3.3抛物线 教材习题解答-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3抛物线 【教材课后习题P138】 1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．填空题 （1）准线方程为的抛物线的标准方程是 ． （2）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 ． 3．已知抛物线上一点M与焦点F的距离，求点M的坐标. 4．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形： （1）顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6； （2）顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点． 5．如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角，求． 6．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：． 7．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7m，高为0.7m．根据图中的坐标系，求这条抛物线的方程． 8．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水下降1m后，水面宽多少？（精确到0.1m） 9．从抛物线上各点向x轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线. 10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个等边三角形的边长. 11．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程． 12．已知抛物线的方程为，直线l绕点旋转，讨论直线l与抛物线的公共点个数，并回答下列问题： （1）画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？ （2）与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？ 13．设抛物线的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点M（不同于抛物线的顶点）反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【教材习题答案】 1．答案：(1)焦点坐标为，准线方程为：； (2)焦点坐标为，准线方程为：； (3)焦点坐标为，准线方程为：； (4)焦点坐标为，准线方程为：； 解析：（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为：； （2）抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：； （3）抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：； （4）抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：． 2．答案：； 解析：（1）准线方程为，则，得，且焦点在轴上，故抛物线方程为； （2）设所求的点坐标为，抛物线上与焦点的距离等于6，则，得，代入抛物线方程得，故所求点坐标为. 3．答案： 解析：因为抛物线上一点M与焦点F的距离， 所以，所以，进而有，所以点M的坐标为：，故答案为： 4．答案：（1）y2＝±24x，图见解析；（2）x2＝﹣12y，图见解析． 解析：（1）∵抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，∴设抛物线的标准方程为：y2＝2px，又∵顶点与焦点的距离||＝6，∴p＝±12，∴抛物线的标准方程为：y2＝±24x； （2）∵顶点在原点，对称轴是y轴，∴设抛物线的标准方程为：x2＝2py，又∵抛物线经过点P（﹣6，﹣3）．∴36＝﹣6p，解得：p＝﹣6，∴设抛物线的标准方程为：x2＝﹣12y． 5．答案： 解析：抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图： 则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，，由抛物线定义知，，而，则，解得，所以=4. 6．解析：由得，设，则有，，，即，所以. 7．答案：， 解析：根据图形，设抛物线的方程为y＝ax2（a＞0），则该抛物线过点B（，0.7），∴a0.7，解得a，∴该抛物线的方程为yx2即， 8．答案：4.9 m 解析：在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示. 设该拋物线的方程为.拱顶离水面2 m，水面宽4 m，点在拋物线上，，解得，拋物线的方程为.当水面下降1 m时，，代入，得，即，，故这时水面宽约为4.9 m. 9．答案：；顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线. 解析：设抛物线上的点M(x0，y0)，过M作MQ⊥x轴于Q，设线段MQ中点P(x，y)，于是有，而，即，从而得，当M为抛物线顶点时，可视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点P与M重合，坐标也满足上述方程，所以垂线段的中点的轨迹方程是，它是顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线. 10．答案： 解析：设正三角形的顶点A、在抛物线上，且设点、， 则，，又，∴，即，∴，又∵，，，∴，由此可得，即线段关于轴对称，∵轴垂直于，且，∴，∵，∴，∴. 11．答案：， 解析：设，则，整理，得，． 动点的轨迹方程是，．故答案为：，． 12．