专题02 统计与概率的综合运用（专项训练）数学浙教版九年级上册

专题02 统计与概率的综合运用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、数据统计后的概率问题（常考点） 1 题型二、数据分析后的概率问题（常考点） 4 题型三、概率相关的问题论述 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、数据统计后的概率问题 1.（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）某中学调查了某班全部35名同学参加音乐社团和美术社团的情况，数据如表（单位：人）： 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 (1)从该班任选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加音乐社团，又参加美术社团的6名同学中，有4名男同学、、、，两名女同学、，现从这4名男同学和2名女同学中各随机选取1人，求未被选中但被选中的概率． 2.（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）某校组织了关于奥数知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图： 若干名同学的成绩频数分布表 分组 频数 4 12 16 ______ 请根据图表信息，解答下列问题： (1)本次知识竞答共抽取七年级同学______名；在扇形统计图中，成绩在“”这一组所对应的扇形圆心角的度数为______°； (2)请将频数分布直方图补充完整； (3)将此次竞答活动成绩在“”的记为良好，在“”的记为优秀，已知该校初、高中共有学生2400名，小敏根据七年级此次竞答活动的结果，估计该校初、高中学生中对奥数知识掌握情况达到良好或优秀的人数约为：，请你分析她的估计是否合理，并说明理由； (4)该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚邮票，现有“北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A，B，C，D，背面完全相同，将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚，请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B和C的概率． 3.（2025·山东青岛·模拟预测）2024年4月3日清明节前夕，为了引导和教育学生树立爱国主义情怀，提升学生核心素养，莱西市某中学举行了“缅怀革命先烈，赓续红色精神”知识竞赛活动．现从男女生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数）进行整理、描述和分析（80分及以上为优秀，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息： 随机抽取的男生竞赛成绩在C等级里的数据为：89，87，87，85，83 ． 随机抽取的女生竞赛成绩A组人数与C组人数比为． (1)补全频数分布直方图；男生竞赛成绩的中位数为 分； (2)请计算女生竞赛成绩中B等级所在扇形的圆心角度数； (3)若该校共有480名学生参加了本次活动，请估计成绩达到优秀等级的学生有多少人？ (4)为了进一步巩固本次活动对学生的教育作用，某班班会课上，班主任准备从得分最高的4名同学（其中有2名男生）中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 4.（24-25九年级下·湖南·期末）为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)参与此次抽样调查的学生有___________人，补全统计图（要求在条形图上方注明人数）； (2)图中扇形的圆心角度数为___________； (3)若参加成果展示活动的学生共有人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数； (4)计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率． 题型二、数据分析后的概率问题 1.（24-25九年级上·广东惠州·期末）某校要求学生暑假进行社会调查，每人必须完成至份报告，调查结束后随机抽查了名学生每人完成报告的份数，并分为四类，A：份；B：份；C：份；D：份，各类的人数绘制成扇形图（如图1）和尚未完整的条形图（如图2），回答下列问题： (1)请将条形统计图2补充完整； (2)这名学生每人完成报告份数的众数是______，中位数是______． (3)从四类报告中随机选取2类，请用画树状图法或列表法，求A、B都被选中的概率． 2.（2025·贵州黔东南·二模）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分．对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图： b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 丙 平均数 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)求表中m的值； (2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致（填“甲”或“乙”）； (3)如果学校打算从甲、乙、丙三位同学中选择2人参加学校开放日活动的表演，请用列表法或画树状图法计算选择甲的概率是多少． 3.（2025·山西朔州·二模）近年来，随着汾河太原段流域生态环境和水质的不断改善，吸引了越来越多的野生鸟类在这里安家，白鹭、灰鹳、鸬鹚等大型野生鸟类，由原来的候鸟成为这里的“留鸟”，春日还出现了树上“结”满水鸟的美景．为了加强孩子保护环境的意识，某校举办了“珍爱自然，保护环境，共创美好家园”的知识竞赛，从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A.；B.；C.；D.）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是：82，86，87，88，89，93，93，94，98，100． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：91，94，93，92． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91 91 29.8 八年级 91 95 17.8 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（一条即可）； (3)现从本次抽查的七八年级学生成绩为D组的学生中任选两人作为志愿者普及环保知识，求选到的两人都是八年级的概率为多少． 