第3章 勾股定理（高效培优单元测试·强化卷）数学苏科版2024八年级上册

第3章 勾股定理 单元测试卷（强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，的对边分别记为a，b，c，根据以下条件，①；②；③；④．其中能判定为直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵，∴，∴能判定为直角三角形； ②∵，且， ∴最大角为，∴不能判定为直角三角形； ③∵，∴，∴， ∴最大角为，∴能判定为直角三角形； ④∵，∴设（）， ∴，∴，∴能判定为直角三角形． ∴能判定为直角三角形的有①③④，共3个．故选：C． 2．（24-25八年级下·广西来宾·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”的问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？其意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么折断处离地面的高度是（    ） A．3.6尺 B．3.2尺 C．3尺 D．2.4尺 【答案】B 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：．解得：，折断处离地面的高度为3.2尺，故选：B． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期末）观察下图等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（   ） A．245 B．259 C．336 D．350 【答案】C 【详解】解：根据题意得： ，其中为一条直角边，为另一条直角边，为斜边，∵已知一条直角边为14，对应，解得，∴另一条直角边：， ∴斜边：，∴， ∴三角形为直角三角形，∴，故选：C 4.（24-25八年级上·福建福州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．已知在矩形中，是对角线，则有，即，，满足勾股定理；类比矩形的性质，如图，是长方体，若长方体的面，面，面的面积分别为，，，则，，的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在长方体中，设∴， ∴面的面积，面的面积；面的面积， ∴，∴，故选：A． 5．（24-25八年级上·成都期末）如图是一个长40、宽20、高60的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径的平方为（    ） A．800 B．1800 C．4000 D．9000 【答案】D 【详解】解：作点P关于的对称点A，则， 由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，故展开图中，， 连接，交于点E，此时最短路径为AQ， 故选：D    ． 6．（24-25八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，∴， 整理得，故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴，整理得，故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴，整理可得，故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接，此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和，所以，即， 整理：，，∴，故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④．故选：D． 7．（24-25八年级下·安徽六安·期中）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在中，，则中边的“中偏度值”为(    ) A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：作于点，为的中线， 在中，，，， 在中， 为斜边上的中线，，； 中边的“中偏度值”为：；故选：C． 8．（24-25八年级上·江西·期末）设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】解：为线段上时，①当为中点时，如图 则有，即； ②当点不为中点时，如图，过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得，即； 点在的延长线上时，如图，过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ，， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：．故选：B． 9．（24-25八年级上·浙江温州·期中）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（    ） A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小 【答案】D 【详解】如图：设的半径分别为，总面积为：， 是直角三角形，，， =总面积 – 大半圆面积= （h为三角形AB边上的高） 在C运动过程中有：h先增大后减小，故与之和的变化情况是先增大后减小，故选：D 10．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，为等边三角形，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵点是边的中点，，∴， ∵和都是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∴在点运动过程中，始终有，∴在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，此时， ∴在 中，，∴的最小值为，故选D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）小明把一个边长为的正方形按如图1的方式裁成个形状、大小完全相同的直角三角形，然后拼成如图的图形，得到正方形、正方形，小明把正方形的边放在数轴上，其中点与数轴上表示1的点重合，且点在原点右侧，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图：由题意得：，，， 在中，． ∵点与数轴上表示1的点重合，故点表示的数为．故答案为：． 12．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）央视春晚人形机器人秧歌表演广受关注．人形机器人集人工智能、高端制造与新材料等先进技术于一体，展现了未来科技的无限可能．下面是一次机器人的走位测试：如图，甲、乙两个机器人分别在点的正西方向（点处）和正北方向（点处），且与点的距离分别为米，米．甲、乙两个机器人分别从点、点同时出发，沿，行走（，，三点在同一条直线上），要求行走到点处时恰好相遇，并且两个机器人的行走速度相同，则为 米． 【答案】 【详解】解：由题意可得，，设米，则米， 在中，，∴，解得，∴米，故答案为：． 13．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点依次在斜边上，分别以为斜边在内作四个直角三角形，且满足，点分别在边，上．若，，则这四个直角三角形的周长的和是 ． 【答案】 【详解】解：由勾股定理得，，如图， 由题意将，，移到边上，将边，，平移到边上， ∴四个直角三角形的周长的和，故答案为：． 14．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，正方形的边长是2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，⋯⋯，按照此规律继续作图，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，第一个正方形的边长为2，则； 第二个正方形的边长为，则； 第三个正方形的边长为，则； 第四个正方形的边长为，则； 第n个正方形的边长为，则； ∴，故答案为：． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有 款扫地机可以购买． 【答案】3 【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则，， 在中，，即，∴ ∵扫地机能从角落自由进出，∴扫地机的直径不大于长， ∴小洪可以购买扫地机的尺寸直径可以为，，，共3款，故答案为：3． 16．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【详解】解：如图所示， ∵，，，∴，∴， ∵是正方形，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，即， ∵，∴阴影部分的面积， 故答案为：12． 