答案：(1)相切或相交于一点；(2)相等. 解析：(1)直线l与抛物线的位置关系有相交、相切、相离三种，如图：其中相交时有相交于两个公共点和相交只有一个公共点(图中直线l0)，    观察图形知，直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l与抛物线相切(图中直线l1，l2)和相交于一个公共点(图中直线l0与x轴平行)； (2)直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，方程为，即，由消去x得：，k=0时，y=1，，方程组只有一个解，由图知直线l与抛物线相交，只有一个公共点，直线l的斜率为0；时，， 或时，方程组有两个相同的实数解，由图知直线l与抛物线相切，只有一个公共点，直线l的斜率分别为；时，方程组有两个不同的实数解，由图知直线l与抛物线交于两点，直线l的斜率；时，方程组没有实数解，由图知直线l与抛物线相离，没有公共点，直线l的斜率；直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-2，显然方程组没有实数解，由图知直线l与抛物线相离，没有公共点，直线l的斜率不存在，所以抛物线与直线l的方程组成的方程组解的个数与抛物线与直线l公共点的个数相等. 13．解析：不妨假设点M在第一象限，设M(a，b)(b> 0)，抛物线在第一象限内的解析式为(x>0)，从而有，记抛物线在点M处的切线为直线l，过点M且垂直于切线l的直线记为m，则直线l的斜率是，直线m的斜率是，所以直线m的方程为，设点F关于直线m的对称点为N(s，t)，线段FN的中点为Q，则点Q在直线m上，且直线FN⊥m，由题意可知，则，从而有 ① 因为FN⊥m，所以直线FN的斜率②，由②可得③，将③代入①可得，化简得④，因为点M(a， b)在上，所以，将代入④可解得t = b，所以点M的纵坐标等于点N的纵坐标，所以FN//x轴，即符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴. 同理可证，当点M在第四象限时，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴. 综上可知，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴. 【定点变式训练】 1.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且，则( ) A.3 B.6 C.9 D.12 2.过点且与抛物线只有一个公共点的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.0条 3.在平面直角坐标系中，到点和直线的距离相等的点的轨迹是( ) A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线 4.已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交y轴于点N，若M为的中点，则_______. 5.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（），原点O为边AD的中点，抛物线经过C，F两点，则__________. 6.已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N.若，则点M的横坐标为________；的面积为________. 7.已知点在抛物线上. （1）求抛物线C的方程； （2）过y轴上一点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D四点，且M，N分别是线段AB，CD的中点，求面积的最小值. 8.已知抛物线上的一点到抛物线的焦点F的距离是3. （1）求抛物线C的方程； （2）已知过点F的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与C的准线l交于点D，且线段AB的中点为N，设，求实数的取值范围. 【变式训练答案】 1.答案：C 解析：抛物线的焦点和准线，作图如下： 由，可得，过B作于C， 设l与x轴交于D，则， 因为，所以，所以，所以，故选C. 2.答案：C 解析：易知过点且斜率不存在的直线方程为，满足与抛物线只有一个公共点.当斜率存在时，设直线方程为，与联立，得，当时，方程有一个解，此时直线与抛物线只有一个公共点；当时，令，解得，此时直线与抛物线只有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选C. 3.答案：A 解析：因为点在直线上，所以所求点的轨迹是过点且与直线垂直的直线. 4.答案：6 解析：抛物线的焦点为， N点在y轴上，设. 又M为的中点， ，即， 又M点在抛物线上， ， 所以 故答案为：6. 5.答案： 解析：由题意知，点C的坐标为，点F的坐标为.C，F两点都在抛物线上， ，即，解得或.，. 6.答案：5； 解析：设点M的坐标为，则有，解得，所以M的横坐标是5.将代入，得，由题意得. 7.答案：（1） （2）4 解析：（1）将点的坐标代入中，得， 故或（舍去）， 故C的方程为. （2）设，由题意可得直线AB，CD的斜率均存在且不为0， 故可设直线AB，CD的方程分别为，， 设A，B，C，D四点的坐标分别为，，，. 由两直线互相垂直，得， 联立直线AB与抛物线C的方程， 有消去y，得， ，，. 则，， 故. 同理可得，， ， 则， 同理可得. 由直线AB，CD互相垂直，得， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为4. 8.答案：（1） （2） 解析：（1）根据抛物线的定义有，， 所以抛物线C的方程为. （2），抛物线的准线为，依题意可知直线AB与x轴不重合， 设直线AB的方程为. 由消去x得， . 设，， 则，， ，， 所以. 因为DN垂直平分AB， 所以直线DN的方程为，即， 令，得，即，则. 又， 则 ， 所以，即实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$