题型三、概率相关的问题论述 1.小蒙设计一个抽奖游戏：如图，宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，每个方格最多能放一个奖品．    (1)如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是___________． (2)为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏．小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现了数字，如图．小蒙解释，这说明与这个方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，进行第二次抽奖，小雨将有两种选择，打开区域中的小方格，或者打开区域外的小方格．为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？请说明理由． 2.小明参加中华诗词大赛，还剩最后两题，如果都答对，就可顺利通关，已知第一道单选题有A、B、C、D共4个选项，第二道单选题有A、B、C共3个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． (1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是______； (2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率； (3)从提高通关的可能性的角度看，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案） 3.（24-25九年级上·江西南昌·期末）【项目主题】估计的值． 【项目实施】 步骤一：在纸上画一个正方形及其内切圆，如图． （1）该内切圆与正方形面积的比值用表示，求的值； 步骤二：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的纸上，统计并计算落在圆内的米粒数与正方形内的米粒数的比． 落在圆内的米粒数 落在正方形内的米粒数 频率 450 600 （2）________； 步骤三：利用与的关系，估计的值． （3）________； 【项目反思】小贤同学发现，上述的估计精度不够高，那怎样提高的估计精度呢？请你给出至少一条合理化建议． （4）建议：________． 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，符合这一结果的实验最有可能的是（   ） 实验次数 100 200 500 800 1000 2000 频率 0.165 0.166 0.166 0.167 0.166 0.167 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 2．（2025·湖北孝感·三模）下列说法正确的是（   ） A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式； B．“掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是随机事件； C．的算术平方根是； D．若一组数据的方差，则这组数据的总和为24 3．（2025·辽宁锦州·三模）不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（见下表），则下列说法错误的是（   ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 4．（2025·宁夏银川·二模）某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 射中9环以上次数 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 ．（精确到） 5.小姜参加“古诗词大比评”，在17名参赛选手中 5．（24-25九年级上·全国·期末）我市某中学开展爱心捐款活动．团干部小华对九（1）班的捐款情况进行了统计，并把统计的结果制成一个不完整的频数分布直方图和扇形统计图．已知学生捐款最少的是5元，最多的不足25元． (1)请补全频数分布直方图； (2)九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是 ； (3)九（1）班学生小明同学捐款22元，班主任拟在捐款最多的元这组同学中随机选取一人代表班级在学校组织的献爱心活动大会上发言，小明同学被选中的概率是 ． 6．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的频数 摸到黑球的频率 (1)表中的 ； ； (2)从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 ；（精确到） (3)袋中白球个数的估计值为 ． 7．（2025·广东江门·三模）某校为了解九年级600名学生每天的自主学习情况，随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了如图所示的不完整的统计图． (1)本次调查的学生人数是 人，并将条形统计图补充完整； (2)请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的约有多少人； (3)老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A，B，C，D）中随机选择2位进行学习经验分享，用列表法或画树状图法求选中A同学的概率． 8．（24-25七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有______个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是______（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 9．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）2024年8月12日，2024巴黎奥运会落下帷幕．6名贵州籍运动员为国征战，赢得了3枚奥运金牌．射击运动员谢瑜在男子10米气手枪项目中获得金牌，为中国队夺得第三金，这也是贵州历史上第一个射击奥运冠军．为了解学生对观看奥运比赛的喜爱程度，某兴趣小组在本校随机抽取部分学生进行调查，被调查的每个学生按A（非常喜欢），B（比较喜欢），C（一般），D（不喜欢）四个等级进行评价．绘制成如下两幅不完整的统计图（如图①，图②）．请你结合图中信息解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有________人；并补全条形统计图； (2)在A（非常喜欢），B（比较喜欢），C（一般），D（不喜欢）这四个等级中，选择________等级的人数是最多的，调查数据的中位数落在________等级． (3)学校决定成立“羽毛球”“篮球”“乒乓球”“排球”四个球类运动社团．