17.（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，为边上的三等分点，点在直线上，且，则 ． 【答案】2或1 【详解】如图1，当为上靠近点的三等分点时，，， ，，，． ，， ，，， 又，，，． 如图2，当为上靠近点的三等分点时，，， 过点作于点，过点作于点． ，，，， 由勾股定理得，，又，， ，，，， 设，则，，解得，，， ，，，．故答案为：2或1． 18．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， 如图1，由翻折得， ∵，∴，∴，∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，当点落在上时，则， 作于点F，于点E，则， ∵平分，∴，∵， ∴，∴，∵， ∴，∴， ∴，故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（2025·广东·三模）如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． (1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 【答案】(1)见解析(2)最短矩离的长为 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由题意知，，，， 在中，． 答：蚂蚁爬行的最短矩离的长为． 20．（24-25八年级下·浙江台州·期中）图1是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行全方位监控与拍摄，夜间的监控距离为．图2中，射线，是两条相交的公路，，将图1的球机安装在公路上的A处，． (1)求该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度； (2)将该球机安装到A处右侧多少距离外，夜间将监控不到公路上的事物？ 【答案】(1)(2)将该球机安装到A处右侧外，夜间将监控不到公路上的事物 【详解】（1）解：作于点H，在上取点P，使． ∵，，∴． ∵，∴． ∴．∴该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度为． （2）解：设该球机安装到A处右侧处，如图，作于点， 由题意知，当时，夜间将监控不到公路上的事物． ∵，，，． 答：将该球机安装到A处右侧外，夜间将监控不到公路上的事物． 21．（25-26八年级上·江苏·单元测试）新考法定义：过直角三角形一直角边上的中点，向斜边引垂线，则称此垂线为直角三角形这一直角边上的直中斜垂线，直中斜垂线将斜边分为长度不相等的两条线段，其中较短的称为斜勾，较长的称为斜股． 性质：在直角三角形中，斜股与斜勾的平方差等于另一直角边的平方． (1)如图①，在中，是的中点，于点，则即为中直角边上的直中斜垂线，为斜勾，为斜股，求证：； (2)如图（2），在中，分别是中直角边的直中斜垂线，垂足分别为点，若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析；(2)线段的长度为5． 【详解】（1）证明：连接，D是的中点，， 在中，根据勾股定理有． 同理可得，， ，． （2）解：在中，，． 根据直角三角形直中斜垂线性质有．设，则， ，解得，． 同理可得：，∴，解得：， ，线段的长度为5． 22．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：3，4，5；5，12，13；8，15，17；等等都是勾股数． (1)如果是一组勾股数，即满足，则（为正整数）也是一组勾股数．如：5，12，13是一组勾股数，则______________也是一组勾股数； (2)世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当（为正整数，时，构成一组勾股数；请证明满足以上公式的是一组勾股数． 【答案】(1)10，24，26（答案不唯一）(2)见解析 【详解】（1）解：∵，∴10，24，26是一组勾股数 故答案为：10，24，26（答案不唯一）； （2）解：依题意， ， ∴满足以上公式的是一组勾股数． 23．（24-25八年级上·成都·期末）如图，在中，，动点P从点C出发，按的路径，以每秒的速度运动，设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积．(2)t为何值时，线段是的平分线？ (3)请利用备用图2继续探索：当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？（直接写出结论） 【答案】(1)(2)(3)或或6 【详解】（1）解：当时，则，所以的面积； （2）解：过作，如图1： ∵，， ∵，∴，∵为的平分线，∴， ∵，∴，∴，， 在中，，，解得：； （3）解：如图：因为是以为腰的等腰三角形， 当点P在上时，时，； 当点P在上时，时，过作于， ，即，解得：， ，，， ，； 当时，， 故答案为：或或． 24．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式． 【探索发现】（1）用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想与之间的关系为： ________； （2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为a，b，斜边长为c），拼出如图3所示的图形．根据图中条件，猜想并验证a，b，c之间的等量关系． 【拓展提升】（3）对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，…，．请你依据这个图形补全下面的等式： ________． （4）类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，…，n，形成了一系列的新正方形．请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式． 【答案】（1）；（2），验证见解析；（3）；（4）． 【详解】解：（1）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即． 故答案为：． （2），验证如下：由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即，整理得． （3）由图形可知图形的面积为或，所以．故答案为：． （4）由图形可知大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为； 又∵大正方形的面积为，∴． 25.（24-25八年级上·福建漳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：(1)直接写出代数式的最小值；(2)若，均为正数，且，求的最小值； (3)若，求的值． 【答案】(1)5(2)10(3) 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是矩形，∴，，∴， ∴，所以代数式的最小值为5． （2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上）， 则，，∴可将问题转化为求线段的最小值， ∴的最小值为线段的长度，过点作，交延长线于点， 则四边形是矩形，∴，，∴， ∴，所以代数式的最小值为10． （3）解：由题意，构造如下图形：其中，，，，于点， ∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，所以的值为． 26．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）在等腰中，，． (1)如图1，D，E是等腰斜边BC上两动点，且，在等腰外侧作，连接．问：①________． ②判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图2，点D是等腰斜边所在射线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰（点在点的顺时针方向上），当，时，请直接写出的长． 【答案】(1)①90；②，理由见解析 (2)5或 【详解】（1）解：①由得（全等三角形对应角相等）． 等腰中，，故，即． 因此，又，故． ②结论： 证明：由得． 因，，故，即，即． 在和中，故得． 由①知，在中，代入、得． （2）解：过A作于F，等腰中（斜边上的高等于斜边一半）． 分两种情况：①当D在上（B、C之间）：，则． 在中， 等腰中，． ②当D在延长线上（B外侧）：． 在中，，故． ∴的长为5或． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理 单元测试卷（强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，的对边分别记为a，b，c，根据以下条件，①；②；③；④．