江西省赣州市宁都中学2025届高三下学期第五次半月考数学试题

宁都中学2025届高三下学期第五次半月考数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知复数满足，则的最小值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（ ） A. B. C. D. 4. 展开式中的系数为（ ） A. 14 B. 20 C. 25 D. 28 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与相交于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C. 已知是随机变量，则 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，其“欧拉线”为，圆，则（ ） A. 过作圆的切线，切点为，则的最小值为4 B. 若直线被圆截得的弦长为2，则 C. 若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则 D. 存在，使圆上有三个点到的距离都为1 11. 已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，球的半径为4，，二面角的大小为，则（ ） A. 是钝角三角形 B. 直线与平面所成角为定值 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若函数（，且）是偶函数，且，则______. 13. 为吸引顾客，某大型超市开业期间租了含甲、乙在内的五个迎宾机器人，现将这五个机器人分别分配到一、二、三楼担任迎宾工作，若要求每个楼层至少分配一个机器人，一个机器人只能去一个楼层，且机器人甲、乙不在同一个楼层，则不同的分配方法种数为________.(用数字作答) 14. 在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为______. 四、解答题 15. 设为数列的前项和，且是和8的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为，证明：. 16. 圆锥 如图所示， 是顶点， ， 是底面圆 上的两条相互垂直的直径，点 在 上. （1）求证: ； （2）若 且 ，求直线 与平面 所成角的余弦值. 17. 已知函数（，且）. （1）若，直线与曲线和曲线都相切，求的值； （2）若，求的取值范围. 18. 已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球． （1）若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率； （2）设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球． ①求； ②证明：． 19. 已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”． （1）证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式． （2）证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． （3）若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求． 宁都中学2025届高三下学期第五次半月考数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】114 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1） （2）因为，得， 所以. 由于，得， 得， 所以. 【16题答案】 【答案】（1）证明：由圆锥知， 又，， 平面，平面， 所以平面，平面， 故，又是中点， 即是线段的垂直平分线， 故． （2）． 【17题答案】 【答案】（1）8 （2） 【18题答案】 【答案】（1），，； （2）①； ②由定义及全概率公式知， ， 所以. 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析，（或）． （2）证明见解析 （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $宁都中学2025%高三下学期第五次半月考数学试卷 一、单选题 1.