若小亮、小颖都只能参加其中一个社团，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 10．（24-25七年级下·河南周口·期末）一只袋中装有除颜色外其他都相同的4个球，其中2个白球、1个红球、1个蓝球．每次从袋中摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，多次重复试验，得到下表中部分数据： 摸球次数 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 出现红球的频数 6 25 31 40 43 55 60 65 出现红球的频率 (1)请将表中数据补充完整． (2)根据上表完成折线统计图． (3)摸出红球的概率估计值是多少？ 11．（24-25八年级下·山东日照·期末）数学文化有利于激发学生的数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史，从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级学生有800人，九年级学生有1000人．估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ (4)甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校了解其数学文化发展史，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 12．（2025·青海西宁·三模）某校通过开设劳动基础知识必修课，组织学生参与校园劳动、社区服务等方式积极开展劳动教育．为进一步激发学生的学习兴趣，学校举办了劳动知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），部分信息如下： 信息一：理论知识成绩的频数分布表 成绩x（分） 频数 5 m 20 10 信息二：理论知识成绩的扇形统计图： 信息三：理论知识成绩在C组的数据为： 81，81，82，82，83，84，84，84，84，85， 86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)______；所抽取学生理论知识成绩的中位数是______； (2)扇形统计图中对应的圆心角的度数为______． (3)请估计全校1500名学生的理论知识成绩高于80分的人数为______； (4)学校规定将每位学生的理论知识成绩和实践操作成绩按的比例计算其总成绩，甲的理论知识成绩为95分，实践操作成绩为85分．乙的理论知识成绩为90分，实践操作成绩为90分请利用这种评价方法，比较甲成绩______乙成绩（填，或） (5)现要从理论知识成绩在的2男3女中任选两人进行实践操作培训，请用列举法求出所有等可能结果，并计算出恰好选2男生的概率． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 统计与概率的综合运用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、数据统计后的概率问题（常考点） 1 题型二、数据分析后的概率问题（常考点） 6 题型三、概率相关的问题论述 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、数据统计后的概率问题 1.（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）某中学调查了某班全部35名同学参加音乐社团和美术社团的情况，数据如表（单位：人）： 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 (1)从该班任选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加音乐社团，又参加美术社团的6名同学中，有4名男同学、、、，两名女同学、，现从这4名男同学和2名女同学中各随机选取1人，求未被选中但被选中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，概率公式应用，解题的关键是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式直接计算即可； （2）先根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵全班有35名学生，通过列表可知：至少参加一个社团的有：（人）， ∴从该班任选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为； （2）解：根据题意画出树状图，如图所示： ∵共有8种等可能的情况，其中未被选中但被选中的有3种情况， ∴从这4名男同学和2名女同学中各随机选取1人，未被选中但被选中的概率为． 2.（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）某校组织了关于奥数知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图： 若干名同学的成绩频数分布表 分组 频数 4 12 16 ______ 请根据图表信息，解答下列问题： (1)本次知识竞答共抽取七年级同学______名；在扇形统计图中，成绩在“”这一组所对应的扇形圆心角的度数为______°； (2)请将频数分布直方图补充完整； (3)将此次竞答活动成绩在“”的记为良好，在“”的记为优秀，已知该校初、高中共有学生2400名，小敏根据七年级此次竞答活动的结果，估计该校初、高中学生中对奥数知识掌握情况达到良好或优秀的人数约为：，请你分析她的估计是否合理，并说明理由； (4)该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚邮票，现有“北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A，B，C，D，背面完全相同，将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚，请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B和C的概率． 【答案】(1)40，72； (2)见解答； (3)不合理，理由见解答； (4)． 