学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（福建专用，华东师大版九上：二次根式+一元二次方程）

11 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题4分，共24分） 11.（4分）________________ 12.（4分）________________ 13.（4分）________________ 14.（4分）________________ 15.（4分）________________ 16.（4分）________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 计算：． 18. （8分）解方程：． 19. （8分） 先化简，再求值：，其中 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （8分） 21.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （10分） 23.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华师大版九年级上册第21章二次根式+第22章一元二次方程。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；逐个进行判断即可． 【详解】解：A．符合最简二次根式的定义，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意； B．，因此选项B不符合题意； C．，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意； 故选：A． 2．将一元二次方程化为一般形式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是移项得到一般式． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 3．若，则的值是（ ） A. B. C.7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，根据设，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴令，， ∴． 故选：C． 4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将二次根式化简为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可． 【详解】A：，与被开方数不同，不是同类二次根式； B：，与被开方数相同，是同类二次根式； C：，与被开方数不同，不是同类二次根式； D：，与被开方数不同，不是同类二次根式． 故选：B． 5．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：D． 6．已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C.20 D.25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 7．福建省2024年开展农村供水工程维修养护1700处，受益人口达到180万人，预计福建省2026年开展农村供水工程维修养护受益人数达到万，若设这两年福建省农村供水工程维修养护受益人数的平均增长率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握平均增长率问题是解题的关键． 根据平均增长率的意义列式计算即可． 详解】解：根据题意，得， 解得（舍去）， 故选：C． 8．如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（ ） A.0.8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，求出点，之间的距离，即的长，再根据题意求得的长，即可得出点对应的数． 【详解】解：∵点，在数轴上表示的数分别是2，， ∴， ∵， ∴， ∴点可以看成点向左移动， ∴点对应的数为， ∴点表示的数， 故选：D． 9．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A.12 B.11 C.10 D.9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，求代数式的值，根据题意得出，熟练掌握根与系数的关系：，，是解题的关键．根据根与系数的关系得，根据一元二次方程根的定义得到得到，进而可求出代数式的值． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ． 故选：A． 10．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ） A.若﹣1＜a＜1，则 B.若，则0＜a＜1 C.若﹣1＜a＜1，则 D.若，则0＜a＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k， ∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0， 又∵ab≠0， ∴a−b−1＝0， 即a＝b＋1， ∴ax2＋2ax＋a＝0， 解得：x1＝x2＝−1， ∴k＝−1， ∵＝， ∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0， 此时＞0，即； 当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0， 此时＜0，即； 故A、C错误； 当时，即＞0， ＞0， 解得：a＞1或a＜0， 故B错误； 当时，即＜0， ＜0， 解得：0＜a＜1， 故D正确 故选：D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的分母有理化即可得． 【详解】， 故答案为：． 12．一元二次方程的根是____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ∴即 解得：， 13．已知，，为一个等腰三角形的三条边长，并且，满足，则此等腰三角形的周长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，，再分腰长为2和腰长为6两种情况，根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 当腰长为2时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为6时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意 ∴此等腰三角形的周长为； 综上所述，此等腰三角形的周长为． 故答案为：． 14．