设集合A={0,1,2,3},B={x2*<7},则A⌒B的元素个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【分析】由题意可知x<log27<3,可求交集，进而可得结论 【详解】由2*<7，可得x<log27<1og28=3, 所以A∩B={0,1,2,3}∩{x|x<log27}={0,1,2} 故AOB的元素个数为3. 故选：B 2.已知复数z满足-2=1，则的最小值为 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【详解】分析：设z=x+i,y∈R),根据E-21=1,可得(c,y)的轨迹方程，代入z=Vx2+y2, 即可得出 详解：设z=x+yi(x,y∈R),-2=1, ∴x+0y-2)=1,∴Vx2+0y-2y=1, .x2=1-(y-2)2y∈[1,3])， 则1z√2+y=V1-0w-22+y2=V4y-32√4-3=1. 当y=1时取等号. 故选：B 点睛：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、一次函数的单调性，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题。 3.声强级L,（单位：dB)由公式，=1010-给出，其中1为声强（单位：w/m) 轻柔音乐的声强一般在108~10W/m之间，则轻柔音乐的声强级范围是() 试卷第1页，共24页 A.0~20dB B.20~40dB C.4060dB D.60~80dB 【答案】C 【分折】依题意可得10≤1≤10，即可求出g乙的范围。从而得解 【详解】依题意可得108≤1≤106，所以104≤ 0s10,所以4sg0s6， I 所以40≤101g10≤60，即轻柔音乐的声强级范围是40~60dB. 故选：C 4.(+展开式中x的系数为《) A.14 B.20 C.25 D.28 【答案】A 【分折】先利用二项式定理求得：展开式中与？的系数，从而可求符1宁}山+ 展开式中x的系数 【详解】因为(1+x)展开式的通项公式为T,+1=C6x(=0,1,2,3,4,5,6), 所以(1+x)展开式中x3的系数为C6=20,x的系数为C=6, 因此1是)1+展开式的系数为20-6=14。 故选：A 5,已知吗 cose tan20= V1+sin28’ 则tan6=() A B.2 C.2 D.3 【答案】A 【分析】根据角的范围利用二倍角公式将表达式化简计算可得2tan0=1-tan0,即求出结 果 【详解】由θ∈ 0, 2 可得sin8>0,cosθ>0， +sin20=Jsin'0+cos20+2sin 0cos=(sin0+cose)'=sin0+cos0, 又易知tan20= 2 tan 0 1 因此可得 2tan 0 cos0 1-tan20 1-tan20 sin +cos 0 tan 0+1' 试卷第2页，共24页 2tane 1 即可得1-tam9)1+tan0)tan0+T' 所以2tan0=l-tan6,解得tan日= 故选：A e,x≤0， 6.已知函数f(x)= a 若函数g(x)=f(x)a恰有2个零点，则实数a的取值范围 x>0, 是() A.（-0,0) B.(0 c.(0,4 D.(4,+0) 【答案】B 【分析】当x>0时，对函数y=x-口求导，对参数a的取值进行分类讨论，大致画出分段 函数的图象，再由数形结合即可得出实数a的取值范围. 【详解】易知当x≤0时，函数y=e单调递增，且y=ee(0,; 当x>0时函数y=x-0,易知y=1+9=+0 +x=x 显然当a≥0时，y>0恒成立，即y=x-在(Q+)上单调递增： 当x→0时，y→-0；当x→∞时，y→+0， 此时函数f(x)的图象大致如下图所示： y=f(x) 若函数g(x)=f(x)-a恰有2个零点，即函数f(x)的图象与y=a有两个交点， 由上图可知a∈(0，； 当a<0时，根据对勾函数性质可知y=x-C=x+-口≥2√a, 当且仅当x=√一a时，等号成立； 此时其图象大致如下图： 试卷第3页，共24页 y=f(x) y=a 显然函数f(x)的图象与y=a没有交点，不合题意； 综上可知，实数a的取值范围是(0， 故选：B 7已知梢国C号+长=a>60的左，右焦点分别为R.