亲爱的同学们，大家好。今天咱们来继续讲解高中数学必修第一册同步提高班视频系列专栏课的专题。一集合与综合问题的题型。四与集合有关的数学文化问题。这个数学文化问题是咱们近几年来的一个热点问题，几乎每年的高考题中都有与数学文化有关的一些题型。我们来看一下对于高一阶段我们与集合有关的税红发问题，他会怎么来出题。而且这类题型我今天选了这两道题，难度都比较大，希望大家认真做做完之后再听我的这个视频讲解。首先咱们来看一下除尘例题4，那么这道题的背景我们一起来审一下。由无理数引发的这个数学危机一直延续到19世纪，直到1872年。德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用这个有理数的分割来定义无理数，这个就是史上著名的戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础之上，才结束了无理数被认为无理的时代，也结束了持续两千多年的数学史上第一次大危机。我们来看一下，前面的都是背景，如果你不读也可以，但是从这里开始，这个信息就非常有用。我们来看一下所谓带走的分割，是指将有理数据Q划分为两个非空的子集M和N而且满足MBN等于QM交N是等于空集，M中的每一个元素都小于N集合中的每一个元素。我们就把这样的一个分割称之为带子金分割。注意这个题我们再看一下，这里面有几个信息量，三个准确讲，如果加上前面的两个非空子集，总共是四个信息量。第二个现象就是并集是Q并极是这个有理数集，交集是空集。然后还有一个是M中的每一个元素都要小于N中的每个元素，这样的风格就能称之为带动性分割。那我们来看一下，对于任意一个带毒精分割MN下列选项中不可能成立的。好，如果说你已经将这个视频暂停了也做出来了，你看你选的对不对？我先给大家公布一下这个答案，此题的答案是选C我们来看一下这个ABD这三个选项为什么是对的。对于A他说M中没有最大元素，N中有一个最小元素。我们来举一个实例，比如说我们对A集合，我们取这样的集合，这个M集合是等于X属于QX是小于零的那我这样来分割这个N，我们取的是X一竖杠X属于Q，这里面准确讲把这个Q加在前面，X属于Q然后X大于等于。这样的话你们看我这个分割，这个分割这个M中它就没有最大元素，而且N中它确实有一个最小元素零，而且M并B它就是QM交N就是空集，所以说它符合这样一个结论A那我们看一下这个B几何，这个B选项中的这个结论，他说M没有这个最大元素，分钟也没有最小元素。好，那我们现在来对于B级和我来构造这样一种特殊情况。比如说M集合是等于X除以Q一竖杠，然后X小于根号2，就是我取一个无理数X小于根号2，我这个N集合我们可以这样来取X属于Q，有同学已经想了，那这里面写X大于等于根号2。好，这样的话你们可以看一下，这个M中没有最大元素，N中也没有最小的元素，N中也没有最。因为你这个是有理数，根号二是无理数，就没有最小元素。而且MBN它就是全体的有理数，M加N就是空集，这是B集合可以取这个我们再看CD，DM中有一个最大元素，N中没有最小元素，跟前面这个A集合是一样的。我们可以把这个D选中的M集合，我们可以写成X属于QX小于等于0，就是把这个调一下，这个N集合了，我们变成X属于Q一束钢，然后X大于零把它调一下就可以了。所以说A只要你能想到这个D这就不难。这个B我们选个无理数就可以了。我们看C为什么不可能成立？对于C中M有一个最大元素，N中有一个最小数。不可能。因为对于任意一个分割来讲的话，只要你有一个最大元素，这个N中跟它相邻的你不可能分割出来的。所以这个要靠理解，要靠理解。所以说对于与数学文化有关的一些题型，大家注意它实际上还是跟那个新定义的问题有点像，这是除尘第四，下面我们来看一下防尘训练4，这也是一个与数学文化有关问题。一般来说我们数学文化现在有四个出题方向。第一个与数学14或者是数学史有关的。第二个与数学家有关的，第三个是与数学名著有关的，第四个与我们最近的一些往年的古代的一些宗教文化有关的。你像这个这道题防尘训练4就是与数学家有关的。我们的高斯是德国著名数学家，德国的这个有一个他是他有一个数学王子的一个称号。你看小时候有同学在十岁的时候，他有一个非常有名的故事，就是算一加到100，他用的是倒叙相加的方法。