第三章 函数（复习课件）数学人教B版2019必修第一册

单元复习课件 第三章函数 人教B版2019必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.复习回顾函数基础知识，能灵活运用函数的性质解决相关问题；培养学生逻辑推理能力，体会数形结合的思想 3.综合解决函数问题以及含参问题的处理方式 2. 学会研究函数性质的一般思路 单元学习目标 函数 函数的概念与性质 函数与方程、不等式之间的关系 函数的应用（一） 函数及其表示方法 函数的单调性 函数的奇偶性 单元知识图谱 一、函数的概念与性质 （一）函数及其表示方法 1.函数的概念 一般地，给定两个非空实数集与，以及对应关系，如果对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作，, 其中称为自变量，称为因变量， 自变量取值的范围(即数集)称为这个函数的定义域， 所有函数值组成的集合称为函数的值域 是“y是x的函数”这句话的数学符号表示 注：1.同一个函数：函数定义域相同且对应关系相同 考点串讲 一、函数的概念与性质 2.函数定义域的过程中，应注意： (1)分式中分母不能为零； (2)二次根式中的被开方数要大于或等于零； (3)零次幂的底数不为0； (4)若函数是由几个数学式子构成，则其定义域是使各部分都有意义的实数组成的集合； (5)求函数的定义域 ①已知函数的定义域为,求函数的定义域 ②已知函数的定义域为,求函数的定义域 可通过解得到 在上的范围 遵循两点：1.定义域是指自变量的取值范围 2.在同一对应法则下，括号内式子的范围相同 考点串讲 一、函数的概念与性质 2.函数的表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 解析法 将两个变量的函数关系用一个代数式子（即解析式）表示 1.精确、全面地概括变量之间的关系 2.通过解析式可以求出自变量取特殊值时对应的函数值 抽象 列表法 列出表格表示两个变量的函数关系 1.不需要计算就可以直接得到与自变量的值对应的函数值 2.直观地看到函数的定义域、值域 当函数定义域中包含的元素比较多时，用列表法不方便 图像法 用图像表示两个变量的函数关系 能够直观形象地表示与自变量的变化相对应的函数值的变化情况，使得我们可以利用图像来研究函数的性质 手工绘制图像不容易 考点串讲 一、函数的概念与性质 注： ①分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数 定义域是各段自变量取值范围的并集，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏 值域是各段函数值取值范围的并集 ②常数函数 值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数. 也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等 考点串讲 一、函数的概念与性质 3.函数解析式的求法 (1)待定系数法：适用于已知所求函数类型(如一次函数、二次函数) (2)换元法：已知的解析式，求的解析式 步骤：令反解出x，然后把x代入中求出，从而得到 注：换元法适用于方便解出x的所有情况，如果不易解出，或者解出x比较麻烦，则不能采用此法；另外换元后要注意新元的取值范围，即函数的定义域 (3)配凑法：已知的解析式，求的解析式.在不方便用换元法求解，但等式右边容易配成的解析式 考点串讲 一、函数的概念与性质 步骤：已知，可将改写成的表达式，然后以替代，得到的解析式 配凑法也蕴含换元的思想，最后结果也要注意定义域 (4)构造方程组法：如果条件是一个关于与或与等的方程，常利用两个自变量之间的关系（相反或倒数），再构造一个新的关于这两个自变量的方程，与条件方程构成方程组求解 考点串讲 一、函数的概念与性质 （二）函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且I⊆D: 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 如果对任意x1,x2 ∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2) ，则称函数f(x)在I上是增函数（也称在I上单调递增） 如果对任意x1,x2 ∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2) ，则称函数f(x)在I上是减函数（也称在I上单调递减） 图像描述 自左向右看， 图像呈上升趋势 自左向右看， 图像呈下降趋势 两种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间） 考点串讲 注： 一、函数的概念与性质 （1）单调性定义的等价形式 （2）函数有多个单调区间时 （3）单调区间的端点取开还是闭 （4）函数单调性常见结论 任意x1,x2 ∈I，,有 或f(x)在I上单调递增(减) 要用逗号“，”或者汉字“和”链接，不能用“”连接 单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭；若区间端点不属于定义域则只能开 ①函数在公共定义域内，与，单调性相反 与单调性相同 考点串讲 一、函数的概念与性质 （5）判断函数的单调性的方法 1）图像法 若函数图像从左到右上升，则为增函数； 若函数图像从左到右下降，则为减函数 2）性质法 若和在区间I上均为增函数，则在区间I上也为增函数 若和在区间I上均为减函数，则在区间I上也为减函数 ②“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N是M的子集 考点串讲 一、函数的概念与性质 用定义证明函数的单调性的步骤: 1.