已知非零实数x，y满足，则____________________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是对相应的运算法则的掌握，本题对已知条件进行整理，再代入所求的式子运算即可． 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 15．如果是两个不相等的实数，，，那么代数式______． 【答案】2032 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键． 由题意得m，n是的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：，，，变形，为，代入求解即可． 【详解】是两个不相等的实数，且满足， 是方程的两根， ，，， ． 故答案为：2032． 16．利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是__________． 【答案】64 【解析】 【分析】此题考查整式混合运算的实际应用，设小正方形的边长为，得到矩形的长为，宽为．列得，将代入即可求． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为． 由图1、图2可得， 整理得． ，， ， ， 矩形的面积为， 故答案为64． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减运算，，，进行计算，即可． 【详解】解： ． 18．（8分）解方程：． 【答案】, 【解析】 【分析】利用公式法可求出方程的解． 【详解】 ∵ ，，， ∴ ∴， ∴,． 19．（8分）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先化简分式，再代入即可得解。 【详解】解：原式， ， ， 当时，原式． 20．（8分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）的值是1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据，进行作答即可； （2）由题意知，．由，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：由题意知，． ∵， ∴，解得． ∴的值是1． 21．（8分）某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． （1）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ （2）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 【答案】（1）每箱饮料售价应定为55元 （2）该超市不能每月获得880元的利润 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用； （1）设每箱饮料降价x元，根据总利润销售量单个销售利润，列出方程求解即可； （2）设每箱饮料降价y元，根据总利润销售量单个的销售利润，列出方程，判断判别式的符号即可； 解题的关键是熟练掌握总利润销售量单个的销售利润，列出方程． 【小问1详解】 解：设每箱饮料降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 答：每箱饮料售价应定为55元； 【小问2详解】 解：该超市不能每月获得880元的利润，理由如下： 设每箱饮料降价y元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴该超市不能每月获得880元的利润． 22．（10分）如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为36平方米的花圃，的长是多少米？ （2）如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，的长时多少？ 【答案】（1）长是米 （2）的长是米或米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，利用长方形的面积运算方法列出方程是解题的关键． （1）设的长为米，则的长为米，根据长方形的面积=长宽列出方程运算即可； （2）设的长为米，则的长为米，根据长方形的面积=长宽列出方程运算即可． 【小问1详解】 解：设的长为米，则的长为米， 根据题意得：， 解得，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴的长是6米； 【小问2详解】 设的长为米，则的长为米， 根据题意得：， 解得，， 当时，，符合题意， 当m＝6时，，符合题意， ∴的长是米或米． 23．（10分）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： （1）若，求证：此方程至少有一个实数根； （2）设此方程有两个不相等的实数根分别为，，若，求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． （1）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明； （2）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 中， ， ， ， 此方程至少有一个实数根； 【小问2详解】 证明：根据题意原方程为， ∵方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ，即， ． 24．（12分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②； （2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 【答案】（1）①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析 （2）或 （3）时，的最大值为9 【解析】 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【小问1详解】 解：①解方程得：， 或， ， 不是“差1方程”； ②解：∵ ∴，， ∴， ， 是“差1方程”； 【小问2详解】 解：方程得：， 或， 方程是常数）是“差1方程”， 或， 或； 【小问3详解】 解：由题可得： ∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， ， 时，的最大值为9． 25．（14分）阅读理解： 材料1：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求请多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围： 解：令 ∴ ∴ ∴ ∴； 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根，（） 则关于的一元二次不等式（）的解集为：或． 