第2章 有理数的运算课件 2025-2026学年 青岛版（2024）七年级数学上册

第2章 有理数的运算 2.1　有理数的加法与减法 第1课时　有理数的加法 知识点 有理数加法法则 (1)做有理数加法时，先确定_____，再确定_______．即： ①同号两数相加，取_____的符号，并把_______相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取_________________的符号， 并用_____________减去_____________． (2)互为相反数的两个数相加得__；一个数与__相加，仍得___ _____． 符号 绝对值 相同 绝对值 绝对值较大的加数 较大的绝对值 较小的绝对值 0 0 这 个数 【注意】 1．两个有理数相加，先确定和的符号，再把绝对值进行计算． 2．分数和小数相加，应先统一为分数或者小数，再相加． 考点1 有理数的加法法则 典例1 计算： (1)(－5)＋0；　 (2)(－18)＋(－7)； (3)6.5＋(－6.5)； (4)(－32.8)＋(＋51.76)； 思路导析 根据有理数的加法法则，观察适合哪一种情况，利用法则进行计算，注意一定要先确定符号，其中(5)注意要统一为小数，(6)(7)注意要通分． 解：(1)(－5)＋0＝－5； (2)(－18)＋(－7) ＝－(18＋7) ＝－25； (3)6.5＋(－6.5)＝0； (4)(－32.8)＋(＋51.76) ＝51.76－32.8 ＝18.96； 【规律总结】有理数的加法运算记忆口诀： 同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”； 符号跟着“大”的跑；绝对值相等零正好； 与零相加变不了． 考点2 有理数加法的实际应用 典例2 某天早晨的气温是－13 ℃，到中午升高了5 ℃，则中 午时的温度为____℃. －8 思路导析 此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；根据题意列算式，计算即可得到结果． 变式 [2023·昌黎县期末]下列问题情境，能用加法算式－2＋10表示的是 ( ) A．水位先下降2 cm，又下降10 cm后的水位变化情况 B．将原点先向左移动10个单位长度，再向右移动2个单位长度后表示的数 C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D．数轴上表示－2与10的两个点之间的距离 (5)(－5eq \f(1,4))＋(－3.5)； (6)(－3eq \f(1,4))＋(＋2eq \f(1,3))； (7)(－eq \f(3,4))＋eq \f(1,3). (5)(－5eq \f(1,4))＋(－3.5)＝－(5.25＋3.5)＝－8.75； (6)(－3eq \f(1,4))＋(＋2eq \f(1,3))＝－(3eq \f(1,4)－2eq \f(1,3))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(39,12)－\f(28,12)))＝－eq \f(11,12)； (7)(－eq \f(3,4))＋eq \f(1,3)＝－(eq \f(3,4)－eq \f(1,3))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,12)－\f(4,12)))＝－eq \f(5,12). 变式 计算： (1)(－8)＋(－9)； (2)(－12)＋25； (3)7.24＋(－3.04)； (4)(－eq \f(7,18))＋(－eq \f(1,3))； (5)0＋(－8)． 解：(1)(－8)＋(－9)＝－17； (2)(－12)＋25＝13； (3)7.24＋(－3.04)＝7.24－3.04＝4.2； (4)(－eq \f(7,18))＋(－eq \f(1,3))＝－eq \f(13,18)； (5)0＋(－8)＝－8. $$第2课时有理数的除法 列清单·划重点 知识点1 有理数的除法法则 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任 何一个不等于0的数都得0.0不能作除数. 知识点2有理数除法运算的转换 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数. 明考点·识方法 考点 倒数 典例1[2024陕西]一3的倒数是（） 3 C.-3 D.3 思路导析 根据乘积是1的两个有理数互为倒数解答. 变式[2024·南山区模拟]下列互为倒数的是（) B.一2和2 C.3和- 3 D.