任取:任取x1,x2 ∈I，并假定它们之间的大小关系(x1＜x2或x1＞x2)； 2.作差:f(x1)-f(x2)； 3.变形：将f(x1)-f(x2)进行适当的因式分解、通分、配方、有理化等方法变形； 4.定号：确定f(x1)-f(x2)的符号； 5.结论:根据定义确定单调性. 3）定义法 考点串讲 一、函数的概念与性质 （6）分段函数单调性的判断（两个关键点） ①每一段函数在各自区间内单调性相同 ②分段点处的函数值满足单调性要求：比如，若函数在分段点左侧单调递增，右侧也单调递增 易忽视 考点串讲 一、函数的概念与性质 2.最值与最值点 一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0∈D: 如果对任意x∈D,都有f(x)≤f(x0),则称f(x)的最大值为f(x0), 而x0称为f(x)的最大值点; 如果对任意x∈D,都有f(x)≥f(x0),则称f(x)的最小值为f(x0), 而x0称为f(x)的最小值点. 最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点 函数的最大值的几何意义是图像上最高点的纵坐标 函数的最小值的几何意义是图像上最低点的纵坐标 考点串讲 一、函数的概念与性质 注： （1）如果知道函数的单调性，就可以判断函数最值的情况，并且在最值存在的情况下求出最值 （2）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得 （3）求函数最值的方法：借助函数的单调性和图像 考点串讲 一、函数的概念与性质 3.函数的平均变化率 一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)， (即 )，则： (1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是 在I上恒成立； (2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是 在I上恒成立； 一般地，当x1≠x2时，称 为函数在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x2<x1时)上的平均变化率 借助平均变化率可以理解和证明函数的单调性 考点串讲 一、函数的概念与性质 注： 函数可以分为线性函数和非线性函数 线性函数的特点：自变量的增加量相等时， 因变量的增加也一定相等 非线性函数的特点：自变量的增加量相等时， 因变量的增加不一定相等 只有一次性函数才具有线性增长性 考点串讲 1.奇偶函数的定义 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有 -x∈D,且f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇函数 （三）函数的奇偶性 一、函数的概念与性质 考点串讲 注： （1）若奇函数在处有意义，则有 （2）偶函数满足， （3）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反； 奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同 （4）偶函数在对称区间上的值域相同， 奇函数在对称区间上的值域关于原点对称 如果知道一个函数是奇函数或是偶函数,那么其定义域能分成关于原点对称的两部分,得出函数在其中一部分上的性质和图像,就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像 一、函数的概念与性质 考点串讲 2.函数奇偶性的判断 （1）图像法 （2）定义法 定义域关于原点对称 的关系 非奇非偶函数 否 是 f(-x)=f(x) f(-x)-f(x) f(-x)与f(x)无上述关系 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 函数是偶函数⇔函数的图像关于轴对称 函数是奇函数⇔函数的图像关于原点中心对称 一、函数的概念与性质 考点串讲 3.分段函数的奇偶性的判断 通常采用定义法 分段函数不是几个函数，而是一个函数 先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(-x)与f(x)的关系 注： 1.对于定义域关于原点对称的分段函数，对于每个区间内的x,计算f(-x)，并与f(x)进行比较 2.若函数在所有区间内均满足奇函数或偶函数的条件，则整个分段函数为奇函数或偶函数 一、函数的概念与性质 考点串讲 4.如何证明函数的图像关于点对称 如果对于任意的，都有，且 那么函数f(x)的图像关于点对称 5.如何证明函数的图像关于直线对称 设函数f(x)的定义域为 那么函数f(x)的图像关于直线对称 一、函数的概念与性质 设函数f(x)的定义域为 如果对于任意的，都有，且 考点串讲 注：通过函数变换可得到如下结论 （1）函数f(x)的图像关于直线对称， 当且仅当为偶函数 （2）函数f(x)的图像关于关于点对称， 当且仅当为奇函数 所有图像关于直线对称的函数， 都可以由偶函数经过平移得到； 所有图像关于某一个点（不是原点）对称的函数， 都可以由奇函数经过平移得到 一、函数的概念与性质 考点串讲 一、函数的概念与性质 6.