则关于的一元二次不等式（）的解集为：． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）若关于的二次三项式（为常数）的最小值为－6，则________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为－4，最大值为7，请求出满足条件的，的值． 【答案】（1）；（2）或；（3），或，． 【解析】 【分析】（1）根据材料，令，由根的判别式求出y的取值范围，结合y的最小值即可求出a的值； （2）根据材料，令，利用根的判别式转化为y的一元二次方程，解不等式即可得到解集； （3）根据材料，令，利用根的判别式得到y的不等式，然后由根与系数的关系，列出方程组，即可求出，的值． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∵y的最小值为， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：令， 整理得：， ∵方程有解， ， ， 令， 解得，， 或． （3）解：令， ， 当时，且， 存在一个使得． 当时，有解． ， ， ，， ，是方程的解， ， 解得或， 综上,，或，． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026 学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11.（3 分）________________ 12.（3 分）________________ 13.（3 分）________________ 14.（3 分）________________ 15.（3 分）________________ 16.（3 分）________________ 三、解答题（共 86 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分） 计算： 1 6 12 3 27 2     ． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8 分）解方程： 2 3 1 0x x   ． 19．（8分） 先化简，再求值：   22 11 +1 +2 1a aa a a   ，其中 2 1a   20．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 2 5 6 10 B C B D C C D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.6 12.x=0,x32=1 13.14 3 14.或025 15.2032 16.64 三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分) 6:i5-同 解： V6+2-3V5 …4分 =V5+2-35 6分 =-2V5+2.…8分 18.(8分)解： 0=1,b=3,C=1,…1分 ∴.△=b2-4ac=9-4x1×1=5>0…3分 x=-b±B-4ae。-3t5 …6分 2a 2 55 ………8分 2 1/7 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(8分)解：原式：a+l-÷a+1a-) a+1 (a+1)2 …2分 =1.(a+102 a+1(a+1(a-D' ÷1 …5分 a-1 当a=5+1时，原式2+1-22 1 1 …8分 20.(8分) 【小问1详解】 证明：△=b2-4aC=(2m+12+8>0,…3分 ∴.无论1为何值，方程总有两个不相等的实数根。…4分 【小间2详解】 解：由愿意知，十x2=2m+1,x…x2=一2.…5分 X+无3+xX2=1,…6分 .2m+1-2=1,解得m=1. .m的值是1.…8分 21.(8分) 【小问1详解】 解：设每箱饮料降价x元， 由题意得：（60-x-48×(60+10x=770, ……2分 整理得：x2-6x+5=0, 解得：x=5,x=1(不符合题意，舍去)， .60-x=60-5=55, 答：每箱饮料售价应定为55元：…4分 【小问2详解】 解：该超市不能每月获得880元的利润，理由如下： 设每箱饮料降价y元， 2/7 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由题意得：(60-y-48)×60+10y)=880,…6分 整理得：y2-6y+16=0, :△=(-6)2-4×1×16=36-64<0， 此方程无解， ∴.该超市不能每月获得880元的利润。…8分 22.(10分) 【小问1详解】 解：设AB的长为x米，则BC的长为24-3x米，…1分 根据题意得：x24-3x=36,3分 解得x=2,X1=6,…4分 当x=2时，BC=24-3x=18>15,不符合题意， 当x=6时，BC=24-3x=6<15,符合题意， .AB的长是6米；…5分 【小问2详解】 设AB的长为m米，则BC的长为(24-3m+2米，…6分 根据题意得：m24-3m+2）=55,… …7分 11 解得%=写m,=5,8分 当m1= 号时，BC=24-3m+2=15,符合题意. 当m=6时，BC=24-3m+2=11,符合题意，…9分 AB的长是米或≤米.…10分 23.(10分) 【小问1详解】 证明：，b-c=1, 3/7 高学科网·学易金卷 wwW.z×Xk,C0m 做好卷，就用学易金卷 C=b-1,…1分 x2+bx+c=0中， 4=b2-4a0=b2-4c=b2-4b+4=(b-22,…3分 (b-2≥0， ..A20, .此方程至少有一个实数根：…5分 【小问2详解】 证明：根据趣意原方程为x2+bx+2=0, 方程有两个不相等的实数根分别为x1,x2, .X+X2=-b,Xx3=2,△=b2-8>0…7分 x+x3=(X1+x2)2-2x1x3 +x=b2-4=b2-8+4>0+4>4,即b2-4>0,…9分 .x十x行>4，…l0分 24.(12分) 【小问1详解】 解：①解方程得：(x+1)(x-6)=0, 1X=-1或x=6,… …1分 :6≠-1+1， x2-5r-6=0不是“差1方程”；…2分 ②解：：x2-V5x+1=0 a=1,b=-V5,c=1,4=(V5-4x1x1=1, x=5±51 …3分 2 2 5+15l+1, 22 4/7 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x2-5x+1=0是“差1方程”：…4分 【小问2详解】 解：方程得：(x-m)(x+1)=0, X=m或X=一1，…5分 ,方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“差1方程”， ∴，m=-1+1或m=-1-1, m=0或-2；…6分 【小问3详解】 解：由题可得：△=b2-4a×1=b2-4a≥0 心解方程得x=-b±B2-4a …8分 2a ,关于x的方程x2+bx+1=0(a、b是常数，a>0)是“差1方程”， -b+B-4_b-V-4a =1,…9分 2a 2a .b2=a2+4a,…10分 1=10a-b2, 1=6a-a2=-(0-3)2+9,…11分 ￥a>0, 0=3时，t的最大值为9.