过5的直线与C相交于L日 两点，且AE=AB,BF=a,则C的离心率为() C.6 D. 6 3 【答案】D 【分析】设4=m,利用椭圆的定义可得m-0,在△R,△BS中，由余弦定理 可得(2c}+a2-a2( 0, 可求离心率」 2x2c×a 2x2cx-a 【详解】由题意作出图形如图所示： y B 设AE=m,又AE+A=2a,所以AE=2a-AF=2a-m, 又B+BF=2a,BE=a,所以BE=a,所以AB=a+m, 1 又因为4E=4B,所以a+m=2a-m,解得m=2a, 所以-2a-0-, 试卷第4页，共24页 在△AFE中，由余弦定理可得cos∠AEE= ✉+-j 2x2c×2a 在△BFE中，由余弦定理可得cos∠BF,E= 2c}+a2-a 2×2c×a 因为cos∠AFF+cos∠BFF=0, mto-e 2×2cxa 2x2c×20 整理得12c2-402=0,所以S=,解得e=S-5 a23 a 3 故选：D, 8.已知函数fx)=sinx+sin2x+2(x-)在[-2元，2对上的所有极值点从小到大依次记为 X,为，，xn, 则∑f(x)=() A.-32 B.-16 C.-8 D.-4 【答案】B 【分折】题可得/儿)授值点满足心x号或c0sx=分由此画出)=6o图象，可得极值 1 点个数，进而可得公如5-衫如2-2空50，报此可得裕案 38 【详解】f'(x)=cosx+3cos2x+2=cosx+3(2cos2x-1)+2=6cos2x+cosx-1=0 →(6cosx-l02cox+)-=0,则osx-或cosx=号 如图，画出y=cosx图象， 结合图象可知在x两侧附近∫'(x)正负相反，可得极值点有8个 则xx:x4,x;x2,x7;x3,x6互为相反数，因sinx+sin(-x)=0, 则立-2n2x0,又注感到2=0， 试卷第5页，共24页 则6)-gm+2m2+2空16=6 i= 2 故选：B 二、多选题 9.下面说法正确的是() A.若数据2x,2x,,2x6的方差为8，则数据X1,2,,6的方差为4 B.若a,a2,,a,是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C.己知X是随机变量，则E(X)≥E(X) D.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数”的值越接近于1 【答案】BC 【分析】利用方差的性质判断A;根据等差数列的性质及中位数定义判断B;根据 D(X)=E(X)-[E(X)]≥0判断C;由相关系数的实际意义判断D, 【详解】A:由数据2,2x,,26的方差为8，则数据x,,,6的方差×8=2， A 错； B:对于等差数列{an}, 若正整数m+k=p+q,则am+a:=ap+ag, 若正整数m+k=2p,则am+as=a2p, 又等差数列的平均数为了=1+a, n 2 结合中位数定义及等差数列的性质，易知中位数也为十，对： 2 C:由于一组数据的方差D(X)≥0，且Dx)=Ex-[Ex],则E(X)≥E2(X),对： D:若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1， 错 故选：BC 10.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这 条直线被后人称为三角形的“欧拉线”若△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,4), 试卷第6页，共24页 B(-1,2),C(1,0),其“欧拉线”为1，圆M:(x-a)2+y2=1,则() A.过A作圆M的切线，切点为P,则AP的最小值为4 B.若直线1被圆M截得的弦长为2，则a=-1 C.若圆M上有且只有两个点到1的距离都为1，则-1-2√2<a<-1+2√2 D.存在a,使圆M上有三个点到1的距离都为1 【答案】BC 【分析】A项，利用勾股定理写出AP的表达式，即可求出AP的最小值；B项，求出直线 I的解析式，得出圆的位置，即可得出结论；C项，根据圆M上有且只有两个点到I的距离， 得出圆心M(α，0)到直线1的距离小于直径，结合距离公式即可得出结论；D项，由几何知 识即可得出结论. 