【分析】（1）由成绩在“”的人数除以所占百分比得出本次知识竞答共抽取七年级同学的人数，即可解决问题 （2）根据成绩在“”这一组的人数，即可解决问题； （3）从学生的学段进行说明即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B和C的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次知识竞答共抽取七年级同学有名， 则成绩在“”这一组的人数为：名， 在扇形统计图中，成绩在“”这一组所对应的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：40，72； （2）解：将频数分布直方图补充完整如下： ； （3）解：不合理，理由如下： 因为初、高中学生对奥数知识的掌握程度不同，该校七年级学生对奥数知识掌握的程度不能代表全校学生， 所以根据七年级竞答活动的结果，估计全校学生中奥数知识掌握情况达到优秀等级的人数不合理； （4）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B和C的结果有2种， 小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B和C的概率为 3.（2025·山东青岛·模拟预测）2024年4月3日清明节前夕，为了引导和教育学生树立爱国主义情怀，提升学生核心素养，莱西市某中学举行了“缅怀革命先烈，赓续红色精神”知识竞赛活动．现从男女生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数）进行整理、描述和分析（80分及以上为优秀，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息： 随机抽取的男生竞赛成绩在C等级里的数据为：89，87，87，85，83 ． 随机抽取的女生竞赛成绩A组人数与C组人数比为． (1)补全频数分布直方图；男生竞赛成绩的中位数为 分； (2)请计算女生竞赛成绩中B等级所在扇形的圆心角度数； (3)若该校共有480名学生参加了本次活动，请估计成绩达到优秀等级的学生有多少人？ (4)为了进一步巩固本次活动对学生的教育作用，某班班会课上，班主任准备从得分最高的4名同学（其中有2名男生）中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 【答案】(1)图见解析；86 (2)女生竞赛成绩中B等级所在扇形的圆心角度数为； (3)估计成绩达到优秀等级的学生约有300人； (4) 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）先求得女生竞赛成绩C、A以及D组人数，得到B组人数，再用乘以B组人数的占比，即可求解； （3）根据样本估计总体即可求解； （4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴从小到大第10和第11个数分别是85和87， ∴男生竞赛成绩的中位数为（分）， 男生竞赛成绩C组人数为（人）， 补全频数分布直方图如图： 故答案为：86； （2）解：由题意得女生竞赛成绩C组人数为（人）， ∵女生竞赛成绩A组人数与C组人数比为， ∴女生竞赛成绩A组人数为1人，女生竞赛成绩D组人数为（人）， ∴女生竞赛成绩B组人数为（人）， ∴女生竞赛成绩中B等级所在扇形的圆心角度数为； （3）解：（人）， 答：估计成绩达到优秀等级的学生约有300人； （4）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 由表知，共有12种等可能结果，其中所选同学中有男生的有10种结果， 所以所选同学中有男生的概率为． 4.（24-25九年级下·湖南·期末）为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)参与此次抽样调查的学生有___________人，补全统计图（要求在条形图上方注明人数）； (2)图中扇形的圆心角度数为___________； (3)若参加成果展示活动的学生共有人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数； (4)计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率． 【答案】(1)，补全统计图见解析； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答题的关键． （）用最喜爱项活动的人数除以其所占的百分比可得这次被调查的学生人数，然后用抽样调查的学生数减去喜爱，，，的人数，即可得到喜爱项活动的人数，然后补全即可； （）用乘以喜爱项活动的人数所占比即可求解； （）用乘以最喜爱“测量”项目的学生数所占比即可求解； （）画树状图得出所有等可能的结果共有种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有种，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：参与此次抽样调查的学生有（人）， ∴喜爱项活动的人数为：（人）， 补全统计图如图所示： （2）解：， 故答案为：； （3）解：（人）． 答：估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数为； （4）解：画树状图如图， 共有种可能出现的结果，其中恰好选中，这两项活动的有种， ∴恰好选中，这两项活动的概率为． 题型二、数据分析后的概率问题 1.（24-25九年级上·广东惠州·期末）某校要求学生暑假进行社会调查，每人必须完成至份报告，调查结束后随机抽查了名学生每人完成报告的份数，并分为四类，A：份；B：份；C：份；D：份，各类的人数绘制成扇形图（如图1）和尚未完整的条形图（如图2），回答下列问题： (1)请将条形统计图2补充完整； (2)这名学生每人完成报告份数的众数是______，中位数是______． (3)从四类报告中随机选取2类，请用画树状图法或列表法，求A、B都被选中的概率． 【答案】(1)见解析 (2)5，5 (3) 【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，用列表法或画树状图法求概率，从条形统计图和扇形统计图中获取有用的信息是解决这类问题的关键． （1）根据B类的人数等于调查的人数乘以，即可补全条形统计图； （2）根据众数的中位数的定义求解； （3）用列表法或树状图的方法求解. 【详解】（1）解：B类的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：由条形图知，C类型人数最多， 所以众数为5份， 中位数是第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均为5份， 所以中位数是5份； 故答案为：5，5； （3）解：画树状图如下： 则所有等可能的结果为12种，A、B都被选中的结果为2种， ∴A、B都被选中的概率为. 2.（2025·贵州黔东南·二模）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分．