…l2分 25.(14分) 【详解】解：(1)x2+ax+3=y,…】分 x2+ar+(3-y)=0, △=a2-4×1×(3-y)20,…2分 y≥12-a2 4 5/7 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :y的最小值为6， 12-a2 =-6, …3分 4 解得：a=6, 故答案为：士6：…4分 (2)解：令3r2+6r-2 =y, 1-3x 整理得：3x2+x6+3y-(2+y=0,…5分 方程有解。 4=(6+3y)2+42+y)≥0， 9y2+40y+44≥0，…6分 令9y2+40y+44=0, 22 解得1=-2，乃=- 9, J之-2或y≤2 +…8分 9 (3)解：令5mr-n 2-+2y, yx2-y+5mx+(2y+n=0,9分 当y=0时，-5mx=-n且mn≠0， .存在一个X使得y=0,…l0分 当y≠0时，x2-y+5m)x+(2y+n)=0有解. 4=(y+5m)2-4y(2y+n≥0， .-7y2+(10m-4ny+25m2≥0， ymn=-4,ym=7,…l1分 ∴.y=-4,y=7是方程-7y2+(10m-4n)y+25m2=0的解， 6/7 高学科网·学易金卷 WwW,Z×Xk,com 做好卷，就用学易金卷 -4+7= (10m-4n -7 …小2分 4x7= 25m2 -7 14 14 17n三 7m=- 解得 5 或 5 7 n=4 49 n=- 4 5’n=4或m=-14 心综上m=14, 7 4 5,n=49 ……14分 4 7/7 2025-2026学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共24分） 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 16.（3分）________________ 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） 计算：． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分）解方程：． 19．（8分） 先化简，再求值：，其中 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华师大版九年级上册第21章二次根式+第22章一元二次方程。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2．将一元二次方程化为一般形式为（ ）． A. B. C. D. 3．若，则的值是（ ） A. B. C.7 D. 4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6．已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C.20 D.25 7．福建省2024年开展农村供水工程维修养护1700处，受益人口达到180万人，预计福建省2026年开展农村供水工程维修养护受益人数达到万，若设这两年福建省农村供水工程维修养护受益人数的平均增长率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8．如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（ ） A.0.8 B. C. D. 9．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A.12 B.11 C.10 D.9 10．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ） A.若﹣1＜a＜1，则 B.若，则0＜a＜1 C.若﹣1＜a＜1，则 D.若，则0＜a＜1 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．化简：_______． 12．一元二次方程的根是____． 13．已知，，为一个等腰三角形的三条边长，并且，满足，则此等腰三角形的周长为______． 14．已知非零实数x，y满足，则____________________． 15．如果是两个不相等的实数，，，那么代数式______． 16．利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是__________． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 计算：． 18．（8分）解方程：． 19．（8分）先化简，再求值：，其中 20．（8分） 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 21．（8分）某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． （1）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ （2）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 22．（10分）如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为36平方米的花圃，的长是多少米？ （2）如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，的长时多少？ 23．（10分）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： （1）若，求证：此方程至少有一个实数根； （2）设此方程有两个不相等的实数根分别为，，若，求证：． 24．（12分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②； （2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 25．（14分）阅读理解： 材料1：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求请多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围： 解：令 ∴ ∴ ∴ ∴； 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根，（） 则关于的一元二次不等式（）的解集为：或． 则关于的一元二次不等式（）的解集为：． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）若关于的二次三项式（为常数）的最小值为－6，则________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为－4，最大值为7，请求出满足条件的，的值． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11.