【详解】由题意， △ABC的三个顶点坐标分别为A(3,4),B(-1,2),C(L,0), 在圆M:(x-a)2+y2=1中，M(a,0),半径R=PM=1 14M=V3-a}+(4-0=V3-a}+16, A项， 过A作圆M的切线，切点为P,如图所示， ∴.AP⊥PM,AM=Va2+b 在Rt△APM中，由勾股定理得，AP=VAM2-PM ∴4P=M2-pm-3-a'+16-=a-3y+I5 ∴当a=3时，4取最小值，AP=V5,故A错误； 试卷第7页，共24页 B项， 重心坐标G 3-1+14+2+0 3，3 即G(1,2), AB所在直线：y-4= -，即y 4-2 5 线段AB的中点D(1,3), .AB的垂直平分线为：y=-2x+5, 同理可得，4C的垂直平分线为：y=-x x+3, 2 [y=-2x+5 4 3 解得 y= 23 7 y3 ∴.外心E引 47 33 由几何知识得，垂心与外心重合， 1 2 ∴.1过G(1,2)和E 含3》1y-2=是c-.即y=1, 47 -1 3 直线1被圆M截得的弦长为2，恰好为圆的直径， .直线过圆心 ∴.M(-1,0),即a=-1,B正确： C项，圆M上有且只有两个点到1的距离都为1， ∴.圆心M(a,0)到直线：y=x+1即x-y+1=0的距离小于直径. a-0+ V2+(-)2 <2,解得：-22-1<a<2W反-1，故C正确： D项，由几何知识得， 圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1，故D错误； 试卷第8页，共24页 故选：BC 11.已知A,B是球O的球面上两点，C为该球面上的动点，球O的半径为4，OA.OB=0, 二面角0-AB-C的大小为120°，则() A.△ABC是钝角三角形 B.直线OC与平面ABC所成角为定值 C.三棱锥O-ABC的体积的最大值为8√互 D.三棱锥0-4BC的外接球的表面积为128， 3 x 【答案】ABD 【分析]根据题意可得固定平面OAB,求出各线段长度，结合圆内接四边形可求得∠4CB> π 即A正确，利用线面角定义作出其平面角可得B正确，由三棱锥锥体体积公式计算可得可 判断C错误，求得三棱锥O-ABC的外接球的球心位置和半径即可求得D正确。 【详解】如下图所示： 易知OA=OB=OC=4,由OA.OB=0可得OA⊥OB; 固定平面OAB,由二面角O-AB-C的大小为120°可知C为一个与平面OAB夹角为60°的平 面与O的交点（在AB的右侧）， 如图中过平面ABC的虚线形成的劣弧ACB所示： 取AB的中点为M,作OP⊥平面ABC,则有∠OMP=60°， 又易知OM=22,PM=√2，Op=6,HP上0， 如下图所示： 试卷第9页，共24页 B M H C在劣弧AB上运动， 对于A,易知∠ACB=-∠ADB=-∠PM>7,因此可得△，4BC是钝角三角形，即A正 确： 对于B,设直线OC与平面ABC所成的角为B, OPI 则tane 6 65 PC √2-OPV105,为定值，即B正确： 对于C,作CH⊥AB, 易知三棱锥O-ABC的体积的最大值为 6ccb-H点4w4+(而-)即c 错误； 对于D,设三棱锥O-ABC的外接球的球心为Q,如下图： 光 A 由于P是△ABC的外心，则PQ⊥平面ABC,因此O,P,Q三点共线， 设0g=r, 在Ap中由殿定可-同可-阿可-，据特7名 因此三棱锥0-ABC的外接球的表面积为4m2=4×64-128元，即D正确。 63 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题目条件固定平面OAB,再根据二面角大小求得 线段长度得出C点轨迹，再结合线面角、外接球等进行计算即可. 试卷第10页，共24页 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 12.若函数f(x)=1ogax-m(a>0,且a≠1)是偶函数，且f(-2)=2,则a= 【答案】√ 【分析】利用偶函数的定义可求得m=0,进而可得2=log-2,计算可求得a的值. 【详解】因为f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x),可得loga-x-m=logax-川， 所以x-m=x-m,所以-x-m=x-m或-x-m+x-m=0, 则2x=0(舍去)或m=0,所以∫(x)=log x, 又f(-2)=2,所以2=l0g-2,所以a2=2,又a>0,解得a=√5 故答案为：√2 13.