12.5 全等三角形的判定（通过辅助线构造全等）（题型专练）数学北京版2024八年级上册

12.5 全等三角形的判定（通过辅助线构造全等） 题型一 连接两点构造全等 1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，点为第二象限内一点，且，，满足． (1)求点的坐标； (2)如图2，若点在轴的正半轴上，且满足，轴于点，交的延长线于点，①求的度数； ②求证：． 2．（20-21八年级上·江西南昌·期末）如图，以为直角顶点作两个等腰直角三角形和，且点在线段上（除外），求证：    3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，且，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)延长，交的延长线于点G．求证：． 4．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在正方形中，点是对角线的中点，点为边上一点，连接，过点作交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，线段、、之间有怎样的数量关系，请说明理由； (3)如图3，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若，，，求的长． 题型二 作平行线构造全等 5．（2025·山东济宁·模拟预测）在中，，，将线段绕点旋转，得到线段，连接、． (1)如图1，将线段绕点逆时针旋转，则的度数为 ； (2)将线段绕点顺时针旋转， ①如图2，求的度数； ②如图3，若的平分线交于点，交的延长线于点，连接．用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师给出在中，已知，求证：． 证明：作的平分线交于点D． ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形 接着出示了这样一个问题： 如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，并应用了李老师前面证明的结论得出此题结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，平分，点E在线段的延长线上，过点E作，交于点N，交于点D，且， ，，求的长． 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，求证：． 如图，小明同学发现：如果过作交于点，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系． 如图，小颖同学发现：如果过作交于点，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类此分析】 （2）王老师发现之前两名同学都运用数学的转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，王老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，探究线段，，之间的数量关系． 【学以致用】 （3）在中，，，点在边上，点在边上，连接 不平行)，将线段绕点逆时针旋转角，得到线段，连接，，再过点作交于点，过点作交于点，当，，时，求的周长． 题型三 作垂线构造全等 8．（24-25八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上． (1)如图1，若点在轴正半轴上，，，交轴于点， ①若，则______： ②若点的坐标为，求点坐标． (2)如图2，若点在轴负半轴上，轴于点，轴于点，，交直线于点，若点，，求的长． 9．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足． (1)直接写出的面积； (2)如图1，若点C为线段上一点，连接，作，且，连接．求的度数； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，点，分别为，的中点，连接，，请探究线段与之间的关系，并证明你的结论． 10．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； (2)如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：； (3)如图（3），若点在轴上，且，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 题型一 倍长中线构造全等 11．（24-25八年级上·北京·期中）老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 12．（22-23八年级上·北京东城·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】(1)直接写出图1中的取值范围： (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 13．（2023八年级上·全国·专题练习）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是___________． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 题型二 截长补短构造全等 14．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 15．（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 题型三 补全图形构造全等 16．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 17．（24-25八年级上·广东云浮·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，已知，，且 (1)判断的形状为______直接写结论； (2)如图1，已知，点C是线段上的一个动点不在端点上，连接，过点A向右作，且，连接，过点作直线轴交于点若，求点C的坐标； (3)如图2，在线段的延长线上取一点E，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形，连接若，，求的面积． 18．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，菱形中，，点E为边上一点（不与点A、B重合），连接，点F在线段上满足，连接． (1)求证：； (2)连接，点N是线段中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 19．（24-25八年级上·北京·期中）在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 题型四 旋转构造全等 21．（20-21八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．      22．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______； (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 23．（20-21八年级上·河北唐山·期中）已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）如图①所示，直接写出线段BE和CD之间的数量关系和位置关系．数量关系：______，位置关系：_______． （2）将△ADE绕点A旋转到如图②所示的位置，请判断（1）中所得线段BE和CD之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由． （3）猜想：若将题目中的“∠BAC＝∠DAE＝90°”改为“∠BAC＝∠DAE＝60°”，其余条件不变，请直接写出直线BE和CD所夹锐角的度数为______． 24．（24-25八年级上·北京海淀·期末）在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 25．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 26．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，已知等边，点在边上，，点是点关于直线的对称点，点在上满足，延长交于点．    (1)直接写出和的度数（用含的式子表示）； (2)探究线段、、满足的等量关系，并证明； (3)若，为中点，连接．当最短时，直接写出此时的值． 27．（2023八年级上·江苏·专题练习）等腰，，，点，分别在轴，轴的正半轴上．    (1)如图，求证：． (2)如图2，若，，求点的坐标． (3)如图3，点，，两点均在轴上，且，分别以，为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，的长度是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.5 全等三角形的判定（通过辅助线构造全等） 题型一 连接两点构造全等 1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，点为第二象限内一点，且，，满足． (1)求点的坐标； (2)如图2，若点在轴的正半轴上，且满足，轴于点，交的延长线于点， ①求的度数； ②求证：． 