精品解析：安徽省宿州市宿城一中城南学校2025-2026学年高三上学期开学模拟检测数学试题

宿城一中2026届高三上学期开学模拟检测数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某项比赛共有7个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45%分位数 C. 平均数 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据极差、百分位数、平均数以及众数的含义逐一判断即可. 【详解】不妨设原始数据为：， 原始数据的极差为：，平均数为，众数为， 去掉一个最高分与一个最低分后剩下数据为：， 剩下数据极差为：，平均数为，众数为和3， 由此可知，与原始数据相比，剩下数据的极差，平均数，众数可能发生改变，故A，C，D错误， 对于B项，假设这7个数据从小到大为， 去掉一个最高分与一个最低分后剩下数据为：， 因为，， 所以原始数据的分位数为第四个数，即，剩下的数据的分位数为第3个数，即 所以与原始数据相比，剩下数据的分位数不变，故B正确； 故选：B． 2. 复数的共轭复数为，且满足，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的代数运算，先求复数后求积即可. 【详解】设，则，， 所以有，解得， 即所以. 故选：C. 3. 已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出圆锥的半径母线和高，根据侧面积与底面积的比找到母线和半径的关系，再找到高和半径的关系最后根据体积值求出半径再利用表面积公式即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，母线长为，高为， 因为其侧面积与底面积的比为， ，即， 由圆锥的基础知识可知：，所以， 又因为圆锥的体积为，所以，所以， 所以圆锥的表面积为， 故选：D 4. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移思想，结合正切函数平移都是奇函数，可得的取值可能，从而可得最小值. 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则， 因为，所以的最小值是， 故选：B 5. 函数满足：，若，，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的周期性，利用函数的周期性求的值. 【详解】由题意可得：， 用代替可得：， 两式相加得：. 所以，所以函数是以6为周期的周期函数. 所以 又，所以. 所以. 所以. 故选：D 6. 已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合抛物线的定义及三角形面积公式列式求出 【详解】抛物线的焦点，设直线，点， 由消去得，则， ，即， ， ，则，因此， 所以. 故选：A 【点睛】易错点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 7. 已知数列为等差数列，则“为有理数”是“数列中存在有理数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的定义、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出合适的选项． 【详解】由已知设，又， 则 ． 当是3的倍数时，， 若为有理数，则是有理数，故数列中存在有理数成立． 因为，则，所以“为有理数”能使“数列中存在有理数”成立． 若“数列中存在有理数”，不妨设，，则为有理数， 是无理数， 故“为有理数”是“数列中存在有理数”的充分不必要条件． 故选：A． 8. 六安市旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有（ ）种. A. 348 B. 288 C. 360 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】讨论6人乘坐3只船或乘坐2只船，根据这两种情况，结合分组分配模型，即可列式求解. 【详解】①若6人乘坐3只船：先将4个大人分成三组有种方法，然后将三组排到3只船有种方法， 再将两个小孩排到3只船有种方法，所以共有种方法. ②若6人乘坐2只船：共有种方法，综上共有：种方法. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项正确的是（ ） A. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B. 事件，相互独立与，互斥不能同时成立 C. 若成立，则事件与相互独立 D. 若成立，则事件，，一定两两独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A；结合乘法公式可判断BC；举例判断D. 【详解】对于A：根据互斥事件与对立事件的定义可知A正确； 对于B：当，且时，, 事件，不相互独立，所以事件，相互独立与，互斥不能同时成立，故B正确； 对于C：由相互独立的定义可知，故C正确； 对于D：假设一个正八面体，八个面分别标以数字1到8， 任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字， 得到样本空间为．事件，事件，事件． 显然，事件，显然， 满足， 而此时，而，， 不能推出，相互独立，故D错误； 故选：ABC． 10. 已知是坐标原点，对任意，函数的图象上总存在不同两点，使得，则下列选项中满足条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用数形结合来研究各选项，把交点存在问题转化为方程有解问题，通过解方程可判断AD，对于B通过举反例找到矛盾可判断，对于C，则再次利用数形结合来研究方程是否有解，从而可判断C. 【详解】 由图可知：过原点一定存在过原点的直线交曲线于两点， 设，则由，可得， 即，消元得：， 对任意的，必存在，，故A正确； 又由图可知：过原点一定存在过原点的直线交曲线于两点， 同上述方法可得：由，消元得：， 不妨令，则上式变为， 此时因为，所以此时不存在两点，也就是不能对任意的，都有，故B错误； 又由图可知：过原点一定存在过原点的直线交曲线于两点， 同上述方法可得：由，消元得：， 通过构造两个函数和，当时作图分析： 由于，函数图像是把正弦函数的横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变， 而函数图像是把正弦函数的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，此时两图象必有无数个交点， 所以方程必有解，即对任意的，必有，故C正确； 由图可知：过原点一定存在过原点的直线交曲线于两点， 同上述方法可得：由，消元得：， 整理得：， 即或， 对任意的，显然存在和或和的解，则必有，故D正确； 故选：ACD. 11. 