为吸引顾客，某大型超市开业期间租了含甲、乙在内的五个迎宾机器人，现将这五个机 器人分别分配到一、二、三楼担任迎宾工作，若要求每个楼层至少分配一个机器人，一个机 器人只能去一个楼层，且机器人甲、乙不在同一个楼层，则不同的分配方法种数 为 (用数字作答) 【答案】114 【分析】可以采取间接方法，在所有分配方法中减去不符合要求的分配方法，即为满足条件 的分配方法数 【详解】所有可能的分配方法数为：若一个楼层分配三个机器人，其余两个楼层分配一个， 则总数 CC.A=60种， 若一个楼层分配一个机器人，其它两个楼层每层分配两个机器人， 则分配方法的总数 CCA=90种，两者相加可得所有分配方法总数为150种， A 甲、乙在同一个楼层的分配方法可计算如下： 先从三个楼层中选一个楼层安排机器人甲、乙，有C=3种分法， 试卷第11页，共24页 若剩下三个机器人分配到其余两个楼层， 可以先在三个机器人中选择两个一组，再在两个楼层中选择一层楼分配这两个机器人， 有CC=6种分法， 若剩下的三个机器人分配到三个楼层，有A:=6种分法， 故甲、乙在同一个楼层的不同的分配方法种数为3×(6+6)=36种， 所以甲、乙不在同一个楼层的不同分配方法数为150-36=114种. 故答案为：114. 14.在平面四边形ABCD中，AC=AD=4,∠CAD=60°，∠ABC=90°，若△ABD的面积是 △BCD的面积的2倍，则BD的长度为一 【答案】2W万 【分析】如图建立直角坐标系，设AC,BD交点为E,由△ABD的面积是△BCD的面积的 2倍可得E坐标，然后由B,E,D三点共线结合AC=4可得B点坐标，即可得答案 【详解】如图，以D点为原点，取AC中点为F,以DF所在直线为x轴， 以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系 又AC=AD=4,∠CAD=60° 则D(0.0),A25,2)B(ky),C25,2) 过C4两点作DB垂线，垂足为G,以则三”专D 1 S.BCD CGD AH=2 CG 又注意到ahE-4CGE,则2.设E(,y,则Ea, 则-2-24归E引 注意到B,E.D三点共线，则DE/D,则子=2yx-35y. 又4C=VBC2+B4F=4=2-25+6-2)++2=16 →x2-4V3x+y2+8=0=7y2-9y+2=0=y-)(7y-)=( 则y=1或y=号，又由图可得x>2W5→y=kx=35,则835， 则DB=√27+1=2√万. 试卷第12页，共24页 故答案为：2√7 四、解答题 15.设Sn为数列{an}的前n项和，且an是Sn和8的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式： 1 (2)令bn=10g2an,数列 的前n项和为T,证明： 12 【答案】()an=22 (2)证明见解析 【分析】(1)解法1：由题意可求得Sn=2an-8,当n=1时，求得a=8,当n≥2时， S,1=2an-1-8,可得an=2an1,可求通项公式；解法2：由题意可得Sn=2an-8,先求得 前几项，猜想通项公式，再利用数学归纳法证明即可： 1=1-1 11 2》由题意可得hn+2+3,可求得买-专n十3，可证结论， 【详解】(1)解法1：因为an是Sn和8的等差中项， 所以a,=9+8,即3=2a-8.0 2 当n=1时，S1=2a1-8,得a1=8. 当n22时，Sn1=2an-1-8,② ①-②得S.-=2a-2a1,得a,=2a1,即=2 所以数列{an}是以首项为8，公比为2的等比数列. 所以an=8×2"-1=2+2」 解法2：因为an是Sn和8的等差中项， 试卷第13页，共24页 所a-3,即5=248 当n=1时，S=2a1-8,得a1=8. 当n=2时，S2=2a2-8,得a2=16. 当n=3时，S3=2a3-8,得a3=32 猜想：an=2”*2」 (下面用数学归纳法证明) 1当n=1时，可知猜想成立， 2假设n=k时，猜想成立，即a,=22, 依腰意，得a=38,得8=24，-8=2：-8， 又au-,得=2a-8 则ak1=S1-S=2a41-8-2*3+8, 得ak41=2+3=2+2 即当n=k+l时，猜想也成立. 由1,2可知猜想成立，即a=2+2 (2)因为bn=log2an=log22m*2=n+2, 1 1 11 得b,(m+20u+习)n+2n+3 略售居+ 由于n≥1，得0< .1 +341 得1s111 123n+33 所以立工<兮 1 16.