-2和 考点2 有理数的除法 典例2计算： (0(-72)÷6:20÷(-3: )(-3÷(-: ④(-38÷(-2.25) 思路导析根据有理数的除法法则，类比有理数乘法法则先判 断符号，再把绝对值相除，或转化为乘法进行计算 解：(1)(-72)÷6=-(72÷6)=-12； 2)0(-3=0: 3(-名*(-合=+G员g 4(-君+(-225)=(-8(-景=(-召x(--2 变式[2024·徐闻县期中]下列各式中计算正确的有（) ①(-24)÷(-8)=-3 ②(-8)×(-2.5)=-20 ®(-学÷(-净=1 ④(-3净÷(-1.25)=-3 y个 B.2个 C.3个D.4个 考点3 有理数的乘除混合运算 典例3 (0[2024,格浦区期未灯计算：-25（令：号 ②2024·顺义区期末]计算：-85÷名x(-鸟. 思路导析 先根据有理数的除法法则，把除法化成乘法，然后 根据乘法法则进行计算即可， 解：-2.5(-号*8 -是3g=3 2原式=子县（多-子号9-另 。 变式计算： 0(-6)×(-0:(-)×2:②(-3×(-争÷（号：7 图分(-骨x(号 解：(1)原式=24÷（-3)×2=-8×2=-16； 2)原式= 2.4.5.178 5×3×17×3=-9 5853 (3)原式=25× 6×5=2.2.2　有理数的乘法与除法 第1课时　有理数的乘法 知识点1 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得___，异号得___，并把绝对值_____．任何 数与0相乘，积仍得__． 知识点2 倒数的意义 乘积是__的两个有理数互为倒数． 正 负 相乘 0 1 知识点3 有理数乘法运算律 1．乘法交换律：两个数相乘，交换_____的位置，积_____．用 字母表示为___________． 2．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后 两个数相乘，积_____． 用字母表示为_____________________． 3．乘法对加法的分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这 个数分别与这两个数相乘，再把积_____．用字母表示为______ _________________． 因数 不变 a×b＝b×a 不变 (a×b)×c＝a×(b×c) 相加 a×(b ＋c)＝a×b＋a×c 【规律总结】 (1)0乘任何数都得0.(2)任何不为0的数乘1得原数．(3)任何数乘－1得相反数．(4)带分数要转化为假分数．(5)小数和分数相乘，要把小数转化为分数． 知识点4 多个有理数相乘 几个非零数相乘，积的符号取决于_______的个数．当负因数 的个数为奇数时，积为___；当负因数的个数为偶数时，积为 ___．几个有理数相乘，如果其中有一个因数为0，积就为__． 负因数 负 正 0 【注意】 1．利用运算律，可以改变运算顺序，达到简化计算的目的，在运用时应灵活选择； 2．多个有理数相乘，可以先确定积的符号，再把各因数的绝对值相乘． 考点1 有理数的乘法 典例1 (1)[2024·吉林]若(－3)×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为 ( ) A．2 B．1 C．0 D．－1 (2)[2023·株洲]计算：(－4)× ＝ ( ) A．－6 B．6 C．－8 D．8 思路导析 根据有理数的乘法法则即可解答． 考点2 利用乘法运算律进行简便计算 典例2 计算： 思路导析 (1)用乘法结合律与交换律计算即可；(2)采用乘法分配律计算即可，注意同号得正，异号得负． eq \f(3,2) 变式 计算：(1)(＋4)×(－5)； (2)(－0.125)×(－8)； (3)(－2eq \f(1,3))×(－eq \f(3,7))； (4)0×(－13.52)． 解：(1)原式＝－(4×5)＝－20； (2)原式＝0.125×8＝1； (3)原式＝eq \f(7,3)×eq \f(3,7)＝1； (4)原式＝0. (1)(－3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×eq \f(4,7)； (2)－24×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(2,3)－\f(5,6))). 解：(1)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－3）×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)))×\f(4,7))) ＝1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq \f(4,5)； (2)原式＝－24×eq \f(1,2)－24×eq \f(2,3)＋24×eq \f(5,6) ＝－12－16＋20＝－8. 变式 [2024·牟平区期中]用简便方法计算： (1)(－1.25)×eq \f(5,7)×(－4)×(－eq \f(7,5))； (2)(－99eq \f(8,9))×18. 解：(1)原式＝[(－1.25)×(－4)]×[eq \f(5,7)×(－eq \f(7,5))]＝5×(－1)＝－5； (2)原式＝(－100＋eq \f(1,9))×18＝－100×18＋eq \f(1,9)×18 ＝－1 800＋2 ＝－1 798. $$第4课时　有理数的加减混合运算 知识点 有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算的一般步骤是先将有理数加减混合运算 统一成_____运算，省略_____及括号前面的_____后，再按照 有理数的加法运算律和加法法则进行运算． 加法 括号 加号 考点1 有理数的加减混合运算 典例1 [2024·陇县期中]计算： (1)13＋(－24)－25－(－20)； 思路导析 本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【规律总结】有理数加减混合运算的步骤： (1)统一加法； (2)省略括号及括号前的加号； (3)使用运算律简化计算； (4)求出正确结果． 【注意】 省略加号后要读为各个加数的和，交换加数位置的时候要连同符号一起交换． 变式 计算： (1)－9＋5－(－12)＋(－3)； 考点2 有理数加减混合运算的实际应用 典例2 [2024·大连三模]某销售教辅材料的商家记录了6天以来每天的盈亏情况，并用“＋”表示盈利，“－”表示亏损，他记录的表格如表所示： 天数/天 盈亏情况/元 1 ＋10 2 －12 3 －24 4 ＋15 5 ＋9 6 －2 下列关于盈亏说法正确的是 ( ) A．6天以来亏损了4元 B．6天以来亏损了2元 C．6天以来盈利了12元 D．6天以来盈利了6元 变式 [2023·阜平县期末]小明家购置了一辆续航为350 km(能行 驶的最大路程)的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续7天每 天行车电脑上显示的行驶路程记录如表(单位：km，以40 km为标 准，超过部分记为“＋”，不足部分记为“－”)．已知该汽车 第三天行驶了45 km，第六天行驶了34 km. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 －6 ＋2 ■ －3 ＋8 ● ＋7 (1)“■”处的数为_______，“●”处的数为_______； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的15%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 解：(1)由题意，得第三天行驶了45 km，第六天行驶了34 km， 所以第三天处的数为45－40＝＋5，第六天处记录的数为34－40 ＝－6， 所以“■”处的数为＋5，“●”处的数为－6， 故答案为：＋5，－6； (2)由题意，得－6＋2＋5－3＋8－6＋7＝2＋5＋8＋7－6－3－6＝22－15＝7(km)， 40×7＋7＝280＋7＝287(km)， 350－287＝63(km)， 350×15%＝52.5(km)， 因为63＞52.5，所以行车电脑不会发出充电提示． (2)(－eq \f(1,3))＋(－eq \f(5,2))＋(－eq \f(2,3))＋(＋eq \f(1,2))； (3)－20.75－3.25＋eq \f(1,4)＋19eq \f(3,4)； (4)(－3eq \f(5,7))＋15.5－6eq \f(2,7)＋(－5eq \f(1,2))． 解：(1)13＋(－24)－25－(－20)＝－11－25＋20 ＝－36＋20＝－16； (2)(－eq \f(1,3))＋(－eq \f(5,2))＋(－eq \f(2,3))＋(＋eq \f(1,2))＝(－eq \f(1,3)－eq \f(2,3))＋(eq \f(1,2)－eq \f(5,2)) ＝－1－2＝－3； (3)－20.75－3.25＋eq \f(1,4)＋19eq \f(3,4)＝(－20.75＋19eq \f(3,4))＋(eq \f(1,4)－3.25) ＝－1－3＝－4； (4)(－3eq \f(5,7))＋15.5－6eq \f(2,7)＋(－5eq \f(1,2))＝(－3eq \f(5,7)－6eq \f(2,7))＋(15eq \f(1,2)－5eq \f(1,2)) ＝－10＋10＝0. (2)－(＋1.5)－(－4eq \f(1,4))＋3.75－(＋8eq \f(1,2))． 解：(1)－9＋5－(－12)＋(－3)＝－9＋5＋12－3＝5； (2)－(＋1.5)－(－4eq \f(1,4))＋3.75－(＋8eq \f(1,2))＝－1eq \f(1,2)＋4eq \f(1,4)＋3eq \f(3,4)－8eq \f(1,2) ＝(－1eq \f(1,2)－8eq \f(1,2))＋(4eq \f(1,4)＋3eq \f(3,4))＝－10＋8＝－2. $$第2课时　科学记数法 知识点1 科学记数法 把一个绝对值大于10的数记作______的形式，其中1≤|a|<10， n是_______，这种记数方法叫作科学记数法． a×10n 正整数 知识点2 准确数与近似数 准确数是与实际完全符合的数；近似数是与实际相近的数．一 般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确 到哪一位． 例如，某人的生日是12月21日，12，21是准确数；我国人口总 数约为14.1亿，14.1亿是近似数．近似数1.8亿精确到千万位， 近似数5 575.8万精确到千位． 考点1 科学记数法 典例1 [2024·淄博]我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示，2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆．将30.7万用科学记数法表示为3.07×10n.则n的值是 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 思路导析 科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 变式 [2024·衡阳期末]网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，我国2023年“双十一”狂欢购物节电商总成交额高达2 434亿元．数据“2 434亿”可用科学记数法表示为 ( ) A．2.434×103 B．2.434×1012 C．2.434×1011 D．2.434×107 考点2 准确数与近似数 典例2 下列说法正确的是 ( ) A．4.6万精确到个位 B．0.730精确到百分位 C．5.079×104精确到千分位 D．2.90×105精确到千位 思路导析 对于未带计数单位或未用科学记数法表示的近似数，最后一位数字所在的数位就是它的精确度；对于带计数单位的或用科学记数法表示的近似数，应当写出原数之后再判断精确到哪一位． 变式 用科学记数法按题后要求表示下列各数： (1)水星和太阳的平均距离约为57 900 000 km(精确到百万位)； (2)冥王星和太阳的平均距离约为5 865 000 000 km(精确到亿位)． 解：(1)57 900 000 km＝5.790 000 0×107≈5.8×107 km(精确到百万位)； (2)5 865 000 000 km＝5.865 000 000×109≈5.9×109 km(精确到亿位)． $$第2课时　有理数的加法运算律 知识点 加法运算律 1．加法交换律：两个数相加，交换_____的位置，和_____．用 字母表示为___________. 2．加法结合律：三个数相加，先把_________相加，或者先把 _________相加，和_____．用字母表示为_____________________． 加数 不变 a＋b＝b＋a 前两个数 后两个数 不变 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【规律总结】 加法运算律的运用技巧： (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加—— “同分母结合法”； (4)几个数相加得到整数先相加——“凑整法”； (5)整数与整数、小数与小数先相加——“同形结合法”； (6)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加—— “拆分法”． 考点1 利用加法运算律进行简便计算 解：(1)原式＝(26＋18)＋[(－16)＋(－14)] ＝44＋(－30)＝14； (2)原式＝[18.56＋(－18.56)]＋[(－5.16)＋5.16]＋(－1.44) ＝－1.44； (3)原式＝[0.75＋(－2.75)]＋[0.125＋(－4.125)]＋0.5 ＝(－2)＋(－4)＋0.5 ＝(－6)＋0.5 ＝－5.5； 考点2 有理数加法运算律的实际应用 典例2 [2024·大足区期末]2024年11月12日，第十五届中国航展在广东珠海举行，中国空军“八一”飞行表演队在航展上表演特技飞行，如图所示，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，五次特技飞行高度记录如下(单位：千米)：＋2.5，－1.2，＋1.1，－1.5，＋0.8. (1)求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低，高了或低了多少千米； (2)若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，则飞机在这5次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 解：(1)＋2.5＋(－1.2)＋1.1＋(－1.5)＋0.8＝1.7(千米)． 答：此时飞机比起飞点高了1.7千米； (2)(2.5＋1.1＋0.8)×6＋(1.2＋1.5)×4 ＝4.4×6＋2.7×4 ＝26.4＋10.8＝37.2(升)． 答：一共消耗37.2升燃油． 变式 某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定的价格出售， 如果以每套55元的价格为标准，超出的记为正数，不足的记为 负数，记录如下(单位：元)：＋2，－3，＋2，－1，－2，＋1， －2，0. (1)他卖完这8套服装后的总收入是多少？ (2)盈利(或亏损)了多少元？ 解：(1)根据题意，得 ＋2＋(－3)＋2＋(－1)＋(－2)＋1＋(－2)＋0＝－3， 8×55－3＝437(元)， 答：他卖完这8套服装后的总收入是437元； (2)437－400＝37(元)， 答：盈利了37元． 典例1 [2024·惠安县期末]计算：2eq \f(3,4)＋5eq \f(2,3)＋(－2.75)＋(－5eq \f(1,3))． 解：原式＝2eq \f(3,4)＋5eq \f(2,3)＋(－2eq \f(3,4))＋(－5eq \f(1,3))＝(2eq \f(3,4)－2eq \f(3,4))＋(5eq \f(2,3)－5eq \f(1,3)) ＝0＋eq \f(1,3) ＝eq \f(1,3). 变式 计算： (1)26＋(－14)＋(－16)＋18； (2)18.56＋(－5.16)＋(－1.44)＋5.16＋(－18.56)； (3)0.75＋0.125＋(－2eq \f(3,4))＋(－4eq \f(1,8))＋eq \f(1,2)； (4)(－1eq \f(1,3))＋1eq \f(1,2)＋(＋7eq \f(1,4))＋(－2eq \f(1,3))＋(－8eq \f(1,2))． (4)原式＝[(－1eq \f(1,3))＋(－2eq \f(1,3))]＋[1eq \f(1,2)＋(－8eq \f(1,2))]＋7eq \f(1,4) ＝(－3eq \f(2,3))＋(－7)＋7eq \f(1,4) ＝－10eq \f(2,3)＋7eq \f(1,4) ＝－3eq \f(5,12). $$2.3　有理数的乘方 第1课时　有理数的乘方 知识点1 有理数乘方的意义 一般地，n个相同的因数a相乘，记作“an”．这种求几个相同 因数的积的运算，叫作_____，乘方的结果叫作___．在“an” 中，a叫作_____，n叫作_____，“an”读作“a的n次方”；当 把“an”看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”． 乘方 幂 底数 指数 知识点2 有理数乘方的运算 正数的任何次幂都是_____，负数的_______是正数，负数的 _______是负数；0的任何正整数次幂都是__． 正数 偶次幂 奇次幂 0 考点1 有理数乘方的意义 典例1 比较(－2)2和－22，下列说法正确的是 ( ) A．它们的底数相同，指数也相同 B．它们的底数相同，但指数不相同 C．(－2)2>－22 D．(－2)2＝－22 思路导析 此题考查有理数乘方计算和乘方的定义，根据乘方的底数及指数定义判断A，B；计算乘方(－2)2＝4，－22＝－4，由此判断即可． 【注意】 (－2)2读作“负2的二次方”，表示2个－2相乘，结果是4. －22读作“2的二次方的相反数”，表示2个2相乘结果的相反数，结果是－4. 变式 (1)24中，底数是__，指数是__，表示__个__相乘； (2)(－ )2中，底数是____，指数是__，表示__个____相乘； (3)－52的底数是__，指数是__，读作__________________． 2 4 4 2 2 2 5 2 5的二次方的相反数 考点2 有理数乘方的运算 典例2 [2024·黄浦区期末]－33的计算结果是 ( ) A．－27 B．27 C．－9 D．9 思路导析 把有理数的乘方转化为有理数的乘法进行计算． 考点3 有理数乘方的应用 典例3 已知a，b都是实数，若(a＋2)2＋|b－1|＝0， 则(a＋b)2 023的值是____． －1 思路导析 绝对值和平方的结果都是非负数，几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0. 解析：因为(a＋2)2＋|b－1|＝0， 所以a＋2＝0，b－1＝0， 所以a＝－2，b＝1， 所以(a＋b)2 023＝(－1)2 023＝－1. eq \f(3,5) －eq \f(3,5) －eq \f(3,5) 变式 [2024·开封期末]下列各组数中，计算结果相等的是 ( ) A．(－2)2和－22 B．(eq \f(2,3))2和eq \f(22,3) C．－(－2)和－2 D．|－2|和|＋2| 变式 [2024·庐江县期末]一根1米长的绳子，第一次剪去它的三分之一，第二次再剪去剩下的三分之一，如此剪下去，第十次后剩下的绳子长度为 ( ) A．(eq \f(1,3))9米 B．(eq \f(1,3))10米 C．(eq \f(2,3))10米 D．(eq \f(2,3))9米 解析：第一次剪去后，剩下的绳子为1×(1－eq \f(1,3))＝1×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)(米)， 第二次剪去后，剩下的绳子为eq \f(2,3)×(1－eq \f(1,3))＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝(eq \f(2,3))2(米)， 第三次剪去后，剩下的绳子为(eq \f(2,3))2×(1－eq \f(1,3))＝(eq \f(2,3))2×eq \f(2,3)＝(eq \f(2,3))3(米)， …， 第十次剪去后，剩下的绳子为(eq \f(2,3))10米． $$2.4　有理数的混合运算 知识点 有理数混合运算的顺序 1．有理数的混合运算，先算_____，再算_____，最后算_____； 2．同级运算，按从___到___的顺序进行； 3．如果有括号，先算括号里面的，并按___括号、___括号、 ___括号的顺序进行． 乘方 乘除 加减 左 右 小 中 大 【注意】 在进行有理数的混合运算时，一定要按运算顺序进行才能提高运算结果的正确率． 考点1 有理数的混合运算 典例1 在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了 一道有理数运算题，你认为做对的同学是 ( ) 甲：9－32÷8＝0÷8＝0 乙：24－(4×32)＝24－4×6＝0 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 思路导析 一是明确运算顺序；二是明确运算法则；三是使用运算律简化计算． 考点2 有理数的简便计算 典例2 用简便方法计算： 思路导析 (1)原式前两项利用乘法分配律逆运算可简便运算； (2)原式先算括号外边的乘法，再利用乘法分配律计算即可得到 结果． 【易错易混】 有理数混合运算中要注意运算顺序，防止符号出现错误．运算时要注意两个转化，一是将式子中的带分数转化成假分数，二是将除法转化成乘法． 变式 [2024·郑州期末]学习了有理数的运算后，下面是小明同学的第①步运算过程： (1)在第①步的算式中用“〇”圈出来小明同学所有运算错误的地方； (2)请你完整地写出本题的正确运算过程． 考点3 有理数混合运算的实际应用 典例3 [2024·望花区期末]外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单(送一次外卖称为一单)的部分记为“＋”，低于50单的部分记为“－”，如表是该外卖小哥一周的送餐量记录： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量 (单位：单) －3 ＋4 －5 ＋14 －8 ＋7 ＋12 (1)根据表中的数据可知该外卖小哥周三的送餐量是_____单； (2)送餐最多的一天比送餐最少的一天多_____单； (3)该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ 思路导析 (1)根据周三的送餐量，用加法计算即可；(2)分别找出送餐最多和最少的一天，再利用减法计算；(3)用每天50单的标准总和，加上每天的出入量，再除以天数即可． 解：(1)45；(2)22； (3)[(50×7)＋(－3)＋4＋(－5)＋14＋(－8)＋7＋12]÷7＝53(单)， 答：外卖小哥这一周平均每天送餐53单． 变式 小明设计了一个如图所示的数值转换程序． (1)当输入a＝－5，b＝－3吋，求输出M的值为多少； (2)若a＝－3，M的值大于4，直接写出一个符合条件的b的值． 解：(1)由题意，得b2＝9，－a＝5， 因为b2>－a，所以M＝a2－3b＝(－5)2－3×(－3)＝34， 所以输出M的值为34； (2)由题意，得－a＝3， 当b＝1时，b2＝1，且b2<－a， 所以M＝|a－b|＋3＝|－3－1|＋3＝7>4， 所以b＝1符合条件． 丙：(36－12)÷eq \f(3,2)＝36×eq \f(2,3)－12×eq \f(2,3)＝16 丁：(－3)2÷eq \f(1,3)×3＝9÷1＝9 变式 计算：(1)16÷(－2)3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))×(－4)； (2)－32＋(－12)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－6÷(－1)2 024； (3)－14－(eq \f(7,12)－eq \f(5,6)＋eq \f(3,2))×24＋|－4|. 解：(1)16÷(－2)3－(－eq \f(1,8))×(－4)＝16÷(－8)－eq \f(1,2)＝－2－eq \f(1,2)＝－eq \f(5,2)； (2)－32＋(－12)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－6÷(－1)2 024＝－9＋(－12)×eq \f(1,2)－6÷1 ＝－9－6－6＝－21； (3)－14－(eq \f(7,12)－eq \f(5,6)＋eq \f(3,2))×24＋|－4| ＝－1－(eq \f(7,12)－eq \f(5,6)＋eq \f(3,2))×24＋4 ＝－1－(eq \f(7,12)×24－eq \f(5,6)×24＋eq \f(3,2)×24)＋4 ＝－1－(14－20＋36)＋4 ＝－1－30＋4 ＝－27. (1)－7×eq \f(5,4)＋(－5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)))－eq \f(2,5)； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(2,3)－\f(1,4)))×(－4)×6. 解：(1)原式＝－7×eq \f(5,4)＋5×eq \f(5,4)－eq \f(2,5)＝eq \f(5,4)×(－7＋5)－eq \f(2,5) ＝eq \f(5,4)×(－2)－eq \f(2,5)＝－eq \f(5,2)－eq \f(2,5)＝－eq \f(29,10)； (2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(2,3)－\f(1,4)))×(－24) ＝eq \f(1,2)×(－24)＋eq \f(2,3)×(－24)－eq \f(1,4)×(－24)＝－12－16＋6＝－22. 解：(1)如图所示： －32÷(－9)－eq \f(4,7)×(eq \f(5,4)＋eq \f(7,2)) ＝INCLUDEPICTURE"圈9图.tif" ÷(－9)－× eq \f(4,7)×eq \f(7,2)① (2)原式＝－9÷(－9)－eq \f(4,7)×eq \f(5,4)－eq \f(4,7)×eq \f(7,2)＝1－eq \f(5,7)－2＝－1eq \f(5,7). $$第3课时　有理数的减法 知识点 有理数的减法 1．减法法则：减去一个数，等于加上这个数的_______， 即a－b＝_________． 2．有理数减法运算的步骤： (1)改变运算符号，减法变加法； (2)改变性质符号，把减数变为它的相反数； (3)按照有理数加法法则进行计算． 相反数 a＋(－b) 【注意】 1．实际上“有理数的减法法则”是把“有理数的减法”转化 为“有理数的加法”，渗透了转化的数学思想． 2．在具体应用时要注意两变：一是减号变加号，二是减数变 为它的相反数． 考点1 有理数的减法 典例1 计算： (1)(＋6)－9；　(2)7.2－(－4.8)； (3)0－2 023；　(4)－ －(－ )． 思路导析 有理数的减法要根据法则转化为有理数的加法进行计算．注意两个变化：一是减号变加号，二是减数变相反数． 解：(1)原式＝(＋6)＋(－9)＝－3； (2)原式＝7.2＋4.8＝12； (3)原式＝0＋(－2 023)＝－2 023； (4)原式＝－ ＋ ＝0. 【易错易混】在减法运算中应注意运算符号与性质符号的区别，不要将运算符号的“减号”与负数的“负号”混淆，因此减号后面是负数的时候要注意给负数添上括号． 变式 [2024·闵行区期中]已知－13 减去一个数所得的差是 －4.5，求这个数． 考点2 多个有理数的减法 典例2 [2024·杨浦区期中]计算： 思路导析 在有理数的计算中如果有多个减法，需要把减法都统一为加法再进行计算． 考点3 有理数减法的实际应用 典例3 [2024·长沙]“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是－180 ℃，最高温度是150 ℃，则它能够耐受的温差是 ( ) A．－180 ℃ B．150 ℃ C．30 ℃ D．330 ℃ 变式 如表所示是某中学七年级5名学生的体重情况，试完成下列问题： (1)谁最重？谁最轻？ (2)最重的与最轻的相差多少？ 姓名 小颖 小明 小刚 小京 小宁 体重/千克 34 45 体重与平均体重的差 －7 ＋3 －4 0 解：(1)由表可知，平均体重为34－(－7)＝41(千克)， 所以小明的体重为44千克，小京的体重为37千克，小宁的体重为41千克， 所以小刚的体重最重，小颖的体重最轻； (2)45－34＝11(千克)， 所以最重的与最轻的相差11千克． eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) 解：由题意，得－13eq \f(1,4)－(－4.5) ＝－13eq \f(1,4)＋4.5 ＝－13eq \f(1,4)＋4eq \f(1,2) ＝－13eq \f(1,4)＋4eq \f(2,4) ＝－8eq \f(3,4). eq \f(1,4) (－1eq \f(4,5))－3.5－(－0.3)． 解：(－1eq \f(4,5))－3.5－(－0.3) ＝－1.8＋(－3.5)＋0.3＝－5.3＋0.3＝－5. 变式 计算：(－3eq \f(2,3))－(－2eq \f(3,4))＋3eq \f(2,3)－(＋1.75)． 解：原式＝(－3eq \f(2,3))＋2eq \f(3,4)＋3eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(3,4))) ＝(－3eq \f(2,3))＋3eq \f(2,3)＋2eq \f(3,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(3,4))) ＝0＋1 ＝1. $$