对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图： b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 丙 平均数 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)求表中m的值； (2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致（填“甲”或“乙”）； (3)如果学校打算从甲、乙、丙三位同学中选择2人参加学校开放日活动的表演，请用列表法或画树状图法计算选择甲的概率是多少． 【答案】(1) (2)甲 (3) 【分析】本题主要考查列表法或树状图法求概率折线统计图、平均数、方差等知识点，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的关键． （1）根据平均数的定义即可解答； （2）计算甲、乙两同学的方差，即可求解； （3）通过列表法列出所有结果，再求概率即可． 【详解】（1）解：． （2）解：甲同学的方差：， 乙同学的方差：， ， ∴评委对甲同学演唱的评价更一致． 故答案为：甲． （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 （甲，乙） （甲，丙） 乙 （乙，甲） （乙，丙） 丙 （丙，甲） （丙，乙） 总共有6种等可能的结果，选择甲的结果有4种， 则P（选择甲）． 3.（2025·山西朔州·二模）近年来，随着汾河太原段流域生态环境和水质的不断改善，吸引了越来越多的野生鸟类在这里安家，白鹭、灰鹳、鸬鹚等大型野生鸟类，由原来的候鸟成为这里的“留鸟”，春日还出现了树上“结”满水鸟的美景．为了加强孩子保护环境的意识，某校举办了“珍爱自然，保护环境，共创美好家园”的知识竞赛，从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A.；B.；C.；D.）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是：82，86，87，88，89，93，93，94，98，100． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：91，94，93，92． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91 91 29.8 八年级 91 95 17.8 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（一条即可）； (3)现从本次抽查的七八年级学生成绩为D组的学生中任选两人作为志愿者普及环保知识，求选到的两人都是八年级的概率为多少． 【答案】(1)30，92.5，93 (2)八年级学生掌握知识较好，理由：由表格知，八年级学生成绩的平均数与七年级相等，而八年级学生成绩的方差小于七年级，所以八年级学生成绩更加稳定，八年级学生掌握知识较好（答案不唯一） (3)选到的两人都是八年级的概率为 【分析】本题考查扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，利用方差作决策，树状图法或列表法求解概率，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、方差的意义求解即可（答案不唯一）； （3）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人都是八年级的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题知，八年级组所占百分比为：． 八年级组所占百分比为：， ， 七年级10名学生的成绩中出现次数最多， ， ∵八年级组的人数为（人），组的人数为（人）， 由中位数定义可知； 故答案为：，，； （2）解：八年级学生掌握知识较好， 由表格知，八年级学生成绩的平均数与七年级相等，而八年级学生成绩的方差小于七年级，所以八年级学生成绩更加稳定，八年级学生掌握知识较好（答案不唯一）； （3）解：七年级组的人数为人，八年级组的人数为（人） 将七年级组的人用表示，八年级组的人用表示， 画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中选到的两人都是八年级的结果有6种， ∴选到的两人都是八年级的概率是． 答：选到的两人都是八年级的概率为． 题型三、概率相关的问题论述 1.小蒙设计一个抽奖游戏：如图，宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，每个方格最多能放一个奖品．    (1)如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是___________． (2)为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏．小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现了数字，如图．小蒙解释，这说明与这个方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，进行第二次抽奖，小雨将有两种选择，打开区域中的小方格，或者打开区域外的小方格．为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择打开区域A中的小方格，理由见解析 【分析】（1）根据宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，列式计算概率即可； （2）根据方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，计算打开区域中的小方格获奖的概率；根据区域中有两个放置了奖品，计算出区域外的小方格放置了个奖品，再计算出区域外的小方格的总数，即可计算打开区域外的小方格获奖的概率．比较二者概率大小，选择概率大的即可． 【详解】（1），方格中随机放置着个奖品， ， 故答案为： （2）（打开区域中的小方格）， （打开区域外的小方格）， ， ∴打开区域中的小方格获得奖品的概率更大，故选择打开区域中的小方格． 2.小明参加中华诗词大赛，还剩最后两题，如果都答对，就可顺利通关，已知第一道单选题有A、B、C、D共4个选项，第二道单选题有A、B、C共3个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． (1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是______； (2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率； (3)从提高通关的可能性的角度看，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)建议小明在第二题使用“求助” 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到通关的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （3）同（2）求出第一题使用“求助”的通关概率即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一共有四个选项，每个选项选取的概率相同， ∴小明答对第一道题的概率是， 故答案为： （2）解：画树状图如下： 由树状图可知一共有8种等可能性的结果数，其中两题都答对即小明通关的结果数有1种， ∴小明通关的概率为； （3）解：建议小明在第二题使用“求助”，理由如下： 当在第一题使用“求助”时，画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两个都正确的结果数为1， ∴小明顺利通关的概率为； ∵， ∴建议小明在第二题使用“求助”． 