圆锥SO如图所示，S是顶点，AB,CD是底面圆O上的两条相互垂直的直径， 点E在SB上 试卷第14页，共24页 (1)求证：CE=DE; (2)若SE=BE且CE⊥DE,求直线SB与平面ACE所成角的余弦值， 【答案】(1)证明见解析 R 5 【分析】(1)由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面SAB,从而有CD⊥OE,即得OE是线 段CD的垂直平分线，即可得证； (2)由题意可得SB=CD=AB,OE=SB=cD,建立空间坐标系，利用空间向量求解 2 即可 【详解】(1)证明：由圆锥SO知S0LCD, 又AB⊥CD,AB∩SO=O, SOC平面SAB,ABC平面SAB, 所以CD⊥平面SAB,OEC平面SAB, 故CD⊥OE,又O是CD中点， 即OE是线段CD的垂直平分线， 故CE=DE. (2)解：由(1)知CE=DE, 结合CE⊥DE,可知△CED为等腰直角三角形， 故oe-D: 由SE=BE,知OE=1SB, 故SB=CD=AB; 设AB=4,则SB=CD=4,OE=2; 以O为原点，OC,OB,O下所在直线分别为x轴，y轴和=轴， 建立如图所示空间直角坐标系O-, 试卷第15页，共24页 2 B 则A(0,-2,0),B(0,2,0),C(2,0,0)E(0,1,5),S(0,0,2V5)； 所以S8=(0,2,-23),4C=(2,2,0),A正=(0,3,5)， 设平面ACE的一个法向量为万=（，片，)， 7.AC=0[x1+y1=0 则 即 E=0' V3,+=0取乃=-山，则7--15)： 记直线SB与平面ACE所成角为0，则sim6=cos(SBm= S8i-2-625 58团4V5 故cos6= 5 ,直线S8与平面4CE所成角的余弦值为5 17.已知函数f(x)=e2,8(x)=ax(aeR,且a≠0). (1)若a>0,直线I:y=2x+m与曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都相切，求a的值： (2)若f(x)≥g(x),求a的取值范围. 【答案】(I)8 (2)(0,4e] 【分析】(1)解法1：设直线1：y=2x+m与曲线y=f(x)=e2x的切点坐标为(x,y),利用 导数的意可求得x,进而求得切线方程，联立切线与g(x)=√a,利用△=0可求解：解法 2:设直线：y=2x+m与曲线y=f(x)=e2x的切点坐标为(x,),利用导数的意可求得x, 进而求得切线方程，设直线1与曲线y=g(x)=√x的切点坐标为(x,y,),利用导数的几何 意义可求解； (2)解法1：当a<0时，计算可得j 不符合题意，当a>0时，由题意可得 a 试卷第16页，共24页 Vas 令)= x>0,利用导数可求得()的最小值，可求解解法2：由题意可 得2x≥m+nm),令8()=4x-血(x>0),利用导数求得g()的最小值即可。 【详解】(1)解法1：设直线1：y=2x+m与曲线y=f(x)=e2x的切点坐标为(xo,), 由于f'(x)=2e2,则f'(x)=2e2x=2, 解得x0=0,yo=e20=1, 则切点坐标为(0，)， 直线1：y-1=2x,即y=2x+1. y=2x+1 =Va得4r+(4-a)x+1=0, 由 由△=(4-a)2-16=0,解得a=8或a=0(舍去)， 当a=8时，得x宁符合题盛， 所以a=8. 解法2：设直线1：y=2x+m与曲线y=f(x)=e2的切点坐标为(，%)， 由于f'(x)=2e2,则f'(xo)=2e2=2, 解得x。=0,y。=e20=1, 则切点坐标为(0，). 直线：y-1=2x,即y=2x+1 当a>0时，函数g(x)=Vax的定义域为[0，+o), 设直线1与曲线y=g(x)=Vc的切点坐标为(x,乃)， 曲品 得g'(x)= 反=2，得a=16x 2 得1：y-Vax1=2(c-x),即y=2x-2x1+Vax, 则-2x1+√ax1=1. 解得=2a=8. 试卷第17页，共24页 (2)解法1：①当a<0时，则函数g(x)=√ax的定义域为(-o,0]. 不符合题意 所以a<0不符合题意 ②当a>0时，则函数g(x)=√ar的定义域为[0，+o). 显然f(0)≥g(0) 昏0时，由/)2g,得e*≥匹，即v6清 专ie-50. 2e5-e24eg产 2xvx 2xx 当0<r<时，(k0,h(y在0 上单调递减， 当x>时，)>0，()在存上单调递增 则当x-时，A()取得最小值，其值为得=2。 则a≤2ē，即a≤4e. 综上所述，a的取值范围为(0,4e]. 解t法2：当>0时，由/)2g),得e产≥瓜，即2x≥a+, 得1na≤4x-lnx. 令8()=4x-血6x>0),则g(y)=4-1-4r-」 当0<x<4时，g()<0g)在0号 上单调递减， 当x>时，g)>0g()在子+上单调递增 则当x=子时，8（四取得最小值，其值为84 =1-In1=Inde 4 则lna≤ln4e,即a≤4e. 