广东省中山市小榄中学2023-2024学年高二上学期第一次段考数学试题

小榄中学2023-2024学年高二上学期第一次段考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，已知空间四边形ABCD,M,N分别是BC,CD的中点，则 B+D+C等于() A.AN B.M C.BC D.B 2.平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）ABCD-ACD中， ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，AB=AD=AA=1,则AG=() A.6 B.6 C.3 D.32 3.在空间直角坐标系中，记点M(-1,l2)关子x轴的对称点为N,关于Oz平 面的对称点为P,则线段NP中点坐标为() A.L0,0) B.(-1,-1,0) C.(1,0,1) D.(0,0,0) 4.已知{a,}是等比数列，a>0,且a%+24+a,4=144,则%+a,等于() A.6 B.12 C.18 D.24 5.已知a=(2,1),i=(亿，2,4)，若a1(2a-),则实数2的值为（) A.-1 B.1或-3 C.-1或3 D.3 6.已知等比数列o}的前n项和为S,若。=4则令=（了 A.13 B.16 C.9 D.12 7.甲、乙两位旅客乘坐高铁外出旅游，甲旅客喜欢看风景，需要靠窗的座 位：乙旅客行动不便，希望座位靠过道.已知高铁二等座的部分座位号码如 图所示，则下列座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是() 1 2 3 4 6 8 9 10 窗口 过道 窗口 11 12 13 14 15 A.21,28 B.22,29 C.23,39 D.24,40 第1页，共4页 中山市小榄中学高二数学2023-2024学年第一学期 2a. 8.在数列a,}中，a=l,a2+aneN,则a=（） A.,=2 2n B.a=- +1 n+1 C.a=n+1 2n D.a=”+2 2n+1 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部 分选对的得2分，有选错的得0分. 9.设数列{a,},{也}的前n项和分别为Sn,T,则下列命题正确的是( A.若a1-a,=2(neN),则数列{a,}为等差数列 B.若b1=2b(n∈N),则数列{b,}为等比数列 C.若{an}是等差数列，则Sn,Sn-Sn,Sn-S2n…(n∈N)成等差数列 D.若{.}是等比数列，则T,Tn-T,Tn-Tn…(n∈N）成等比数列 10.下列关于空间向量的命题中，正确的有( A.若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥b; B.若非零向量a,i,c满足a⊥i,b⊥c,则有a∥c; C.若OM,0丽，Oc是空间的一组基底，且O而=0A+0丽+0c, 则A,B,C,D四点共面； D.若a,b,c是空间的一组基底，则向量a+i,i+c,c+a也是空间一 组基底： 11.如图所示，在棱长为2的正方形ABCD-ABCD中，点E,F分别是BC, C℃的中点，则( A.AD⊥AF B.DC与平面ABF所成角的正弦值为 6 C.二面角A-EF-C的余弦值为； D.平面AEF截正方体所得的截面周长为 25+32 第2页，共4页 12.著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1， 2,3,5,,其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们 把这样的一列数组成的数列{a,}称为“斐波那契数列”，记S为数列{a}的前 n项和，则下列结论正确的是( ) A.a=8 B.S2=33 C.a+a3+a5+…+a019=aom D. dmn dmn a019 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知空间向量a,的夹角为，1a2,63,则1a+2 14.已知数列{a,}的前n项和为S.,通项公式a=(-°(n+),则8=一 15.已知等差数列a,,》前n项和分别为8，和，若受=”，则 a+a,+a+a b2+bg+b+62 16.在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)满足：x2+y2+z2=16,平面a过点M,2,3), 且平面a的一个法向量n=L,l,),则点P在平面a上所围成的封闭图形的面 积等于 四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 17.根据下列各题条件，求相应的未知数 (1)已知傳差数列{a},d=2,n=15,a.=-10,求4及S: (2)等比数列{a}中，4=La,=64,求9及S. 18.已知向量a=(1,2,-2),6=(4,-2,4). (1)求cosa,b (2)求ā在6方向上的投影向量. 第3页，共4页 中山市小榄中学高二数学2023-2024学年第一学期 19.如图，在三棱锥P-ABC中，PA1平面ABC,∠B4C=90°，D,E,F分 别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2. (1)求点P到直线EF的距离 (2)求点P到平面DEF的距离. 20.已知数列{a}满足a=1,且a.=2a1+2(n22). (1)证明：数列 是等差数列； 2)求数列{a}的通项公式a. 21.如图，四边形ABCD是一个半圆柱的轴截面，E,F 分别是弧DC,AB上的一点，EF∥AD,点G,H均为所在 D 线段的中点，且AB=AD6,∠FBA-60°. (1)证明：DG∥平面CFH; (2)求二面角C一HF一E的大小. 22.等差数列{an}(n∈N)中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一 个数，且其中的任何两个数都不在下表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 (1)请选择一个可能的{a,a2,a}组合，并求数列{an}的通项公式： (2)记(1)中您选择的{an}的前n项和为Sm,判断是否存在正整数k,使得 a1,ak,Sk42成等比数列，若有，请求出k的值：若没有，请说明理由. 