3.（24-25九年级上·江西南昌·期末）【项目主题】估计的值． 【项目实施】 步骤一：在纸上画一个正方形及其内切圆，如图． （1）该内切圆与正方形面积的比值用表示，求的值； 步骤二：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的纸上，统计并计算落在圆内的米粒数与正方形内的米粒数的比． 落在圆内的米粒数 落在正方形内的米粒数 频率 450 600 （2）________； 步骤三：利用与的关系，估计的值． （3）________； 【项目反思】小贤同学发现，上述的估计精度不够高，那怎样提高的估计精度呢？请你给出至少一条合理化建议． （4）建议：________． 【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了频率估算概率，考查了正方形的性质，正多边形与圆，利用频率估计概率，正确的理解题意是解题的关键． （1）设内切圆的半径为r，根据圆的面积公式和正方形的面积公式即可得出结论； （2）根据概率公式即可得出结论； （3）根据题意列式计算即可； （4）根据题意提出建议结论即可； 【详解】（1）设内切圆的半径为r，则； （2）， 故答案为： （3） 故答案为：3 （4）建议：增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数， 故答案为：增加撒在画有正方形及其内切圆纸上的米粒数（答案不唯一） 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，符合这一结果的实验最有可能的是（   ） 实验次数 100 200 500 800 1000 2000 频率 0.165 0.166 0.166 0.167 0.166 0.167 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 【答案】C 【分析】此题考查了用频率估计概率， 根据表格数据，随着实验次数的增加，频率稳定在0.167左右，对应的概率约为．需逐一验证各选项的理论概率，选择最接近的选项． 【详解】解：表格中实验次数从100到2000时，频率在0.165至0.167之间波动，最终稳定在附近， A：一副去掉大小王的扑克牌共52张，红桃有13张，概率为，不符合． B：在“石头、剪刀、布”游戏中，每个选项的概率为，不符合． C：正六面体骰子每个点数出现的概率均为，与表格数据一致． D：抛硬币出现反面的概率为，不符合． ∴选项C的理论概率与实验频率最接近． 故选：C． 2．（2025·湖北孝感·三模）下列说法正确的是（   ） A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式； B．“掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是随机事件； C．的算术平方根是； D．若一组数据的方差，则这组数据的总和为24 【答案】D 【分析】根据所学数学知识，判断即可． 本题考查了事件的判断，算术平方根，方差，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A. 调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式； 故错误，不符合题意； B. “掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是必然事件； 故错误，不符合题意； C. 的算术平方根不是； 故错误，不符合题意； D. 若一组数据的方差，则这组数据的总和为24，正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025·辽宁锦州·三模）不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（见下表），则下列说法错误的是（   ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解频率与概率的关系，以及掌握频率的计算方法． 根据频率的计算公式“频率频数总数”，分别计算各选项中的值，再结合大量重复试验中频率稳定值可估计概率，对各选项进行判断． 【详解】解：A、计算100次摸球时的频率，，正确，不符合题意； B、300次摸球时，摸到红球的次数，正确，不符合题意； C、随着试验次数增加，频率稳定在0.60附近，可估计概率约为0.60，正确，不符合题意； D、若袋中有9个红球，由摸到红球的概率约为0.60可得，总球数有，故该选项说法错误，符合题意． 故选：D． 4．（2025·宁夏银川·二模）某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 射中9环以上次数 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，先计算射中九环以上的频率，根据大量的试验结果稳定在左右即可得出结论． 【详解】解： 射击次数 射中9环以上次数 射中九环以上的频率 ∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近， ∴估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是． 故答案为：． 5.小姜参加“古诗词大比评”，在17名参赛选手中 5．（24-25九年级上·全国·期末）我市某中学开展爱心捐款活动．团干部小华对九（1）班的捐款情况进行了统计，并把统计的结果制成一个不完整的频数分布直方图和扇形统计图．已知学生捐款最少的是5元，最多的不足25元． (1)请补全频数分布直方图； (2)九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是 ； (3)九（1）班学生小明同学捐款22元，班主任拟在捐款最多的元这组同学中随机选取一人代表班级在学校组织的献爱心活动大会上发言，小明同学被选中的概率是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．部分数目总体数目乘以相应频率．