其中能判定为直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·广西来宾·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”的问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？其意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么折断处离地面的高度是（    ） A．3.6尺 B．3.2尺 C．3尺 D．2.4尺 3．（24-25八年级下·广东深圳·期末）观察下图等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（   ） ；； A．245 B．259 C．336 D．350 4.（24-25八年级上·福建福州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．已知在矩形中，是对角线，则有，即，，满足勾股定理；类比矩形的性质，如图，是长方体，若长方体的面，面，面的面积分别为，，，则，，的数量关系为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·成都期末）如图是一个长40、宽20、高60的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径的平方为（    ） A．800 B．1800 C．4000 D．9000 6．（24-25八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 7．（24-25八年级下·安徽六安·期中）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在中，，则中边的“中偏度值”为(    ) A．2 B．3 C． D． 8．（24-25八年级上·江西·期末）设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 9．（24-25八年级上·浙江温州·期中）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（    ） A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小 10．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，为等边三角形，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）小明把一个边长为的正方形按如图1的方式裁成个形状、大小完全相同的直角三角形，然后拼成如图的图形，得到正方形、正方形，小明把正方形的边放在数轴上，其中点与数轴上表示1的点重合，且点在原点右侧，则点表示的数是 ． 12．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）央视春晚人形机器人秧歌表演广受关注．人形机器人集人工智能、高端制造与新材料等先进技术于一体，展现了未来科技的无限可能．下面是一次机器人的走位测试：如图，甲、乙两个机器人分别在点的正西方向（点处）和正北方向（点处），且与点的距离分别为米，米．甲、乙两个机器人分别从点、点同时出发，沿，行走（，，三点在同一条直线上），要求行走到点处时恰好相遇，并且两个机器人的行走速度相同，则为 米． 13．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点依次在斜边上，分别以为斜边在内作四个直角三角形，且满足，点分别在边，上．若，，则这四个直角三角形的周长的和是 ． 14．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，正方形的边长是2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，⋯⋯，按照此规律继续作图，则的值为 ． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有 款扫地机可以购买． 16．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 17.（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，为边上的三等分点，点在直线上，且，则 ． 18．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（2025·广东·三模）如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． (1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 20．（24-25八年级下·浙江台州·期中）图1是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行全方位监控与拍摄，夜间的监控距离为．图2中，射线，是两条相交的公路，，将图1的球机安装在公路上的A处，．(1)求该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度； (2)将该球机安装到A处右侧多少距离外，夜间将监控不到公路上的事物？ 21．（25-26八年级上·江苏·单元测试）新考法定义：过直角三角形一直角边上的中点，向斜边引垂线，则称此垂线为直角三角形这一直角边上的直中斜垂线，直中斜垂线将斜边分为长度不相等的两条线段，其中较短的称为斜勾，较长的称为斜股． 性质：在直角三角形中，斜股与斜勾的平方差等于另一直角边的平方． (1)如图①，在中，是的中点，于点，则即为中直角边上的直中斜垂线，为斜勾，为斜股，求证：； (2)如图（2），在中，分别是中直角边的直中斜垂线，垂足分别为点，若，，求线段的长度． 22．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：3，4，5；5，12，13；8，15，17；等等都是勾股数． (1)如果是一组勾股数，即满足，则（为正整数）也是一组勾股数．如：5，12，13是一组勾股数，则______________也是一组勾股数； (2)世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当（为正整数，时，构成一组勾股数；请证明满足以上公式的是一组勾股数． 23．（24-25八年级上·成都·期末）如图，在中，，动点P从点C出发，按的路径，以每秒的速度运动，设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积．(2)t为何值时，线段是的平分线？ (3)请利用备用图2继续探索：当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？（直接写出结论） 24．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式． 【探索发现】（1）用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想与之间的关系为： ________； （2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为a，b，斜边长为c），拼出如图3所示的图形．根据图中条件，猜想并验证a，b，c之间的等量关系． 【拓展提升】（3）对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，…，．请你依据这个图形补全下面的等式： ________． （4）类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，…，n，形成了一系列的新正方形．请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式． 25.（24-25八年级上·福建漳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：(1)直接写出代数式的最小值；(2)若，均为正数，且，求的最小值； (3)若，求的值． 26．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）在等腰中，，． (1)如图1，D，E是等腰斜边BC上两动点，且，在等腰外侧作，连接．问：①________． ②判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图2，点D是等腰斜边所在射线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰（点在点的顺时针方向上），当，时，请直接写出的长． 2 / 22 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