设正整数，其中，记为上述表示中为1的个数．例如：，所以．已知集合，下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意的，有 C. 若，则使成立的的取值个数为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由及新定义判断A，举反例判断B，结合，根据的定义即可求解判断C，根据的定义得，结合组合数的性质利用倒序相加法即可求解判断D. 【详解】对于A，，有2个1，所以，正确； 对于B，当时，，所以，此时，不符合题意，错误； 对于C，注意到， 所以集合中的任一元素均可由唯一表示， 能使的的取值个数为，正确； 对于D，，记， 又，两式相加得，所以，则，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是______（用数字作答）. 【答案】-60 【解析】 【分析】利用二项式通项公式找到含项，再从这些项中找到含的项. 【详解】由二项式的通项公式得：的通项公式为：， 令，得 的通项公式为： 令，解得：， , 项为 的系数是-60. 13. 直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由直线方程求得其在坐标轴上截距，可得椭圆的的值，根据离心率的公式，可得答案. 【详解】当时，由，则；当时，由，则， 由题意可得为椭圆的顶点， 则椭圆的方程为，所以， 可得，所以离心率. 故答案为：. 14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解. 【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）可知函数的单调性，从而由函数的最大值求出的值，即可求出函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又 令，解得 ，令，则或， 所以的单调递减区间为，单调递增区间. 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则，解得， 所以，又，， 所以在区间上的最小值为. 16. 如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足. （1）证明：平面； （2）若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得，再结合线面垂直的判定定理可得结果； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用线面角的向量求法及棱台的体积公式可得结果. 【小问1详解】 由三棱台知，平面， 因为平面，且平面平面， 所以， 因为，所以，又，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取中点，连接，以为原点，为轴，为轴， 过点做轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为， 则 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得平面的一个法向量， 易得平面的一个法向量， 设与平面夹角为， ， 所以 由，得， 由（1）知，所以， 解得，所以三棱台的体积. 17. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，过内一点的直线与直线交于，记与夹角为． （1）已知， （i）若为的垂心，．求的值； （ii）为的重心，，，求； （2）请用向量方法探究与的边和角之间的等量关系是否成立? 【答案】（1）（i）；（ii） （2）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）（i）利用正弦定理将边化角，再由余弦定理求得，再结合即可求解；（ii）由及数量积模的运算求得，根据正弦定理结合三角恒等变换得，将代入求值即可. （2）由，结合数量积可得，再运用数量积定义可分别求出、、，代入整理即可. 【小问1详解】 （i）由， 结合正弦定理角化边可得：， 所以， 由为三角形内角， 所以， 又为的垂心，所以， 所以， 所以； （ii）因为，由（i）可知， 由M为的重心，得， 则， 在中，由正弦定理，得， 由，得平分，又， 所以 . 【小问2详解】 直线与的边相交于点，如图， 由，得，即， 又， ， ， 因此， 所以. 18. 已知抛物线.过点的动直线与交于两点（在第一象限），且（为坐标原点）. （1）求的值； （2）设抛物线在处的切线交于点，求面积的最小值； （3）面积最小时，过作直线交抛物线于两点.轴且的中点在直线上，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）32. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系结合，可求； （2）求导可求得两点处的切线方程，联立方程可求得点的坐标，利用弦长公式与点到直线的距离公式可求得，可求最小值； （3）由（2）得，设，与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系可得，从而可得结论. 【小问1详解】 设， 联立方程①， ②， . 【小问2详解】 由（1）知，故处切线方程为：，即. 同理，点处切线方程为：.联立解得. 由②及可得. 方程①中， 点到直线的距离. 故，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为32. 【小问3详解】 由（2）知，此时，设， 联立方程， ， ，令，得， ， 又 ，即， 所以三点共线，故直线过定点. 19. 有2n朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：时，共有4朵花，以1、2、3、4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1、2所示． （1）当时，求满足要求的绑缎带方法总数； （2）已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，如时，出现图1和图2所示方法的概率均为．记一次绑法中，共有Y对相邻的两朵花绑在一起， （i）当时，求Y的分布列和期望； （ii）已知：对任意随机变量（，2，…，m，），有．记满足条件的绑缎带方法总数为，Y的期望为．求（用n和表示）． 【答案】（1）5 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）给6朵花合适代号，再分三类讨论即可； （2）（i）分类讨论出所有合适情况，再按步骤列出其分布列计算其期望即可； （ii）分和讨论即可. 