一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数． （1）先求九（1）班的总人数，再分别算出捐款数在之间的人数和捐款数在之间的人数，补全条形图； （2）先计算出中位数，再找中位数所在的范围； （3）计算出这个范围的人数，再求概率． 【详解】（1）解：九（1）班共有：（人）； 该班捐款元有：（人）； 该班捐款元有：（人）． 补全频数分布直方图如下： （2）解：按捐款数从小到大排列，第25、26人的捐款数在这组中． 故答案为：； （3）解：小明同学被选中的概率是：． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的频数 摸到黑球的频率 (1)表中的 ； ； (2)从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 ；（精确到） (3)袋中白球个数的估计值为 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率频数样本总数分别求得、的值即可； （2）根据样本的频率估计概率，即可求解； （3）摸到黑球的概率为，根据黑球的概率公式得到相应方程求解即可． 【详解】（1）解：由表可得，， 故答案为：，； （2）解：摸到黑球的频率稳定在左右； 从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 故答案为：； （3）解：设白球有x个， 根据题意得：， 解得， 袋中白球个数的估计值为18． 故答案为：18． 7．（2025·广东江门·三模）某校为了解九年级600名学生每天的自主学习情况，随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了如图所示的不完整的统计图． (1)本次调查的学生人数是 人，并将条形统计图补充完整； (2)请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的约有多少人； (3)老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A，B，C，D）中随机选择2位进行学习经验分享，用列表法或画树状图法求选中A同学的概率． 【答案】(1)40，条形统计图见详解 (2)330人 (3) 【分析】（1）根据由自主学习的时间是1小时的人数占30%，可求得本次调查的学生人数，求出自主学习的时间是1.5小时的人数为人，然后补全条形统计图即可； （2）用600乘以这40名学生中自主学习时间不少于1.5小时的百分比即可； （3）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中A同学的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%， ∴本次调查的学生人数是人， ∴每天自主学习1.5小时的人数为人，补全条形统计图如图所示； 故答案为：40，条形统计图见详解 （2）解：估计该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的人数为： 人； （3）解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，选中A的有6种， ∴选中A同学的概率为． 8．（24-25七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有______个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是______（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【答案】(1)0.25 (2)5 (3)①④ 【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． （1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数=球的总数×得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在0.67附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为0.67者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25； 故答案为：0.25； （2）解：根据题意得：（个）， 所以，盒子里白球有5个； （3）解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． 9．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）2024年8月12日，2024巴黎奥运会落下帷幕．6名贵州籍运动员为国征战，赢得了3枚奥运金牌．射击运动员谢瑜在男子10米气手枪项目中获得金牌，为中国队夺得第三金，这也是贵州历史上第一个射击奥运冠军．为了解学生对观看奥运比赛的喜爱程度，某兴趣小组在本校随机抽取部分学生进行调查，被调查的每个学生按A（非常喜欢），B（比较喜欢），C（一般），D（不喜欢）四个等级进行评价．绘制成如下两幅不完整的统计图（如图①，图②）．请你结合图中信息解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有________人；并补全条形统计图； (2)在A（非常喜欢），B（比较喜欢），C（一般），D（不喜欢）这四个等级中，选择________等级的人数是最多的，调查数据的中位数落在________等级． (3)学校决定成立“羽毛球”“篮球”“乒乓球”“排球”四个球类运动社团．若小亮、小颖都只能参加其中一个社团，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 【答案】(1)300，画图见解析 (2)B，B (3) 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合、求中位数、树状图求概率等知识点，从统计图中获取所需信息是解题的关键． （1）用组的人数除以其所占的百分比即可求得总人数；总人数减去组人数即可求出组的人数，最后补全条形统计图即可； （2）比较各个等级即可得出人数最多；根据中位数是第150、151个数据的平均数，即可解答； （3）先利用树状图确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：这次被调查的学生共有（人）， 故答案为：300； ∴组的人数为（人）， 补全条形统计图： （2）解：∵， ∴选择B等级的人数是最多的， 将所有数据按等级人数从小到大排列，有60人，有110人,有90人，有40人，总共有300个数据，中位数是第150和151个数据的平均数．前A和B等级共有人， 所以第150、151个数据都在等级，故中位数落在等级． 