（4 分）________________ 12.（4 分）________________ 13.（4 分）________________ 14.（4 分）________________ 15.（4 分）________________ 16.（4 分）________________ 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 9 个小题，共 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8 分） 计算： 1 6 12 3 27 2     ． 18. （8 分）解方程： 2 3 1 0x x   ． 19. （8 分） 先化简，再求值：   22 11 +1 +2 1a aa a a   ，其中 2 1a   请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （8 分） 21.（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （10 分） 23.（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （14 分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华师大版九年级上册第 21 章二次根式+第 22 章一元二次方程。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．下列根式中的最简二次根式是（ ） A. 7 B. 8 C. 1 4 D. 2m 2．将一元二次方程 23 4 2x x  化为一般形式为（ ）． A. 22 3 4 0x x   B. 22 3 4 0x x   C. 22 3 4 0x x   D. 22 3 4 0x x   3．若 3 4 b a  ，则 a b a b   的值是（ ） A. 1 7 B. 1 7  C.7 D. 7 4．下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的是（ ） A. 18 B. 12 C. 2 3 D. 9 5．用配方法解方程 2 4 4 0x x   时，原方程应变形为（ ） A.  22 4x   B.  22 0x   C.  22 8x   D.  22 8x   2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 6．已知 1 2,x x 是方程 2 20 25 0x x   的两个实数根，则 1 2x x （ ） A. 25 B. 20 C.20 D.25 7．福建省 2024 年开展农村供水工程维修养护 1700 处，受益人口达到 180 万人，预计福建省 2026 年开展农 村供水工程维修养护受益人数达到217.8万，若设这两年福建省农村供水工程维修养护受益人数的平均增长 率为 x，则 x的值为（ ） A. 20% B.15% C.10% D. 5% 8．如图，点 B，C在数轴上表示的数分别是 2， 11 ，点A 在数轴上，且 AB BC ，则点A 表示的数是 （ ） A.0.8 B. 11 3 C. 11 2 D. 4 11 9．已知 m，n是一元二次方程 2 11 0x x   的两个实数根，则代数式 2m n 的值等于（ ） A.12 B.11 C.10 D.9 10．关于 x的一元二次方程 ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根 k．（ ） A.若﹣1＜a＜1，则 k k a b  B.若 k k a b  ，则 0＜a＜1 C.若﹣1＜a＜1，则 k k a b  D.若 k k a b  ，则 0＜a＜1 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11．化简： 2 3  _______． 12．一元二次方程 2x x 的根是____． 13．已知a，b，c为一个等腰三角形的三条边长，并且a，b满足 3 2 2 6b a a     ，则此等腰 三角形的周长为______． 14．已知非零实数 x，y满足 1 x y x   ，则 3 xy x y xy    ____________________． 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 15．如果m n、 是两个不相等的实数， 2 3m m  ， 2 3n n  ，那么代数式 22 2 2021n mn m   ______． 16．利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图 1，BD是矩形 ABCD的对角 线，将 BCD△ 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图 2 重新摆放，观察两图，若 8, 4a b  ， 则矩形 ABCD的面积是__________． 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8 分） 计算： 1 6 12 3 27 2     ． 18．（8 分）解方程： 2 3 1 0x x   ． 19．（8 分）先化简，再求值：   22 11 +1 +2 1a aa a a   ，其中 2 1a   20．（8 分） 已知关于 x的一元二次方程  2 2 1 2 0x m x    ． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根 1 2,x x 满足 1 2 1 2 1x x x x   ，求m的值． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 21．（8 分）某超市销售一种饮料，进价为每箱 48 元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱 60 元，每 月可销售 60 箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价 1 元， 则每月的销量将增加 10 箱． （1）若该超市预计 12 月份要获得 770 元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ （2）该超市能否每月获得 880 元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 22．（10 分）如图 1，有长为 24 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为 15 米），围成中间隔有一道 篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为 36 平方米的花圃， AB的长是多少米？ （2）如图 2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道 1 米宽的门，如果要围成面积为 55 平方米的花圃， AB的 长时多少？ 