综上所述，a的取值范围为(0,4e] 18.己知编号为1,2,3的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两 试卷第18页，共24页 个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子 内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球.现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从 1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球 的袋子中再随机摸出1个球 (1)若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自1,2,3号袋子的概 率 (2)设X,Y是样本空间2上的两个离散型随机变量，则称(X,Y)是2上的二维离散型随机变 量.设(X,Y)的一切可能取值为(，)（亿，j=1,2,3,…),记表示（位，）在2中出现的概率，其 中P-P(X=i,Y=)=P(X=i∩Y=).若X表示第一次摸出的是(i=1,2,3)号球，Y表 示第二次摸出的是j()j=1,2,3)号球. ①求2： ②证明：P(X=)=∑P· 【答1@号司分 (2)①g:②证明见解析。 【分析】(1)求出第一次摸到第1,2,3号球的概率，结合已知条件，利用全概率公式及条 件概率公式依次计算即得， (2)①求出第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从该袋子摸出2号球的概率；② 利用全概率公式推理即得 【详解】(1)设第一次摸到1=1,2,3)球的事件为A,第二次摸到的是3号球的事件为B, 第二次在第i号袋子里摸到的是3号球的事件为A,P4)=分P4)=P4)=}, P814-Pa4)-PB4-号 于是PB)=P4)PB4)+P4,)PB,14)+P4)P814)=x+x+x2=29 244^44^7112 11 -X 所以第二次摸到的是3号球，它来自1号袋子的概率P41B)=P(4)P(B4)_2X414 P(B) 29 291 112 试卷第19页，共24页 11 第二次摸到的是3号球，它来自2号袋子的概率P4)=P4)PB,14_4×4 P(B) 29 29 112 12 第二次摸到的是3号球，它来自3号袋子的概率P(41B)=P4)P8,_4 8 P(B) 29291 112 (2)①依题意，2=P(X=1,Y=2),即第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从 该袋子摸出2号球的概率， 所以2好6 ②由定义及全概率公式知，P(X=)=P(X=)∩(Y=)U(Y=2)U(Y=3) =P(X=i,Y=1)U(X=i,Y=2)U(X=i,Y=3) =P(X=i,Y=1)+P(X=i,Y=2)+P(X=i,Y=3) 3 =++=∑， j 所以P(X=)=∑P, j=1 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生 的简单事件的概率求和问题 19.己知P为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量PA=(x,y),点A绕着点P逆 时针旋转0角后得到点B,则PB=(cos0-sinB,sin0+cos,我们称该过程为平面上点 的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换.平面上的某二次曲线能够通 过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线” ()证明曲线其-y =1是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式. 3 3 口证明：“双由线号千-a>0b0)是反比例角线”的充要条件是该双自线是特轴双 试卷第20页，共24页 曲线” ⑧法存在双自线E若-茶-16>06>0)是反比例自线过原点0的值线 kx-y=0(0<k<1)交该双曲线E于点A,将O,A绕点A旋转至能在双曲线E的渐近线上找 到点O,点O满足O。A=OA,以此类推，过点On1(n∈N)作斜率为k的直线交双曲线E 于点An，将On1A,绕点An旋转至能在双曲线E的渐近线上找到点O,点O,满足 014=0,4.