第1章 有理数课件 2025-2026学年 青岛版（2024）七年级数学上册

1.2　有理数 知识点 有理数 1．定义：_______、___和_______统称整数，_______和_______ 统称分数，_____和_____统称有理数． 正整数 零 负整数 正分数 负分数 整数 分数 2．有理数的分类 ①按定义分 ②按性质分 【注意】 1．具有相反意义的量用正、负数表示，但不是带“＋”号的数就是正数，带“－”号的数就是负数； 2．正数前面的正号“＋”可以省略，如＋5＝5； 3．0既不是正数，也不是负数； 4．π等无限不循环小数不是有理数． 【名师点拨】 非负数指正数和零；非正数指负数和零；非负整数指正整数和零；非正整数指负整数和零． 考点 有理数的概念及其分类 典例 [2024·黔东南州期末]把下列各数填在相应的大括号内： 正数集：{____________________________…}； 非负整数集：{________________________…}； 负分数集：{__________________________…}； 有理数集：{__________________________…}． 思路导析 本题考查了有理数，熟悉有理数的分类是解题的关键．特别注意0不是正数，非负整数指正整数和零，无限不循环小数不是有理数． 变式1 下列说法中，错误的个数是 ( ) ①正有理数和负有理数统称为有理数 ②负整数和负分数统称为负有理数 ③正整数和负整数统称为整数 ④0是整数，但不是分数 A．1 　 B．2 　 C．3 　 D．0 变式2 将一串有理数按下列规律排列，回答问题： 变式3 在表中适当的空格画“√”． 5，－2，1.4，－eq \f(2,3)，－0.1eq \o(4,\s\up15(·))，0，－3.141 59，eq \f(π,2)， 0.101 001 000 1……(每两个1之间逐次增加一个0)． 解：正数集：{5，1.4，eq \f(π,2)，0.101 001 0001……(每两个1之间逐次增加一个0)…}； 非负整数集：{5，0…}； 负分数集：{－3.141 59，－eq \f(2,3)，－0.1eq \o(4,\s\up12(·))…}； 有理数集：{5，－2，1.4，－eq \f(2,3)，－0.1eq \o(4,\s\up12(·))，0，－3.141 59…}． eq \f(1,2)，－eq \f(2,3)，eq \f(1,4)，－eq \f(4,5)，eq \f(1,6)，－eq \f(6,7)，…. 问题：第2 024个数是_______． －eq \f(2 024,2 025) $$第2课时　绝对值 知识点 绝对值 1．定义：数轴上，表示数a的点到原点的_____叫作这个数的 绝对值，记作|a|. 2．性质：一个正数的绝对值是_______，一个负数的绝对值是 ___________，0的绝对值是__． 3．互为相反数的两个数的绝对值_____． 距离 它本身 它的相反数 0 相等 考点1 绝对值 典例1 [2024·滨州]－ 的绝对值是 ( ) 思路导析 直接根据绝对值的性质解答即可． 变式 [2024·通州区期末]一个有理数的绝对值是2，则这个 数是 ( ) A．2 B．－2 C．±2 D. 考点2 绝对值的非负性 典例2 已知|a－1|＋|b－3|＝0，则a＝__，b＝__． 1 3 思路导析 根据非负数的性质“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都等于0”进行计算即可． 变式 若|a－3|＋|b－a|＝0，求a和b的值． 解：因为|a－3|＋|b－a|＝0， 所以|a－3|＝0且|b－a|＝0， 所以a－3＝0，b－a＝0， 所以a＝3，b＝3. A．2 B．－2 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) $$1.3　数轴 知识点1 数轴的概念 规定了_____、_________、_______的直线叫作数轴． 知识点2 数轴的画法 1．画：画一条_____(一般把它画成水平的)； 2．取：在这条直线上任意取一点表示数0，这个点叫作_____； 3．定：规定_____________________________(习惯上取从左向 右的方向)，那么另一侧的方向就是负方向； 原点 单位长度 正方向 直线 原点 自原点开始一侧的方向为正方向 4．标：选取适当长度作为_________； 5．按照取定的单位长度，直线上从原点向正方向每隔一个单位 长度取一点，依次表示1，2，3，…；从原点向负方向，用类似 的方法依次表示－1，－2，－3，…(如图所示)． 单位长度 【规律总结】数轴概念包含三层含义： 1．数轴是一条直线，可以向两端无限延伸； 2．数轴有三要素：原点、单位长度、正方向； 3．“规定”二字，是说原点的位置、单位长度的大小、正方向 的选取都是根据实际需要规定的． 知识点3 有理数与数轴 1．任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示，但数 轴上的点不都表示有理数． 2．