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 23．（10 分）已知方程 2 0x bx c   （x为实数），请你解答下列问题： （1）若 1b c  ，求证：此方程至少有一个实数根； （2）设此方程有两个不相等的实数根分别为 1x ， 2x ，若 2c  ，求证： 2 2 1 2 4x x  ． 24．（12 分）如果一元二次方程的两根相差 1，那么该方程称为“差 1 方程”．例如 2 0x x  是“差 1 方 程”． （1）判断下列方程是不是“差 1 方程”，并说明理由； ① 2 5 6 0x x   ； ② 2 5 1 0x x   ； （2）已知关于 x的方程  2 1 0x m x m    （m是常数）是“差 1 方程”，求m的值； （3）若关于 x的方程 2 1 0ax bx   （a，b是常数， 0a  ）是“差 1 方程”，设 210t a b  ，求 t的最 大值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 25．（14 分）阅读理解： 材料 1：对于一个关于 x的二次三项式 2ax bx c  ( 0)a  ，除了可以利用配方法求请多项式的取值范围外， 爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令 2ax bx c y   ( 0)a  ，然后移项可得： 2 ( ) 0ax bx c y    ，再利用一元二次方程根的判别式来确定 y 的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求 2 2 5x x  的取值范围： 解：令 2 2 5x x y   ∴ 2 2 (5 ) 0x x y    ∴ 4 4 (5 ) 0y      ∴ 4y  ∴ 2 2 5 4x x   ； 材料 2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二 次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于 x的一元二次方程 2 0ax bx c   （ 0a  ）有两个不相等的实数根 1x ， 2x （ 1 2x x ） 则关于 x的一元二次不等式 2 0ax bx c   （ 0a  ）的解集为： 1x x 或 2x x ． 则关于 x的一元二次不等式 2 0ax bx c   （ 0a  ）的解集为： 2 1x x x  ． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）若关于 x的二次三项式 2 3x ax  （a为常数）的最小值为－6，则a  ________； （2）求出代数式 23 6 2 1 3 x x x    的取值范围； （3）若关于 x的代数式 2 5 2 mx n x x    （其中m、n为常数，且 0mn  ）的最小值为－4，最大值为 7，请求 出满足条件的m， n的值． 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华师大版九年级上册第 21 章二次根式+第 22 章一元二次方程。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．下列根式中的最简二次根式是（ ） A. 7 B. 8 C. 1 4 D. 2m 2．将一元二次方程 23 4 2x x  化为一般形式为（ ）． A. 22 3 4 0x x   B. 22 3 4 0x x   C. 22 3 4 0x x   D. 22 3 4 0x x   3．若 3 4 b a  ，则 a b a b   的值是（ ） A. 1 7 B. 1 7  C.7 D. 7 4．下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的是（ ） A. 18 B. 12 C. 2 3 D. 9 5．用配方法解方程 2 4 4 0x x   时，原方程应变形为（ ） A.  22 4x   B.  22 0x   C.  22 8x   D.  22 8x   6．已知 1 2,x x 是方程 2 20 25 0x x   的两个实数根，则 1 2x x （ ） A. 25 B. 20 C.20 D.25 7．福建省 2024 年开展农村供水工程维修养护 1700 处，受益人口达到 180 万人，预计福建省 2026 年开展 农村供水工程维修养护受益人数达到217.8万，若设这两年福建省农村供水工程维修养护受益人数的平均 增长率为 x，则 x的值为（ ） A. 20% B.15% C.10% D. 5% 8．如图，点 B，C在数轴上表示的数分别是 2， 11 ，点A 在数轴上，且 AB BC ，则点A 表示的数是 （ ） A.0.8 B. 11 3 C. 11 2 D. 4 11 9．已知 m，n是一元二次方程 2 11 0x x   的两个实数根，则代数式 2m n 的值等于（ ） A.12 B.11 C.10 D.9 10．关于 x的一元二次方程 ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根 k．（ ） A.若﹣1＜a＜1，则 k k a b  B.若 k k a b  ，则 0＜a＜1 C.若﹣1＜a＜1，则 k k a b  D.若 k k a b  ，则 0＜a＜1 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11．化简： 2 3  _______． 12．一元二次方程 2x x 的根是____． 13．已知a，b，c为一个等腰三角形的三条边长，并且a，b满足 3 2 2 6b a a     ，则此等腰 三角形的周长为______． 14．已知非零实数 x，y满足 1 x y x   ，则 3 xy x y xy    ____________________． 15．如果m n、 是两个不相等的实数， 2 3m m  ， 2 3n n  ，那么代数式 22 2 2021n mn m   ______． 16．利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图 1，BD是矩形 ABCD的对角 线，将 BCD△ 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图 2 重新摆放，观察两图，若 8, 4a b  ， 则矩形 ABCD的面积是__________． 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … 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． 24．（12 分）如果一元二次方程的两根相差 1，那么该方程称为“差 1 方程”．