筑4而，共4而 小榄中学2023-2024学年高二上学期第一次段考 数学综合分析： 1.A2.A3.D4.B可化为(4)2+2aa,+(a)=144,即(4+a)2=144, 因为a>0,a+a=12,5.C6.A可得S,S,-S,S2-S,仍成等比数列 7A8A由品可得。尝女片所以a品 2 9.AC对于B,当bn=0时，满足b1=2b(neN),但数列{也}不是等比数列， 所以B错误；对于D,当等比数列{他}的公比9=-1，n为偶数时，T,Tn-T, Tn-In…(neN)均为零，所以D错误， 10.ACD 11.BD对D,由A而=(-2,0,2)，EF=(-1,0,),AD=2E丽，可 得EF∥AD,平面AEF截正方体所得的截面为四边形EFD,A, 则有AD,=2反，EF=√互，AE=D,F=√4+1=5，故平面AEF截正方体所得的截 面周长为2W5+32,D对. 12.ABD【详解】依题意可知，a1=1,a2=1,a+2=a1+an, 4=4+42=1+1=2,a4=a2+43=1+2=3,a5=4+a,=2+3=5a6=a4+a3=3+5=8, 故A正确；a,=a5+a6=5+8=13,所 S,=4+42+4+a,+4+a+a=1+1+2+3+5+8+13=33,故B正确； 由a=a2,%3=a,-42,a5=a6-a4,a,=a1-a6,…，a019=a2020-a2018y 可得4+4+a3+a,+…+a2o9=42+a4-a2+a6-a,+a-as+…+a2020-a201g=a0n,故 C不正确；g=a,4,a=a2(a-a)=a,4-a442,a=a(a,-a)=aa4-a24, a7=a,(a,-4）=a,a3-a4,,2019=ao(a20-a0w）=a01000-a01a19y 所以 a+a+aG+ai+…+ag =44+a24-442+4a,-a24+a,43-4a4+aw19420-ao1w42019 笛1而.北4而 中山市小横中学高二数学2023-2024学年第一学期 =0a20194020, 所以+6t+=am, 故D正确」 a019 13.21314.-51 5后【样】0汤将瓷-台名格爱-培 16.4r【详解】解：由题意，点P在以(0,0,0)为球心，半径为4的球面上， 所以点P在平面α上所围成的封闭图形即为平面α截球面所得的截面圆， 因为平面ax的方程为1x(x-)+1×(y-2)+1×(2-3)=0,即x+y+z-6=0, 所以球心(0,0,0)到平面a的距离为d= -6 V12+12+12 =23,所以截面圆的半径 r=√42-(2=2，截面圆的面积为S=r2=4r,所以点P在平面a上所围 成的封闭图形的面积等于4π 17.【详解】(1)“8.=4+l4×2=-10, a4=-38,3=15x-38+15x14×2=-360. 2 ②f-各-从g-4所以8营-2 a 18.【详解】(1)日=P+2+(-2=3,-=V42+(-2y+4=6, 6-46所m60骗号 背局-9周 2) 19.【详解】(1)如图，以A为原点，直线AB,AC,AP分别为x,yz 轴，建立空间直角坐标系A-y, 由AB=AC=l,PA=2,得 .0.0.mQ0.C@.10,P0.0.2)DJ.0.0.oF.. 因为P所=0-0，示=(20,0， PF在哑上的投彩长为 1PF.EF1_25 EFI 5 所以点P到直线F的距离为际--治 第2而。共4而 中山市小榄中学高二数学2023-2024学年第一学期 (2)由(1)知D正=020，示=(2nm-a0-2, iDi=上=0 2 设平面DEF的一个法向量为n=(x,”,),则 :D丽=-5++z=0 取z=1,则 22 i=20,),设PA与平面DEF所成的角为9，则sin0 co-5 IPAmIs 故直线PA与平面DBF所成角的正弦值为5 (2)由(1)知，P示=0)-)，设平面DF的一个法向量为元=Gx动，则 方Di=义=0 2 ,取z=1,则i=(2,0,),所以点P到平面DEF的距离 f-++=0 为a=PF,a-5 Iml 5 20.【详解】.(1)证明：因为an=2a1+2(n22), 所以号=+（≥2，即号-==1（≥2）， 所以数列侵}是首项导-之公差d=1的等差数列。 2)由2)得：是=+a-x1=n所以a-（a-2. 21.(1) 取CF中点O,连接GO,HO,:G为CE中点，G0MEF,G0-EF, :H为D中点，·DHEF,D明-EF,·OG=DH,0GIDH,:四边形DH0G 为平行四边形，∴.DG∥OH,,DGa平面CFH,OHc平面CFH,∴.DG∥平 面CFI. (2)如图建立空间直角坐标系，BF=3,AF=3万 第3页，共4页 中山市小榄中学高二数学2023-2024学年第一学期 C(0,3,,H(35,0,3),F(0,0,0),F元=(0,36，F丽=(35,0,3) 设平面CHF的一个法向量%=(x,yz) /5=03y+6-0 35x+3z=0 →%=(1,25-5 平面HFE的一个法向量乃=(Q,1O),设二面角C-HF-E的平面角为0 显然0为锐角，.cos0= 片2_255 4=2,9= 6 “二面角大小为后 22.解：(1)由题意可知，有两种组合满足条件： ①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列{an},a=8,d=4,所以其通 项公式为am=8+(n-1)×4=4n十4： ②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列{an},a1=2,d=2, 所以其通项公式为am=2n. (2)若选择0，S=n8+4n+)=2P+6m. 2 则S+2=2(k+2)2+6(k+2)=22+14k+20 若a1,ak,Sk+2成等比数列，.则ak=a1Sk+2, 即(4k+4)2=8(22+14k+20),整理得5k=一9， 此方程无正整数解，故不存在正整数k,使a1,ak,Sk+2成等比数列. 若选择②，S=n2十2m=+m, 则Sk+2=(k+2)2+(k+2)=2+5k+6, 若a1,ak,Sk42成等比数列，则a=aS+2, 即(22=2(2+5k+6),整理得2-5k一6=0， 因为k为正整数，所以k=6. 故存在正整数k=6,使a1,ak,S+2成等比数列. 第4页，共4页