在数轴上，表示正数和负数的点分别位于原点的两侧，所 有正数对应的点一般情况下都在数轴上原点的_____，所有负 数对应的点一般情况下都在数轴上原点的_____，0对应的点 就是原点． 右边 左边 考点1 数轴的定义与画法 典例1 [2024·百色期末]下列数轴正确的是 ( ) 思路导析 本题考查了数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫作数轴．根据数轴的三要素即可解答． 变式 下列关于数轴的说法，正确的是 ( ) A．数轴是一条规定了原点和正方向的射线 B．数轴的正方向一定向右 C．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素 D．数轴的单位长度不一定统一 考点2 有理数和数轴上的点之间的关系 典例2 [2024·北京期中]在图中将数轴补充完整，并将下列各 数在数轴上表示出来：＋3，－4，－2.5，0，1， 思路导析 本题考查了数轴上的点与有理数的关系，在数轴上表示各数即可． 解：如图所示： 变式 如图，点A表示的数是－5. (1)在数轴上表示出原点O； (2)指出点B表示的数； (3)点C在数轴上，与点B的距离为3个单位长度，那么点C表示什么数？ 解：(1)原点在点A的右侧，距离点A 5个单位长度，如图： (2)点B在原点的右侧距离原点 2个单位长度，因此点B所表示的数为2； (3)①当点C在点B的左侧时，由图可知，当点C表示的数为－1时，点B与点C距离3个单位长度； ②当点C在点B的右侧时，由图可知，当点C表示的数为5时，点B与点C距离3个单位长度． 因此点C表示的数为－1或5. 考点3 有理数的实际应用 典例3 [2024·漳平期中]国庆放假期间，小明骑车从家里出发，先向西骑行2 km到达小华家，继续向西骑行1.5 km到达小方家，然后向东骑行5 km，到达小红家，最后回家． (1)以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示 1 km，画出数轴，并在该数轴上用点A，B，C分别表示出小华家、小方家、小红家的位置； (2)小明共骑行了多少千米？ 思路导析 (1)按要求构造数轴，用几何方法借助数轴来求解；(2)根据题意列出算式，即可得出答案． 解：(1)A，B，C表示小华家、小方家、小红家的位置如图所示： (2)因为2＋1.5＋5＋1.5＝10(km)， 所以小明共骑行了10千米． 变式 [2024·开原期末]一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走1.5千米到达商场C，又向西走了5.5千米到达超市D，最后回到货场． (1)以货场为原点，以东为正方向，用一个单位长度表示1千米，你能在数轴上分别表示出货场A，批发部B，商场C，超市D的位置吗？ (2)超市D距货场A多远？ (3)此款货车每千米耗油约0.1 升，每升汽油6.20元，请你计 算他需多少汽油费． 解：(1)如图所示： (2)AD＝2 km； (3)(2＋1.5＋5.5＋2)×0.1×6.2＝6.82(元)， 答：他需6.82元汽油费． eq \f(5,2)，－4eq \f(1,2). $$第1章 有理数 1.1　正数和负数 知识点 正数和负数 规定：像＋1，＋0.3%，＋ ，＋2这样的数叫作_____．符号 “＋”称为正号，读作“正”，如“＋1”读作“正一”．一 般来说，“＋”可以省略． 像－3，－ ，－0.01这样的数叫作_____．符号“－”称为负 号，读作“负”，如“－3”读作“负三”． __既不是正数也不是负数． 正数 负数 0 考点1 正数和负数 典例1 [2024·湖北]在实际生产生活中，经常用正数、负数表示具有相反意义的量，如果把收入20元记作＋20元，那么支出10元记作 ( ) A．＋10元 B．－10元 C．＋20元 D．－20元 思路导析 解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 变式 [2024·嵩县期中]如图，一名跳水运动员 参加10 m跳台的跳水比赛(10 m跳台是指跳台离 水面的高度为10 m)，这名运动员的身高为 1.75 m，跳水池池深为5.4 m(规定向上为正)． (1)若以水面为基准，则这名运动员头顶的高度及池底的深度分别如何表示？ (2)若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？ 解：(1)这名运动员的身高为1.75 m，跳水池池深为5.4 m(规定向上为正)，若以水面为基准，这名运动员头顶离水面的高度为10＋1.75＝11.75(m)，表示为＋11.75 m，池底的深度表示为－5.4 m； (2)以跳台为基准，池底距跳台10＋5.4＝15.4(m)，则池底的深度表示为－15.4 m，水面的高度表示为－10 m. 考点2 正数和负数的实际应用 典例2 2024年巴黎奥运会已经开幕，除了运动员外，“中国 制造”的体育装备在赛场上也是“大放异彩”．本次乒乓球比 赛中，所有的乒乓球全部来自广东的一家体育用品企业，所采 用的乒乓球的标准尺寸是40 mm±0.05 mm，下列尺寸的乒乓球 中哪一个是不合格的 ( ) A．40.06 mm B．40.02 mm C．39.97 mm D．39.95 mm 思路导析 由标准得出范围39.95～40.05，即可求解． 