精品解析：黑龙江省绥化市第二中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

黑龙江省绥化市第二中学2025-2026学年高三上学期开学考试 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. C. 1 D. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则函数（ ） A. 最小正周期为 B. 是奇函数 C. 在区间上单调递增 D. 一条对称轴是 7. 已知正三棱锥，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，其中D，E分别是AB，BC的中点.如果直线平面DEFH，那么四边形DEFH是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 8. 已知双曲线的左、右顶点分别为点，，点在双曲线的右支上且异于点.若直线的斜率的取值范围是，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时 D. 数列是等比数列 10. 一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（ ） A. 的可能取值为0，1，2，3 B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. 函数无最小值 C. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D. 函数有5个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是__________. 13. 已知数列的前n项和为，，，则__________（用数字作答）. 14. 已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：. 16. 为应对中国近视率高发问题，普及科学用眼知识，国家确定每年的6月6日为“全国爱眼日”.某校在爱眼日前用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行视力调查，通过调查得到了如下数据：抽取的学生中男生与女生的比例是，其中男生中有40%的同学近视，女生中有25%的同学近视. （1）若在抽取的这些学生中随机抽取一名学生，这名学生近视的概率是多少？ （2）若抽取的学生总共100人，请完成下面的列联表. 性别 视力 合计 近视 不近视 男生 女生 合计 试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生的视力是否与性别有关. 附：（的值保留三位小数） 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. “平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：（Ⅰ）当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；（Ⅱ）当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）已知，点M为的费马点. ①若，记，求； ②求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省绥化市第二中学2025-2026学年高三上学期开学考试 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算即可求解对应的点的坐标. 【详解】,则对应的点为，故在第三象限， 故选:C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：A. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】由得，解得. 故选: 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系. 【详解】对于圆，圆心为，半径； 对于圆，圆心为，半径. 两圆圆心距，又， 所以，所以两圆外切. 故选：B 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知关于对称，，再由在上单调递增可判断大小关系. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，， 所以关于直线对称，所以， 又因为在上单调递增，所以. 故选：B 6. 已知函数，则函数（ ） A. 最小正周期为 B. 是奇函数 C. 在区间上单调递增 D. 一条对称轴是 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，从而求出最小正周期；B选项，，，是非奇非偶函数；C选项，整体法求出在上单调递减，在上单调递增，C错误；D选项，整体法求出函数对称轴为，，D正确. 【详解】A选项，，最小正周期，故A错误； B选项，因为，，所以是非奇非偶函数，故B错误； C选项，令，，解得，， 令得，，故在上单调递增， 同理可得在上单调递减，故C错误； D选项，令，，即，， 当时，，所以是的对称轴，故D正确. 故选：D. 7. 已知正三棱锥，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，其中D，E分别是AB，BC的中点.如果直线平面DEFH，那么四边形DEFH是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】先根据线面平行得出四边形DEFH是平行四边形，利用线面垂直可得，从而可得四边形DEFH是矩形. 【详解】取AC的中点G，连接SG，BG.因为是正三角形，则. 因为是正三棱锥，所以，则，平面SGB，故平面SGB， 因为平面SGB，所以. 因为平面DEFH，平面SAB，平面平面，所以，同理. 又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得，且， 即且，所以四边形DEFH为平行四边形. 又，，，所以，所以四边形DEFH为矩形. 故选：C. 8. 已知双曲线的左、右顶点分别为点，，点在双曲线的右支上且异于点.若直线的斜率的取值范围是，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线方程可得，，设，代入双曲线方程可得.结合斜率公式、不等式的性质及题干条件即可求解. 【详解】由双曲线方程可得，，设， 则，即. 所以，所以. 又，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时 D. 数列是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立方程，求出等差数列的首项和公差，结合等差数列的前项和公式以及等比数列的定义依次判断选项即可. 【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，， 所以，， 当或时，有最小值，故A，B正确，C错误； 因为，所以数列是公比为4的等比数列，故D正确. 故选：ABD. 10. 一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（ ） A. 的可能取值为0，1，2，3 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题可知服从超几何分布，且，，，，，即可判断选项A；根据离散型随机变量分布列概率的性质即可判断选项B；超几何分布的均值公式即可判断选项C；由离散型随机变量均值的性质即可判断选项D. 【详解】由题可知服从超几何分布，且，，，，. 