第3章《代数式》单元测试卷-　2025－2026学年苏科版七年级数学上册

第3章《代数式》单元测试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。） 1．若用表示一个整数，那么可以用表示一个偶数，下列代数式中一定可以表示奇数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）单项式的系数及次数分别是（   ） A．0，4 B．，4 C．3，4 D．－3，0 4．如图，一个点表示一个数，不同位置的点表示不同的数，每行各点所表示的数自左向右从小到大，且相邻两个点所表示的数相差1，每行数的和等于右边相应的数字．那么，表示2022的点在第m行，从左向右第n个位置，则的值等于（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 5．1905年清朝学堂的课本中用“”来表示代数式，则“”表示的代数式为（    ） A． B． C． D． 6．若都是不为零的数，则的结果为（      ） A．3或 B．3或 C．或1 D．3或或 7．将如图的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为、则的值是（    ） A． B． C． D． 8．已知有理数．我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，那么的和是 （    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 9．代数式的系数是 ． 10．若与是同类项，则的值为 ． 11．若，则 ． 12．如图，已知A，B，C三个车站的位置如图所示，则B，C间的距离等于 ． 13．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示。在图2中的“竖式”，可计算出 ． 14．定义一种运算：，其中k是正整数，且表示非负实数的整数部分，例如．若，则的值为 ． 15．已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为 ． 16．如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为 ． 三、解答题（本题共10小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（5分）化简： (1)； (2)． 18．（5分）已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是最大的负整数，则的结果是多少？ 19．（5分）已知有理数x，y满足． (1)求x与y的值； (2)若，求的值． 20．（6分）已知长方形和的长和宽如图所示： (1)长方形A的面积可表示为_______； (2)若，求长方形与的面积差． 21．（6分）【阅读与理解】能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．偶数可以用表示，奇数可以用表示，其中n为整数． 我们可以用说理的方法说明任意一个偶数与一个奇数的和为奇数，解答过程如下： 解：设任意一个偶数为，一个奇数为，其中m，n为整数， 则它们的和为． 因为m，n为整数，所以为整数． 所以为奇数，即任意一个偶数与一个奇数的和为奇数． 【迁移与应用】仿照上面的方法，试说明三个连续奇数的和为奇数，且能被3整除． 22．（6分）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 23．（8分）2025年，常州持续大力实施“常有安居”民生实事工程，一批老旧小区焕然一新．某社区为有效解决老百姓“停车难”问题，计划将一块长、宽的长方形空地改造为一个停车场，如图是停车场的设计方案，其中的阴影部分是四个完全相同的长方形停车区域，空白部分均为宽度相等的通道，设通道的宽为． (1)每个长方形停车区域的长为_______，宽为_______（用含的代数式表示）； (2)当时，求四个停车区域的总面积； (3)在（2）的条件下，如果每个车位宽度为，这次“空地改造”可以为小区新增停车位_______个． 24．（8分）阅读材料： 求的值． 解：设… 则… ，得 即 ∴ 仿照此法计算： (1)计算：． (2)计算：_______（直接写答案） (3)的值 25．（9分）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、6． (1)①点B和点C之间的距离是 个单位长度； ②若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①点A、B表示的数分别是 、 （用含m、t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，当m为何值时，的值不会随着时间的变化而改变，并求此时，的值． 26．（10分）材料一：杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，运用规律可以解决很多数学问题．材料二：斐波那契数列是意大利数学家菜昂纳多—斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用表示这一列数中的第个，则数列为，，，，，…，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即（为正整数）．结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________，利用展开式规律计算：________； (2)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，，，10，…记，，，，…则________；________（用表示）：________． (3)如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，，，…若，且，结合材料二，求的值（用表示）． 参考答案 一、选择题 1．B 【分析】本题考查了代数式，熟知奇数的定义和代数式的表示方法是解题的关键． 根据奇数的定义和代数式的表示方法判断即可． 【详解】解：A：对于代数式，当为奇数时，也为奇数，为偶数，故该选项不符合题意； B：为偶数，则一定是奇数，故该选项符合题意； C：对于代数式，当为偶数时，也为偶数，为偶数，故该选项不符合题意； D：为偶数，则一定是偶数，故该选项不符合题意． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查代数式的合并同类项运算，需一一判断各选项是否正确． 【详解】解：合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非，故A错误． 与不是同类项，无法合并，结果应保留为，故B错误． 与不是同类项，无法合并，结果应保留为，故C错误． 与是同类项（字母顺序不影响），合并系数得，结果为，故D正确． 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数与次数的求法是解题的关键． 根据单项式的系数与次数可直接进行解答． 【详解】解：由单项式可得：系数为，次数为4； 故选B． 4．C 【分析】规律：第n行的最后一位为，第n行的数的个数为，于是可解． 【详解】解：第1行                 1                          1     第2行             2   3   4                      9     第3行           5  6  7  8  9                    35     第4行     10  11  12  13  14  15  16            91     第5行 17  18  19  20  21  22  23  24  25       189            … ∴第n行的最后一位为，第n行的数的个数为， ∵第44行的末位数为1936，第45行的末位数为2025， ∴2022在第45行，第45行共有个数， ∵， ∴2022在第45行86个位置， ∴， ∴． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查代数式，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据题意列出代数式即可． 【详解】 解∶∵“”表示代数式， ∴“”表示的代数式为， 故选∶C． 6．B 【分析】本题考查化简绝对值，涉及代数式化简求值，根据的正负性，分情况讨论去绝对值后化简即可得到答案，由正负分类讨论去绝对值是解决问题的关键． 【详解】解：情况1：当时， ，，， 则； 情况2：当时， ，，， 则； 情况3：当时， ，，， 则； 情况4：当时， ，，， 则； 综上所述，的结果为或， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，首先设，则有，，根据矩形的面积公式可以用含的代数式分别表示出、，再利用整式的加减法求出即可． 【详解】解：如下图所示， 设， 则，， ，， ． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了有理数的加法运算和除法运算，根据定义计算出的值，即可得到，再根据该规律计算即可求解，由题意找到有理数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题 9． 【分析】本题主要考查了单项式系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数．据此解答即可． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了同类项的知识，根据同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可得出m、n的值，代入计算即可得出答案，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴， 故答案为：． 11． 12． 【分析】本题主要考查整式的加减，根据题意列出算式，再去括号、合并同类项即可． 【详解】解：根据题意，知B，C间的距离为： 故答案为： 13．36 【分析】本题考查了数字的规律探究．由可知，，，；由可知，，，；由可知，，，；得到，，推出，，，，即可解答． 【详解】解：由可知，，，； 由可知，，，； 由可知，，，； ∴，， ∴，，，， ∴， 故答案为：36． 14．5 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．据新定义分别计算出，，由此可得a的值分别为1、2、3、4、5，且从序号1开始，每5个一循环，由于，可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 同理可得， ∴从序号1开始，每5个一循环， ∵， ∴． 故答案为：5． 15．23 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据、、、为四个不相同的正整数，且满足，可以求得、、、对应的数字，然后即可得到的最小值． 【详解】解：、、、为四个不相同的正整数，且满足， ， ， ，，，是1，，2，中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 不妨设，，，， 解得，，，， ，，，是4，2，5，1中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 当，，，时，取得最小值，此时的值为23， 故答案为：23． 16． 【分析】设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为，E号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为，求得，即可得出正方形A的周长，由图2求得，根据图2中长方形的周长为13求得，没有覆盖的阴影部分的周长为，计算即可得到答案． 【详解】解：设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y， 则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为， E号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为8，可得，， 解得：， ∴正方形A的周长为； 如图， ， ∵图2中长方形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为：， ∴正方形A的周长与阴影部分的周长之比为． 故答案为：． 三、解答题 17．（1）解： ； （2）解： ． 18．解：∵由a、b互为相反数， ∴； ∵c、d互为倒数， ∴； ∴m是最大的负整数， ∴； ∴ ． 19．（1）解：∵， ∴，． 答：x的值为，y的值为． （2）∵， ∴，， ∴， 或， ∴或6． 20．（1）解：长方形A的面积可表示为； （2）解：由题意得： ， ∵， ∴． 21．解：设三个连续奇数分别为，，，其中n是整数， 它们的和为：， 由于是整数，所以三个连续奇数的和是3的倍数，即能被3整除， 同时，由于是奇数，所以三个连续奇数的和也是奇数． 因此，三个连续奇数的和为奇数，且能被3整除． 22．（1）解： ； 故答案为：2； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ； 故答案为：． 23．（1）解：由题意得：每个长方形停车区域的长为，宽为， 故答案为：，． （2）解：当时，每个长方形停车区域的长为，宽为， 则四个停车区域的总面积为， 答：四个停车区域的总面积为． （3）解：由（2）可知，当时，每个长方形停车区域的长为， ∵每个车位宽度为， ∴小区新增停车位（个）， 故答案为：80． 24．（1）设，① 两边同时乘以3，得，② ，得， ∴， ∴； （2）设，① 两边同时乘以，得，② ，得， ∴， ∴， ∴． （3）设， ∴ ∴ ∴ ∴ 25．（1）解：①因为点B和点C表示的数分别是、6， 所以， 即点B和点C之间的距离是10个单位长度， 故答案为：10； ②因为点A和点B表示的数分别是、， 所以， 又因为C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍， 所以， 因为B点表示的数是， 设C点表示的数为或， 即C点表示的数应该是4或， 因为开始C点表示的数为6， 所以C向左移动2个单位或18个单位． 故答案为：2或18； （2）解：①因为点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，且运动时间为t秒， 所以运动后点A表示的数为：； 因为点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，且运动时间为t， 所以运动后点B表示的数为：， 故答案为：，； ②因为点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，且运动时间为t， 所以运动后点C表示的数为：， 则， ， 则 ． 因为的值不会随着时间的变化而改变， 所以， 解得， 此时， 所以当时，的值不会随着时间的变化而改变，此时． 26．（1）解：多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为， 多项式展开式共有项，各项系数和为， 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为， 令中， ， 由展开式得； 故答案为：6，32，； （2）解：， ， ， ，， ， ； 故答案为： ． （3）解：， ， ， ，， ， ， 即， ， ， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$