变式 [2024·盘龙区期末]每年10月的第二个星期四是世界视力 日，爱护视力，从己做起．验光时，验光师通常会以“×××D” 的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“－0.50D”， 近视100度记录为“－1.00D”．现有5位同学的验光记录如下： －1.45D，－2.80D，－0.75D，－1.05D，－2.35D.通常，近视 超过200度时就要持续佩戴眼镜进行视力矫正．在这5位同学中， 需要持续佩戴眼镜的同学有 ( ) A．0位 B．1位 C．2位 D．3位 eq \f(1,3) eq \f(1,4) $$1.4　相反数与绝对值 第1课时　相反数 知识点 相反数 1．定义：只有_____不同的两个数叫作互为相反数，其中一个 数叫作另一个数的相反数．特别地，0的相反数是__． 2．几何意义：在数轴上，表示一个非零数与它的相反数的两个 点分别位于原点_____，并且与原点的距离_____． 符号 0 两侧 相等 如图所示，－1和＋1，＋2.5和－2.5就互为相反数，它们所对 应的点到原点的距离分别是1，2.5. 3．表示方法：一般地，a的相反数是____，a可以是_____，可以 是_____，可以是__． 4．求一个数的相反数：在任意一个数的前面添上___号，新的数 就表示原数的相反数． －a 正数 负数 0 负 【注意】 1．互为相反数的两个数一定是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数； 2．任何一个数都有相反数，而且只有一个． 3．－a不一定是负数，因为a可以表示任意有理数，应分类讨论． 考点1 相反数 典例1 [2024·绥化]实数－ 的相反数是 ( ) A．2 025 B．－2 025 C．－ D. 思路导析 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数，可得答案． 【规律总结】相反数的表示方法：a的相反数表示为－a，其中a表示任意的一个数，可以是正数、负数或者是0，所以－a不一定是负数．当a＞0时，－a＜0；当a＜0时，－a＞0；当a＝0时，－a＝0. 变式 下列有关相反数的说法正确的是 ( ) A．－ 和0.25不互为相反数 B．－3是相反数 C．任何一个数都有相反数 D．正数与负数互为相反数 考点2 相反数的化简 典例2 [2023·赤峰]化简－(－20)，结果是 ( ) 思路导析 利用相反数的定义化简即可． 【规律总结】多重负号化简的方法：一个数前面有偶数个负号，结果为正； 一个数前面有奇数个负号，结果为负． 变式 化简： (1)－(－7); (2)－(＋0.25)； (3)＋(－2.2); (4)＋(＋ )． 解：(1)－(－7)＝7； (2)－(＋0.25)＝－0.25； (3)＋(－2.2)＝－2.2； (4)＋(＋ )＝ . eq \f(1,2 025) eq \f(1,2 025) eq \f(1,2 025) eq \f(1,4) A．－eq \f(1,20) B．20 C.eq \f(1,20) D．－20 eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) $$1.5　有理数的大小 知识点1 利用数轴比较有理数的大小 在数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数___． 知识点2 正数、0、负数的大小关系 正数_____0，负数_____0，正数_____负数． 两个负数，绝对值大的反而___． 大 大于 小于 大于 小 考点1 利用数轴比较有理数的大小 典例1 在数轴上标出下列各数，并用“<”连接起来． ＋2，－2.5，1 ，－1.5，－0.7. 思路导析 先把各数在数轴上表示出来，再根据左边的数比右边的数小进行大小比较． 解：把＋2，－2.5，1 ，－1.5，－0.7在数轴上表示如图： 所以－2.5<－1.5<－0.7<1 <＋2. 变式 [2024·交城县期中]已知六个有理数： 解答下列问题： (1)互为相反数的一组数是___________； (2)将上述六个有理数表示在如图所示的数轴上； (3)将上述六个有理数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 解：(1)－4与|－4|； (2)如图所示： (3)由(2)数轴，得 考点2 正数、0、负数的大小比较 典例2 [2024·饶平县期末]比较大小： < 思路导析 两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(5,2)，0，－4，－(－eq \f(1,2))， －eq \f(3,2)，|－4|， －4＜－eq \f(3,2)＜0＜－(－eq \f(1,2))＜eq \f(5,2)＜|－4|. －eq \f(4,3)___－eq \f(5,4). 变式 [2024·陵川县三模]在有理数－1，－eq \f(1,7)，－2，－eq \f(1,5)中，最大的数是 ( ) A．－1 B．－eq \f(1,7) C．－2 D．－eq \f(1,5) $$