故答案为：B，B； （3）解：“羽毛球”“篮球”“乒乓球”“排球”四个球类运动社团分别用E、F、G、H， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中他们选择同一社团的结果有4种， ∴他们选择同一社团的概率为． 10．（24-25七年级下·河南周口·期末）一只袋中装有除颜色外其他都相同的4个球，其中2个白球、1个红球、1个蓝球．每次从袋中摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，多次重复试验，得到下表中部分数据： 摸球次数 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 出现红球的频数 6 25 31 40 43 55 60 65 出现红球的频率 (1)请将表中数据补充完整． (2)根据上表完成折线统计图． (3)摸出红球的概率估计值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，当试验次数足够多时，出现某事件的频率会越来越接近概率． （1）根据摸球的次数、出现红球的频数、出现红球的频率之间的关系计算即可； （2）根据表中的数据画出折线统计图即可； （3）随着试验的次数的增加，摸出红球的频率越来越接近，所以摸出红球的概率估计值是； 【详解】（1）解：摸球次数是30，则出现红球的频率为， 摸球次数是60，则出现红球的频数为， 摸球次数为180，则出现红球的频率为， 摸球次数为300，则出现红球的频数为； （2）解：画折线统计图如下： （3）解：∵随着试验的次数的增加，摸出红球的频率越来越接近， ∴摸出红球的概率估计值是． 11．（24-25八年级下·山东日照·期末）数学文化有利于激发学生的数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史，从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 八年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 九年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级学生有800人，九年级学生有1000人．估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ (4)甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校了解其数学文化发展史，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】(1)88，87，40 (2)九年级学生数学文化知识较好，理由见解析 (3)640人 (4) 【分析】（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b,用“1”分别减去其它组所占百分比可得m的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论； （3）用八、九年级人数分别乘八、九年级数学文化知识为“优秀”的人数所占百分比即可； （4）画出树状图，共有9种等可能的结果，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种，再由概率公式即可得出答案． 本题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）由题意可知，九年级C组有（人）， 把被抽取九年级10名学生的数学文化知识竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为88、88， ∴中位数， ∵在被抽取的八年级10名学生的数学文化知识竞赛成绩中，87分出现的次数最多， ∴众数，， ∴， 故答案为：88，87，40； （2）九年级学生数学文化知识较好，理由如下： 因为九年级学生成绩的中位数和众数比八年级的高，所以九年级学生数学文化知识较好； （3）（人）， 答：估计该校八、九年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有人； （4）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种， ∴两人恰好选取同一所大学的概率为． 12．（2025·青海西宁·三模）某校通过开设劳动基础知识必修课，组织学生参与校园劳动、社区服务等方式积极开展劳动教育．为进一步激发学生的学习兴趣，学校举办了劳动知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），部分信息如下： 信息一：理论知识成绩的频数分布表 成绩x（分） 频数 5 m 20 10 信息二：理论知识成绩的扇形统计图： 信息三：理论知识成绩在C组的数据为： 81，81，82，82，83，84，84，84，84，85， 86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)______；所抽取学生理论知识成绩的中位数是______； (2)扇形统计图中对应的圆心角的度数为______． (3)请估计全校1500名学生的理论知识成绩高于80分的人数为______； (4)学校规定将每位学生的理论知识成绩和实践操作成绩按的比例计算其总成绩，甲的理论知识成绩为95分，实践操作成绩为85分．乙的理论知识成绩为90分，实践操作成绩为90分请利用这种评价方法，比较甲成绩______乙成绩（填，或） (5)现要从理论知识成绩在的2男3女中任选两人进行实践操作培训，请用列举法求出所有等可能结果，并计算出恰好选2男生的概率． 【答案】(1)15；83.5 (2) (3)900 (4) (5) 【分析】本题考查了概率与统计综合，中位数的概念，求扇形圆心角度数，中位数的概念，概率等，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键； （1）先利用A组的人数和占比求出被抽取的学生总人数，再求的值；利用中位数的概念求解； （2）用去乘C组所占的百分比，计算可得结果； （3）利用样本所占百分比估计总体的数量； （4）根据题意计算可得结果； （5）记这2男为A，B，3女为a，b，c，根据题意列举，再求概率即可． 【详解】（1）由图知，理论知识成绩在A组的有5人，占， 抽取的学生总人数为人， ， 这50人成绩从高到低排在第25，26位的平均数为， 所抽取学生理论知识成绩的中位数是83.5 故答案为：15；83.5 （2）． 扇形统计图中对应的圆心角的度数为． 故答案为：． （3）． 估计全校1500名学生的理论知识成绩高于80分的人数为900． 故答案为：900． （4）甲的成绩等于分，乙的成绩等于分， 甲成绩乙成绩． 故答案为：． （5）记这2男为A，B，3女为a，b，c，从中任取两人的情况列举如下： ，，，，，，，，，． 总共有10种等可能结果，其中恰好选2男生的只有1种，其概率为． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$