利用函数奇偶性求解析式 ①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内 ②利用已知区间内的解析式代入，求未知区间内的解析式 ③利用f(x)的奇偶性写出或，从而解出 考点串讲 二、函数与方程、不等式之间的关系 （一）函数的零点 一般地，如果函数在实数处的函数值等于零， 即，则称为函数的零点 是函数零点的充分必要条件是，是函数图象与轴的公共点 注：（1）函数的零点是一个实数，是使函数值为0的自变量的值 （2）函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图像与轴有交点⇔方程有实数根 （3）变号零点与不变号零点 函数在不变号零点附近的图像在x轴上和x轴的同一侧， 在变号零点附近的图像在x轴上和x轴的两侧 考点串讲 二、函数与方程、不等式之间的关系 （4）求函数零点的方法 ①直接从函数解析式所对应的方程中求解 ②直接从函数图像观察 ③如果函数能拆成两个函数差的形式，即，那么函数的零点可以利用函数与的图像的交点得到 考点串讲 二、函数与方程、不等式之间的关系 （二）二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 判别式 ∆＞0 ∆=0 ∆＜0 二次函数的图像 一元二次方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2 (x1<x2) 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x} 的解集 {x|x1<x<x2} x1 x2 x1=x2 考点串讲 二、函数与方程、不等式之间的关系 注： 1. 二次函数的零点，即对应方程的根，即对应不等式解集的端点 2.利用二次函数求一元二次不等式解集的步骤 ①把原不等式变形为其中 ②根据方程的根及的符号， 画出二次函的草图 ③观察函数图像，写出解集 三个二次之间的关系 考点串讲 二、函数与方程、不等式之间的关系 3.穿根法解高次不等式 ①不等号的左边是几个因式的积，右侧为0；（一定要保证x的最高次幂的项的系数为正） ②求出不等式对应的方程的所有根 ③在数轴上由小到大依次标出各根 ④从数轴最右根的右上方依次通过每一个点画线，但画线时遇偶次重根不穿过，遇奇次重根要穿过 奇过偶不过 ⑤看图写出不等式的解集 考点串讲 二、函数与方程、不等式之间的关系 （三）零点的存在性及其近似值的求法 1.函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的，并且(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数在区间中至少有一个零点，即，. 容易忽视 考点串讲 二、函数与方程、不等式之间的关系 (1)函数零点存在定理不能判断在区间(a，b)上有多少个零点，只能判断至少存在一个零点.如果知道函数在区间[a，b]上是单调函数，则可以肯定在区间(a，b)上有且只有一个零点 (2)函数零点存在定理 不必要条件 充分条件 函数存在零点 注： 考点串讲 二、函数与方程、不等式之间的关系 2.二分法 在函数零点存在定理的条件满足时(即在区间上的图象是连续不断的，且)，给定近似的精确度，用二分法求零点的近似值，使得的一般步骤如下： 第一步 检查是否成立，如果成立，取，计算结束；如果不成立，转到第二步. 第二步 计算区间的中点对应的函数值，若，取，计算结束；若，转到第三步. 考点串讲 二、函数与方程、不等式之间的关系 第三步 若，将的值赋给(用表示，下同)，回到第一步；否则必有，将的值赋给，回到第一步 应用二分法除了可以求函数零点近似值之外， 还可以计算某些无理数的近似值 考点串讲 三、函数的应用（一） 解函数应用问题的步骤 （1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型 （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型 （3）解模：求解数学模型，得出结论 （4）还原：将数学问题还原为实际问题 考点串讲 题型一 求函数的定义域 例1 (1) (2) 题型剖析 针对训练 题型二 求函数的解析式 例2 题型剖析 针对训练 题型三 求函数的值域（最值） 结合换元法及二次函数的性质 例3 题型剖析 考查了函数的单调性 针对训练 题型四 用定义证明函数的单调性 例4 题型剖析 针对训练 题型五 函数奇偶性的判断与证明 例5 题型剖析 针对训练 题型六 利用奇偶性求值（参数） 例6 定义域关于原点对称 需要验证 题型剖析 构造奇函数 针对训练 题型七 利用奇偶性求解析式 例7 题型剖析 根据奇偶性，构造方程组 针对训练 题型八 利用函数的单调性和奇偶性 比较大小 例8 题型剖析 针对训练 题型九 利用单调性和奇偶性解不等式 例9 题型剖析 针对训练 题型十 零点的存在性及其近似值的求法 例10 题型剖析 针对训练 题型十一 分段函数相关问题 求函数值 已知函数值求参数 分类讨论 例11 (1) 题型剖析 题型十一 分段函数相关问题 解不等式 例11 (2) 题型剖析 题型十一 分段函数相关问题 已知值域求参数 例11 (3) 题型剖析 题型十一 分段函数相关问题 已知单调性求参数 例11 (4) 题型剖析 题型十一 分段函数相关问题 已知奇偶性求参数 例11 (5) 题型剖析 带绝对值的函数，可通过去绝对值转化为分段函数 针对训练 题型十二 二次函数、一元二次方程、 不等式 恒成立问题 解集为全体实数，主要是看开口方向和判别式 例12 (1) 题型剖析 题型十二 二次函数与一元二次方程、 不等式 三个二次之间的关系 已知单调性求参数的取值范围 最值问题 讨论对称轴与区间的位置关系 例12 (2) 题型剖析 题型十二 二次函数与一元二次方程、 不等式 题型剖析 题型十二 二次函数与一元二次方程、 不等式 题型剖析 题型十二 二次函数与一元二次方程、 不等式 根的分布 例12 (3) 题型剖析 存在性问题 含参一元二次不等式 针对训练 针对训练 针对训练 题型十三 函数的应用 例13 题型剖析 题型十三 函数的应用 题型剖析 针对训练 针对训练 一、函数的概念与性质 二、函数与方程、不等式之间的关系 三、函数的应用（一） 课堂总结 感谢聆听! $$