例如 2 0x x  是“差 1 方 程”． （1）判断下列方程是不是“差 1 方程”，并说明理由； ① 2 5 6 0x x   ； ② 2 5 1 0x x   ； （2）已知关于 x的方程  2 1 0x m x m    （m是常数）是“差 1 方程”，求m的值； （3）若关于 x的方程 2 1 0ax bx   （a，b是常数， 0a  ）是“差 1 方程”，设 210t a b  ，求 t的最 大值． 25．（14 分）阅读理解： 材料 1：对于一个关于 x的二次三项式 2ax bx c  ( 0)a  ，除了可以利用配方法求请多项式的取值范围 外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令 2ax bx c y   ( 0)a  ，然后移项可得： 2 ( ) 0ax bx c y    ，再利用一元二次方程根的判别式来确定 y 的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求 2 2 5x x  的取值范围： 解：令 2 2 5x x y   ∴ 2 2 (5 ) 0x x y    ∴ 4 4 (5 ) 0y      ∴ 4y  ∴ 2 2 5 4x x   ； 材料 2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元 二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于 x的一元二次方程 2 0ax bx c   （ 0a  ）有两个不相等的实数根 1x ， 2x （ 1 2x x ） 则关于 x的一元二次不等式 2 0ax bx c   （ 0a  ）的解集为： 1x x 或 2x x ． 则关于 x的一元二次不等式 2 0ax bx c   （ 0a  ）的解集为： 2 1x x x  ． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）若关于 x的二次三项式 2 3x ax  （a为常数）的最小值为－6，则a  ________； （2）求出代数式 23 6 2 1 3 x x x    的取值范围； （3）若关于 x的代数式 2 5 2 mx n x x    （其中m、n为常数，且 0mn  ）的最小值为－4，最大值为 7，请求 出满足条件的m， n的值． ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华师大版九年级上册第21章二次根式+第22章一元二次方程。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2．将一元二次方程化为一般形式为（ ）． A. B. C. D. 3．若，则的值是（ ） A. B. C.7 D. 4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6．已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C.20 D.25 7．福建省2024年开展农村供水工程维修养护1700处，受益人口达到180万人，预计福建省2026年开展农村供水工程维修养护受益人数达到万，若设这两年福建省农村供水工程维修养护受益人数的平均增长率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8．如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（ ） A.0.8 B. C. D. 9．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A.12 B.11 C.10 D.9 10．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ） A.若﹣1＜a＜1，则 B.若，则0＜a＜1 C.若﹣1＜a＜1，则 D.若，则0＜a＜1 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．化简：_______． 12．一元二次方程的根是____． 13．已知，，为一个等腰三角形的三条边长，并且，满足，则此等腰三角形的周长为______． 14．已知非零实数x，y满足，则____________________． 15．如果是两个不相等的实数，，，那么代数式______． 16．利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是__________． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 计算：． 18．（8分）解方程：． 19．（8分）先化简，再求值：，其中 20．（8分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 21．（8分）某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． （1）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ （2）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 22．（10分）如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为36平方米的花圃，的长是多少米？ （2）如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，的长时多少？ 23．（10分）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： （1）若，求证：此方程至少有一个实数根； （2）设此方程有两个不相等的实数根分别为，，若，求证：． 24．（12分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②； （2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 25．（14分）阅读理解： 材料1：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求请多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围： 解：令 ∴ ∴ ∴ ∴； 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根，（） 则关于的一元二次不等式（）的解集为：或． 则关于的一元二次不等式（）的解集为：． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）若关于的二次三项式（为常数）的最小值为－6，则________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为－4，最大值为7，请求出满足条件的，的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$