为了纪念数学家高斯，我们把Y等于叫做取整还是取整，实际上它也叫做取整函数。高斯函数它还有这个高等数学里面的高斯函数不一样。不过我们现在初等数学里面有些人说高斯函数不是长这个样子，实际上就是一个名字，就是一个积淀。大家不要死磕这样一个定义，这没有什么意义。大家知道这是一个取整函数，Y等于X取整，其中X取整表示不超过X最大整数。我们用数组100分之1方100分之2方一直到100分之100方组成集合A的元素的个数是多少？好，这里面这个答案我可以先公布一下，是七十六。我们看怎么算的，我们可以这样来进行。首先对于任意两个元素，如果差距为一的话，差距为一的话，那么他们表示数字肯定是不一样的。你比如说你100分之1方100分之2方1、3%方，那这些取的值都是谁啊？都是零对吧？但是所以说我们在算的时候，我们可以这样，我们可以令。AK等于100分之K方。那么则注意，这个K我们取的就是12一直到100。通过这个变化它可以表示这100个所有的情况。那个所有的数组具体对应的值可能有很多是重复的。现在我们来计算一下，当这个AK加一减AK这个我们把它计算一下。如果说它两个相减大于一的时候，这个大于因数说明每一个注意每一个对应的值都是不同的元素。所以说我们来看一下，这里面我们先计算一下这个，因为这个100分之就是AK是100分之K加一的平方。我们来计算一下100分之K加一的平方，一加一的平方我们让它减去这个100分之K的平方，我们让它超过一，只要超过一一，那你这个取整，肯定是这个大于等于一的。我们我们来看一下，做差，做差之后上面就是一百分之，这个化简之后，就是100分之K加一的平方就是K方加2K加一再减去个K方就是2K加1，这个大于一，所以说我们可以解除这个K，2K加一大于等于101，大于120K就大于等于99，这个K就大于等于49.5。那我们不妨取着，因为K是正整数，我们不妨取KV50。换句话说，从50项之后，我这个AK加一减AK一定是大于一的那这样的话我们看啊从第50项开始，A50、A51、A52一直到A100都是不同的元素，都是A中的元素。那这样的话我们可以解决第一部分，那我们来看一下第二部分。如果说你这个AK加一减去一可以小于一的话，小于一的时候，这时候我们看啊它实际上是一个连续的，因为我们可以把它计算一下，比如说你这个A50，我们算一下这个A50是等于100分之50的平方，这个是等于25。这个很简单，我们看A49，这个A49我们通过计算发现这个是100分之49的平方。大家注意这个49的平方，我们通过计算发现是100分之49乘以49，就是2401。这样计算的话它是多少呢？它是24，确诊之后是24。那么在大家注意，从这个一从零开始，012一直到多少呢？到24这个肯定是会在一到多少呢？一到这个就是100分之1方，一直到100分之49分肯定都会出现了。这个有同学可能表示不不太理解，那为什么会出现呢？我们可以这样想，因为你这每一个数递增的就是这样，就是当这个K小于50的，除你这个100分之K加一的平方，大家看这个递增的减去100分之K方一定是小于一的。既然是小于一，你比如说你前一项你是0.8，你再加的话，这个数它不会超过一，他加的话肯定可以跑到一点多。你从一点多再加上零点几，数不只要不超过一，它总会有个数会超过2，而变成二点多了。所以说你这对应的01234一直到24都可以取到，所以这个总共是25个数。前面从这个55、11 52一直到100，这边总共是51个数。再加刚才我们推导了25个数，总共加起来就是76个数。所以说这道题有一些难度，可以说是咱们集合有关的数学文化问题里面的一个偏难题。所以说对于咱们如果说想拔高的同学，这道题非常有价值。那我们下面来总结一下，对于题型四这一类题型我们怎么来解决。一般来说这类题型需要大家首先不要怕数学文化的问题背景，第二个就是先审题，也不要怕问题背景。对于问题背景如果说有一部分理解不了的话，咱们可以注意像刚才的这个戴德金分割，你可以前面的可以省略，无所谓。但是从这个新定义或者是有限有效的这个信息的时候，一定要注意理解，可以多读几门题。第二个我们可以采取一个非常重要的突破口，就是取特值去分析，取特质分析，这也是咱们的突破口。然后再联想到与集合有关的一些理论知识，结合起来进行就可以了。好，今天这样一个视频课我们就上到这里，感谢大家的收看，下一期我们再见。