在△0n1A,0n中，设底边00n上的高为h,求∑h. 【答案】0证明见解析y(或y之。 (2)证明见解析 (1-k)na2 (3) 2(1+k) 【分析】1)取0-晋或0-还，设旋转变换后的坐标，结合号-号-1，得到曲线号号1 A 是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为y=3或y=-3 2x (2)根据旋转的坐标变换公式和等轴双曲线概念证明必要性和充分性，得到结论； a2a1,取0= (3)由2)可知，双曲线E的方程可表示为上 子，且旋转变换后得到表 达式为y= 2x 设经过旋转变换后0，少-06，=%一y4,故公山，根据反比例函 定义可得>0且空4-立44，作出箱助线，矩形0，B4C的面积为S-号，因 为a=会=加=小求出驾立，所以出=受可得 (1-k)a2 【详解】（①由匙，在旋转变换公式中取日-牙，旋转变换后的坐标为(，）。 4sing-巨x- X y 得 42 2 y=xsin天+jeo 4 42+ 2 试卷第21页，共24页 x=+当 x+当 y1- 则 √2 y=当 将其代入号1，得 2 √2 3 3 化简得为2乐' 故曲线号-号-1是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为y 3 或在旋转变换公式中取日=3 4 旋转变换后的坐标为(x2,y2)· 3π X2=XCOS -ysin 得 4 4 2 2 3 y2 xsin 3π_V2 -+c0s 4 42 2 x=h-五 y2- x3+ 则 √2 y=-+为 将其代入广 331, 得迈 √2 3 3 3 化简得2=- 2x 故曲线号号-1是反比例曲线，所求反比例函数图象的表达式为= 3 2x' 综上，反比例函数图象的表达式为y=3或y= 3 2x 2x (2)必要性：根据旋转的坐标变换公式，得：=cos9-)sin9 所以 x=x cos0+y sine (=xsing+ycose y=y cos0-xsine' 代入x =1得出cos6+ysim8)月 (vcos0-xsine a2 b2 B2 =1, cos20 sin20 (sin20 cose sinecos sinecose 化简得 3 b2 x+ Q3 b2 yi+ b2 2xy1=1, 双曲线 a F=1(a>0,b>0)是反比例曲线”， cossin' 2 a=b 所以 a sin'e cos'' 解得 0=kez' 故该双曲线是等轴双曲线，必要性成立； 42 a b2 充分性由等销双线定义可脚号子=1，围户= 代入(1)中的旋转变换公式，彳 试卷第22页，共24页 故该双曲线是“反比例曲线”. 综上所运，“吸自线号茶-（口>06>0）是反比例线的充要条件是该双自线是等拍双 曲线”. (3)由(2)可知，双曲线E的方程可进一步表示为号上 =1, 因为旋转变换的角度日不影响最终的结果，故本题取日= 41 且旋转变换后得到的反比例函数图象的表达式为2y=a,即y= 2x1 设经过旋转变换后an=y4-ob=yo,一y4, 因为△040是等腰三角形，所以马=1， b 根据反比例函数定义可得二=K,从-兰_之+ 2y1+ =x1+h h 2 2y 1-1. 故>0且k空4-24-2 从点An向x轴作垂线交于点Bn,向y轴作垂线交于点Cn, OoB 设矩形08,4C,的面积为5，-，因为a4,=4k是-如，≠小， 当n=1时，号-=4 由于4=Aa,爱山，故当m=2时 a2=S,+S,=ha+(a+b+az)h=ha+(a+a+az)h =ha,+haz +2ah =ha,+haz +ahz +ha=(h+h)(a,+a), 因为K(么+4)=a,+a,所以k么+广=a,从而4+么=、顶· 试卷第23页，共24页 以此类推， 吗--aa+g 因为空4-立a, 所以 受，可得、 (1-k)na 21+k) 【点睛】新定义问题的方法和技巧： (1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理 解； (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解 的较为透彻； (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； (4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么 情况下可以使用书上的概念。 试卷第24页，共24页