【小问1详解】 当时，有6朵花围绕在一个圆形花圃周围. 以1、2、3、4、5、6表示， 由题意可知，满足要求的绑缎带方法，任意一条缎带绑后，其同侧不能剩余奇数个点，故1必不与奇数3、5配对. 按花朵1的配对情况，分为三类： ①1与2配对：另4朵3、4、5、6的配对情况，同时共有4朵花的配对方法数相同， 故有2种方法； ②1与6配对：由对称性可知同1与2配对的方法数，故有2种方法； ③1与4配对：2必与3配对，6必与5配对，故只有1种方法. 综上，完成这件事的方法数共有种方法， 列举如下： （12）（34）（56）；（12）（36）（45）；（16）（23）（45）；（16）（25）（34）；（14）（23）（56）. 即满足要求的绑缎带方法总数为5. 【小问2详解】 （i）当时，有8朵花围绕在一个圆形花圃周围. 以1、2、3、4、5、6、7、8表示， 由题意可知，满足要求的绑缎带方法，任意一条缎带绑后，其同侧不能剩余奇数个点，故1不能与3、5、7配对. 故按花朵1的配对情况，可分为两类： ①12或18配对： 若12配对，则另6朵3、4、5、6、7、8的配对情况， 同时共有6朵花的配对方法数相同，故有5种方法； 若18配对，由对称性可知与12配对方法相同，故也有5种方法； 故有种方法； ②14或16配对：由对称性，这两类配对方法也相同. 不妨设14配对，由题意，23必配对.而另外5、6、7、8的配对情况，即同时共有4朵花的配对方法数，有2种方法； 故有种方法； 综上，完成这件事的方法数共有种方法. 已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，则每一种方法的概率均为， 记一次绑法中，共有Y对相邻的两朵花绑在一起， 14种方法中的有种方法；的有种；的有种； 则Y的所有可能值为， ； ； 故Y的分布列为： 2 3 4 ，故Y的期望为. （ii）当时，显然有，此时， 当时，若第朵花与相邻花相连，记随机变量，则 若第朵花不与相邻花相连，记随机变量，则 由于有对相邻的两朵花，则 则 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问的关键是找到所有适合的情况，求出不同的所对应的概率即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宿城一中2026届高三上学期开学模拟检测数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某项比赛共有7个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45%分位数 C. 平均数 D. 众数 2. 复数的共轭复数为，且满足，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 3. 已知圆锥体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的表面积为（ ） A B. C. D. 4. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 函数满足：，若，，则（ ） A. 1 B. C. 5 D. 6. 已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（ ） A 4 B. 3 C. D. 7. 已知数列为等差数列，则“为有理数”是“数列中存在有理数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 六安市旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有（ ）种. A. 348 B. 288 C. 360 D. 60 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项正确的是（ ） A. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B. 事件，相互独立与，互斥不能同时成立 C. 若成立，则事件与相互独立 D. 若成立，则事件，，一定两两独立 10. 已知是坐标原点，对任意，函数的图象上总存在不同两点，使得，则下列选项中满足条件的有（ ） A. B. C. D. 11. 设正整数，其中，记为上述表示中为1的个数．例如：，所以．已知集合，下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意的，有 C. 若，则使成立的的取值个数为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是______（用数字作答）. 13. 直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为________． 14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 16. 如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足. （1）证明：平面； （2）若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积. 17. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，过内一点的直线与直线交于，记与夹角为． （1）已知， （i）若为垂心，．求的值； （ii）为的重心，，，求； （2）请用向量方法探究与的边和角之间的等量关系是否成立? 18. 已知抛物线.过点的动直线与交于两点（在第一象限），且（为坐标原点）. （1）求值； （2）设抛物线在处的切线交于点，求面积的最小值； （3）面积最小时，过作直线交抛物线于两点.轴且的中点在直线上，证明：直线过定点. 19. 有2n朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：时，共有4朵花，以1、2、3、4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1、2所示． （1）当时，求满足要求的绑缎带方法总数； （2）已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，如时，出现图1和图2所示方法的概率均为．记一次绑法中，共有Y对相邻的两朵花绑在一起， （i）当时，求Y的分布列和期望； （ii）已知：对任意随机变量（，2，…，m，），有．记满足条件的绑缎带方法总数为，Y的期望为．求（用n和表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$