易知的可能取值为1，2，3，故选项A错误； ，故选项B正确； 由，，，结合超几何分布的均值公式可得，故选项C正确； 由离散型随机变量均值的性质可得，故选项D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. 函数无最小值 C. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D. 函数有5个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】对函数求导，即可得到函数的单调区间，然后得到函数的极值点，结合函数解析式画出函数大致图象，从而判断A、B、C；令解得的值，结合函数的极值点及函数图象得到零点个数，从而判断D. 【详解】， 当时，；当时，， 所以在，上为增函数，在上为减函数， 当时，函数有极大值，当时，函数有极小值. 由，即，得或， 所以当时函数的图象在x轴上方，画出函数图象，如图 由图知，A正确，B错误； 若函数在上是减函数，实数a的取值范围是，故C错误； 由得或. 因为，， 所以与，的图象共有5个交点， 所以函数有5个零点，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是__________. 【答案】10 【解析】 【分析】由二项式通项确定含的项求系数. 【详解】的二项式通项为， 由，得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 已知数列的前n项和为，，，则__________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】写出前11项的和，由等比数列的求和公式求解即可. 【详解】因为，，，， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合指数函数性质证明函数在上单调递增，当时，，不等式在上恒成立可转化为在上恒成立，令，结合基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 由已知在上恒成立， 得，即在上恒成立， 令，则， 所以在上恒成立， 所以，其中， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：. 【答案】（1） （2） 令，则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解； （2）将问题转化为，然后利用导数求出的最小值即可证明. 【小问1详解】 由题，，所以切线斜率为. 因为切点为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 略 16. 为应对中国近视率高发问题，普及科学用眼知识，国家确定每年的6月6日为“全国爱眼日”.某校在爱眼日前用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行视力调查，通过调查得到了如下数据：抽取的学生中男生与女生的比例是，其中男生中有40%的同学近视，女生中有25%的同学近视. （1）若在抽取的这些学生中随机抽取一名学生，这名学生近视的概率是多少？ （2）若抽取的学生总共100人，请完成下面的列联表. 性别 视力 合计 近视 不近视 男生 女生 合计 试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生的视力是否与性别有关. 附：（的值保留三位小数） 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） （2）列联表： 性别 视力 合计 近视 不近视 男生 24 36 60 女生 10 30 40 合计 34 66 100 视力与性别无关【解析】 【分析】（1）设事件，由题意写出对应事件的概率，然后由全概率公式得到结果； （2）作零假设，根据题意完成列联表，由表内数据计算及公式，对照表格得出结论. 【小问1详解】 记“抽取的学生是男生”，“抽取的学生是女生”，“抽取的学生近视”. 由题意可知，，，， 所以. 【小问2详解】 零假设为：视力与性别相互独立，即视力与性别无关. 由题意可得下面的列联表： 性别 视力 合计 近视 不近视 男生 24 36 60 女生 10 30 40 合计 34 66 100 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即视力与性别无关. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据周长和离心率列出方程组可得方程； （2）联立方程结合韦达定理和向量数量积求出斜率，利用弦长公式可得答案. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为2c，由题意可得， 解得，，所以， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为. 设，， 由，得， 所以，，由得. 由， 得，满足，所以，， 所以. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，则， 在正方形中，，因，平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 又因为，平面，故平面. （2） （3）在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为，或 【解析】 【分析】（1）先由条件证明平面，进而得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段上是存在一点，满足条件，则，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 因平面，则， 又因为是的中点，，则， 因，平面，则平面， 因平面，则， 因，平面，则平面， 因为平面，则，即， 即由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，，， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，则， 假设线段上是存在一点，使得点到平面的距离为， 则，则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则或， 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. 19. “平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：（Ⅰ）当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；（Ⅱ）当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）已知，点M为的费马点. ①若，记，求； ②求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解； （2）①由正弦定理得，分别在，中由正弦定理得到，联立进而可求解；②由三角形面积公式得到，再由正弦定理得到，再确定，进而可求解. 【小问1详解】 由正弦定理及， 得， 整理得，即. 因为，所以. 【小问2详解】 因为是锐角三角形，M为费马点，所以. ①在中，由正弦定理得，即，得. 在中，由正弦定理得，<1> 在中，， 由正弦定理得，<2> <1>，<2>两式相除得，化简得， 所以. ②由， 得， 整理得. 因为， 所以 . 因为是锐角三角形，所以，即 所以，所以，则， 所以，所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $