第二十四章 圆 精选易错题 2025-2026学年人教版数学九年级上册

……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十四章 圆 精选易错题 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共8题；共24分) 1．如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13cm，其中水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度是（　　） A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm 5．如图，线段是的直径，点是上一点，设，．若，，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆与、分别交于点E与点D，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（　　） A． B．3 C． D．4 二、填空题(共6题；共24分) 9．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是　 　 10．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 　 　． 11．如图， 是以 为直径的半圆周的三等分点， ，则阴影部分的面积为　 　 ． 12．如图，等边三角形内接于，若的度数是，则的长为　 　． 13．如图，是的弦，是上一动点，连接，，若的半径为5，，则三角形面积最大值为　 　． 14． 如图， A B 为 的直径， 且 ， 点 为 上半圆的一点， 于点 ， 的角平分线交 于点 ， 弦 ， 那么 的面积是　 　. 三、解答题(共6题；共52分) 15．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 16．如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点． （1）求证：点D为的中点． （2）若，求的半径长度． 17．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，． （1）求的长； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 18．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 19．如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 20．如图1，是的外接圆，连接，若 （1）求证：； （2）如图2，作交于D，的延长线交于E，若，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第二十四章 圆 精选易错题 2025-2026学年人教版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题(共8题；共24分) 1．如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 由圆周角定理得， 故答案为： B. 【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理解答. 2．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=25°， ∴∠BAC=90°-25°=65°， ∴∠BDC=∠BAC=65°. 故答案为：D. 【分析】根据圆周角定理可得∠BDC=∠BAC，∠ACB=90°，则∠BAC=90°-∠ABC=65°，据此解答. 3．如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵正六边形，是的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：C． 【分析】连接OC、OD、OQ、OE，由正n边形的中心角为“”可求出∠COD=∠DOE=60°，再根据等弧所对的圆心角相等得∠DOQ=30°，由角的构成得∠COQ=90°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠CPQ=∠COQ，从而即可得出答案. 4．如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13cm，其中水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度是（　　） A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】B 【解析】【解答】解：连接，过点O作交于点C交于D，如图所示： ∵， ∴， 在中，由勾股定理可知： ∴， ∴， 故答案为：B 【分析】连接，过点O作交于点C交于D，根据垂径定理得到，进而根据勾股定理即可求出OC，从而即可得到CD. 5．如图，线段是的直径，点是上一点，设，．若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：直径， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：A． 【分析】根据垂径定理得到，即可得到，然后根据圆内接四边形的性质求出，利用等边对等角得到，即可求出，进而得到，即可得到结论解题即可． 6．如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆与、分别交于点E与点D，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：在中， ∴ 过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图： ∴M为AE的中点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：D. 【分析】在中，根据勾股定理求出AB的长度，过C作CM⊥AB，交AB于点M，则M为AE的中点，根据等面积法求出CM的长度，进而再利用勾股定理求出AM的长度，进而得到AE的长度，进而即可求解. 7．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于，∠ABC=105°， ∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°， ∵，∠BAC=25°， ∴∠DCE=∠BAC=25°， ∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°， 故答案为：B. 【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再利用圆周角的性质可得∠DCE=∠BAC=25°，最后利用三角形外角的性质求出∠E的度数即可. 8．如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【解析】【解答】解：连接OQ， ∵PQ且圆O于点Q， ∴∠OQP=90°， ∵PQ=， ∵OQ为定值1， ∴当OP最小时，PQ的值最小， ∴当OP⊥AB时，OP最小，此时， ∵在中，，，， ∴tan60°=， ∴OB=2， ∴AB=， ∴， ∴OP=3， ∴PQ==. 故答案为：A。 【分析】连接OQ，根据切线的性质可得∠OQP=90°，从而根据勾股定理可得PQ=，根据圆的半径OQ为定值，可得出当当OP最小时，PQ的值最小，然后根据垂线段最短即可得出op的最小值，进一步求得此时PQ的长度，也就是PQ的最小值。 二、填空题(共6题；共24分) 9．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是　 　 【答案】 【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是1， ∴AC=2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∴在△ADC中，由勾股定理得， ， ， ∴， 故答案为：． 【分析】利用正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=90°，再利用勾股定理解题即可． 10．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】利用圆内接四边形的对角互补即可解题． 11．如图， 是以 为直径的半圆周的三等分点， ，则阴影部分的面积为　 　 ． 【答案】 【解析】【解答】解：连接CO、DO， ∵ 是以 为直径的半圆周的三等分点 ，∴∠COA=∠COD=∠DOB=180°÷3=60°， 而OC=OC=OD，∴△COA和△COD是等边三角形。 ∴∠COA=∠OCD=60°，因此CD∥AB，∴ S△CAD=S△COD，因此阴影部分的面积=cm2 故答案为：。 【分析】本题首先对阴影部分进行割补，利用圆周三等分点、等边三角形的性质特点，证明出S△CAD=S△COD，最后求出半圆的面积即可。 12．如图，等边三角形内接于，若的度数是，则的长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵等边三角形内接于，若的度数是， ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴中， ∴ ∴ 故答案为：． 【分析】连接，过点作于点，得出，，，即可得到，，然后利用勾股定理求出DE解题即可． 13．如图，是的弦，是上一动点，连接，，若的半径为5，，则三角形面积最大值为　 　． 【答案】32 【解析】【解答】解：如图，过点作的垂线，垂足为，延长交于点， 连接，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴点到距离的最大值为8， ∴面积的最大值为． 故答案为：32． 【分析】过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，，根据垂径定理可得AD=4，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出OD的值，就是点到的最大距离，的面积就是的最大面积，即可求解. 14． 如图， A B 为 的直径， 且 ， 点 为 上半圆的一点， 于点 ， 的角平分线交 于点 ， 弦 ， 那么 的面积是　 　. 【答案】85 【解析】【解答】解：延长CE、CO交圆于点F、G， ∵CD平分∠OCE， ∴∠DCF=∠DCG ∴ ∵∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBA=90° ∴∠ACE=∠CBA ∵OC=OB ∴∠OCB=∠OBC ∴OCB=ACE ∴ ∴ ∴∠BCD=45° 在CB延长线上取点M，使BM=AC，连接DM ∵∠CAD+∠CBD=180°，∠CBD+∠DBM=180° ∴∠CAD=∠DBM 又∵AD=BD ∴△DAC≌△DBM(SAS) ∴∠ADC=∠BDM ∵∠ADC+∠CDB=90° ∴∠CDB+∠BDM=90°，即∠CDM=90° ∴△CDM为等腰直角三角形 作DH⊥CM于点H ∴DH=CH=MH=17 ∴ 故△ACD的面积为85. 故答案为：85. 【分析】延长CE、CO，由角平分线得，导角知∠ACE=∠CBA得，得，得∠BCD=45°，利用邻边相等对角互补模型在CB延长线上取点M，使BM=AC，连接DM，得△CDM为等腰直角三角形，即可得△ACD的面积. 三、解答题(共6题；共52分) 15．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）解：，， ． ， ， ． ​​​​​​​ （2）过点作的垂线，垂足为， ，， 是等边三角形， ，． 又， ， ， ． 又， ． 【解析】【分析】（1）先求出的度数，根据等边对等角可得，然后利用外角性质解题． （2）过点作的垂线，然后求出△ACD的面积，再根据计算即可． （1）解：，， ． ， ， ． （2）过点作的垂线，垂足为， ，， 是等边三角形， ，． 又， ， ， ． 又， ． 16．如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点． （1）求证：点D为的中点． （2）若，求的半径长度． 【答案】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点D为的中点 （2）解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为13 【解析】【分析】（1）由圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得，由平行线的性质可得，然后根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”可求解； （2）根据垂径定理得到，然后用勾股定理可得关于OA的方程，解方程即可求解. （1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点D为的中点； （2）解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为13． 17．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，． （1）求的长； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 【答案】（1）解：作，垂足为E， 由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点， ∴，， ∴ （2）解： 连接，∵在中，， ∴． 在中， ∵， ∴． 即小圆的半径为 【解析】【分析】（1）当作之后，根据垂径定理得到，，计算即可得到的长； （2）连接，在和中，利用勾股定理即可计算出小圆的半径. （1）解：作，垂足为E， 由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点， ∴，， ∴； （2）连接， ∵在中，， ∴． 在中， ∵， ∴． 即小圆的半径为． 18．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 【答案】（1）证明：过点作，垂足为，如图， 以点为圆心，长为半径的与相切于点， ， 平分，， 是的半径，又，是的切线； （2）解：由（1）知， 根据勾股定理，得， ，均为的切线，切点分别为和， 设的半径为，则，，， 在中，根据勾股定理，得，即， 解得，即． ． 【解析】【分析】（1）过点O作，根据角平分线的性质定理可得OE=OB，再根据切线的判定定理求证即可； （2）用勾股定理求出BC的长度，设的半径为，用r的代数式表示线段OE、OC的长度，在中，用勾股定理建立方程求解即可． 19．如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 【答案】（1）解：如下图，连接， 与相切于点E， ， ， ， ， 是的半径，， 与相切于点C， ， 在和中，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ，且， ， 解得：， ， ， 点O、点A都在线段的垂直平分线上， 垂直平分， ， ， ， ， 线段，的长分别是1、． 【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，接着证明与相切于点C，即，然后利用"HL"证明，得到，进而即可求解； （2）利用勾股定理求出BC的长度，进而得到OA的长度，然后利用等面积法证明，进而可求出OC的长度，再证明垂直平分，则，据此即可求出CE的长度，进而即可求解. 20．如图1，是的外接圆，连接，若 （1）求证：； （2）如图2，作交于D，的延长线交于E，若，求线段的长． 【答案】（1）证明：连接并延长交于T，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）解：延长并交于F，连接，如图所示： ∵交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中 ∴ 故答案为：. 【解析】【分析】（1）连接并延长交于T，先证出垂直平分，再利用垂直平分线的性质可得； （2）延长并交于F，连接，先利用角的运算及等量代换求出，再利用等角对等边的性质可得，利用线段的和差求出OE的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$