恒大于零的那所以说这个时候只需满足开口方向向上，德尔塔小于零就可以了。GA小于0，这个德尔塔我们把它计算一下，就是B方减4，AC就是减4，A小于0。然后这个解出来就是一根四，就是A乘以A减4，小于0。所以说这个就位于两个人之间，就是大于0小于4。大家看一下，我这边是是A大于，大家看一下，那么它俩再去交集，所以说我们可以得到最后的范围就是A大于小于4。那么再根据刚才的第一类情况，A等于零也是符合的，所以A最后的范围就是大于等于小于四则此题答案选D好，现在有一个问题，我们来回头看这个例一出现利益，这个利益里面咱们还有类题型。假如说我把这里面的实数任意实数X我搞成我把它变了。他说对于任意的X属于某一个区间，比如说属于1到2恒成立求X范围。那这里面我们换一种颜色笔来讲一下。如果说是给定一部分的区间，那么这一类题型怎么做好？这里我们来讲解一下来讲解一下。首先有两种方法，我把这个清个屏，我把你清个屏。如果这个题我们改一下，我们改个变式。这里面我们说对于任意的X属于1到2都成立了。这里面我们就讲两种方法。第一种方法就是分离参数法。或者叫分离变量法，分离参数法。这里面我们可以将原不等式化成X方加上一大于KX所以分拆之后，这个K就小于X分之X方加1，这个就等于分离成两项，X加X分之一，我们定这个为FX所以说只需要满足既然恒成立，只需要满足K小于FX的最小值最小值就可以了。我们因为这是一个对勾函数，FX图像它的草图是这个样子的这是个对勾函数，大家看这个是一，这是Y等于X加上一个X分之一。那么既然这样，它在1到2上，大家看啊在1到2上就是这段图像。既然是这一段图像的话，所以说在一处取得最小值，很明显这个函数FX等于X加X分之1。在1到2上我们知道它是一个单调递增的图像。按照递增的函数，所以FX的最小值就是F1，那么就等于一加1分之1就是2，所以说只需要满足K小于2即可。那么我们来看一下整体构造函数是什么意思呢？这一块比如我们就令GX等于X方减KX加1，那么你要让它恒成立大于零恒成立，所以说只需满足GX的最小值20成立就可以了。所以说我们就求含参的含参的含参的在1到2的最小值这里面。所以说我们要讨论对称轴和区间位置关系。首先我们来看一下对称轴，这个对轴就是这个二次函数的对称轴为X等于二分之K好，现在我们来分三种情况讨论。第一类情况。这是一，这是2。第一类情况对称轴在区间的左侧。现在区间左侧大家可以看一下这个GX图像，很明显它在1到2上单调递增。这第一类情况就是当二分之K小于等于一的时候，我们只需要满足最小值，记一大于零即可，这是第一类情况。第二类情况也就是对称轴在1到2之间，1到2之间很明显在对称轴处取得最小值，也就是二分之K大于一小于2的时候，这个时候我们只需要满足G2分之K大于零就可以了。同样的还有第三类情况，就对轴表的区间的右侧分别是单调递减，也就是二分之K大于等于2的时候，只需要满足G2大于0。然后把这三类解出来，这个范围一并就是最后的答案，这个我们是改了一道题。好，下面我们来总结一下这个恒成立问题的解题技巧。首先1元2次不等式恒成立的条件成立的充要条件。对于A不为零的情况，我们只需要满足开口方向向上加2，它小于就行了。刚才已经讲过了，那么对于整体小于零恒成立的重要条件就持续满足，开口向下表示它小于零就行了。如果说在给定区域上恒成立问题求解方法怎么做呢？第一，我们可以由FX等于零在集合A中的恒成力，即A集合式不等式解集的子集先求解集，然后我们用子集的方法解也可以，注意这个方法也行。第二个，可以转化成函数值域问题。你看你既然是，比如说你这个值域是M到N你大于等于A恒成立，不相当于最小值大于等于A吗？如果说你是小于等于A就相当于最大值小于等于A，这个需要大家去理解。今天这个1元2次不等式的恒成立问题，我们就讲解到这里，感谢大家的收看。下一期我们来讲1元2次不等式的能成立问题，希望大家关注。