【答案】(1)， (2)①；②证明见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定和性质、因式分解等知识，熟练掌握以上知识点，学会添加恰当辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． （1）利用因式分解的方法将变形为，求出的值，即可得出点的坐标； （2）①结合图形和可得，得出平分，即可求出的度数；②连接，先证明得到，，进而得到，再证明，得出，利用线段和差即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ，， ，． （2）①解：， ， ， 平分， 又， ； ②证明：如图，连接， 由①中的结论得，， 又，， ， ，， 轴， ，轴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 2．（20-21八年级上·江西南昌·期末）如图，以为直角顶点作两个等腰直角三角形和，且点在线段上（除外），求证：    【答案】证明见解析 【分析】连接BD，证明△AOC≌△BOD（SAS），得到△CBD为直角三角形，再由勾股定理即可证明． 【详解】解：连接BD， ∵△AOB与△COD为等腰直角三角形， ∴AO=BO，CO=DO，∠AOB=∠COD=90°，∠A=∠ABO=45°， ∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC ∴∠AOC=∠BOD， 在△AOC与△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS） ∴∠A=∠OBD=45°，AC=BD， ∴∠ABO+∠OBD=90°，即∠CBD=90°， ∴在Rt△CBD中， 即．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理证明线段的关系，解题的关键是作出辅助线，通过全等证明△CBD为直角三角形． 3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，且，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)延长，交的延长线于点G．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据菱形的性质可求出，，，证明是等边三角形，得出，根据证明，得出，，进而可求出，最后根据等边三角形的判定即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质可得出，然后结合即可得证． 【详解】（1）证明：连接， ∵菱形， ∴，，分别平分，，， ∴，， 又， ∴， ∵分别平分，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：如图， ∵是等边三角形， ∴， 又， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 4．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在正方形中，点是对角线的中点，点为边上一点，连接，过点作交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，线段、、之间有怎样的数量关系，请说明理由； (3)如图3，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；熟练运用这些知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）方法一：如图1，连接，证明；方法二：如图，连接，过点作，过点作，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）延长交于，连接，证明，则，，根据垂直平分线的性质可得，进而根据勾股定理，即可得出结论；    （3）证明，则，，同理可得，根据，建立方程解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：方法一：如图1，连接， 四边形是正方形，是的中点， ，， ， 又， ， 在和中， ，            方法二：如图，连接，过点作，过点作， ， 四边形是正方形，是的中点， 平分，，   ， 四边形为正方形， ， 又， ， ，       （2） 如图，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，           是的中点， ， 又， ， 则，，              ， ， ， 即 （3）如图，延长交于，连接， 四边形是矩形， ，      ， 是的中点， ， 又， ， 则，，     ， ， ，    ， ， 解得. 题型二 作平行线构造全等 5．（2025·山东济宁·模拟预测）在中，，，将线段绕点旋转，得到线段，连接、． (1)如图1，将线段绕点逆时针旋转，则的度数为 ； (2)将线段绕点顺时针旋转， ①如图2，求的度数； ②如图3，若的平分线交于点，交的延长线于点，连接．用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①；②，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形． （1）根据旋转的性质可得，，再由等腰直角三角形的性质得解； （2）①由旋转易得：，，则，根据，即可得解； ②过点作，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质得垂直平分，由①知，，可得，根据得，，可得，证明，根据线段的和差即可得解． 【详解】（1）解：在中，，， 由旋转的性质可知：，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； 故答案为：； （2）解：①由旋转易得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②； 证明：如图所示，过点作，交的延长线于点， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴，， 由①知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师给出在中，已知，求证：． 证明：作的平分线交于点D． ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形 接着出示了这样一个问题： 如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，并应用了李老师前面证明的结论得出此题结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，平分，点E在线段的延长线上，过点E作，交于点N，交于点D，且， ，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①在线段上截取，使，连接，证明，得到，由平行线的性质得到；过点A作平分交于H，证明，得到，则，由题设结论得：，则可证明； ②过点E作，交的延长线于点M，如图3所示：证明，得到，同理可得，则可证明，由题设结论得：，则； （2）延长到H，使，连接，如图4所示：证明，得到，再证明，由题设结论得：，则； （3）过点C作，交的延长线于点K，如图5所示：先导角证明，得到，则，证明，得到，则，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：在线段上截取，使，连接，如图2所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：过点E作，交的延长线于点M，如图3所示： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， 由题设结论得：， ∴； （2）证明：延长到H，使，连接，如图4所示： ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由题设结论得：， ∴； （3）解：过点C作，交的延长线于点K，如图5所示： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：． 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，求证：． 如图，小明同学发现：如果过作交于点，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系． 如图，小颖同学发现：如果过作交于点，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类此分析】 （2）王老师发现之前两名同学都运用数学的转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，王老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，探究线段，，之间的数量关系． 【学以致用】 （3）在中，，，点在边上，点在边上，连接 不平行)，将线段绕点逆时针旋转角，得到线段，连接，，再过点作交于点，过点作交于点，当，，时，求的周长． 【答案】（） 见解析；（），理由见解析；（）的周长为或． 【分析】（）若选择小明同学的思路，过作交于点，可证明是等边三角形，得，，再证明是等边三角形，得，，可证明，得，；若选择小颖同学的思路，过作交于点，可证明是等边三角形，推导出，，，再证明是等边三角形，得，，进而证明，得，则； （）取的中点，的中点，连接，则，，因为，，所以，可证明，则，再证明，则，再证明，得，则； （）根据题干条件画出图形，分类讨论即可求解． 【详解】（）证明：方法一：如图，过作交于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是中点， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：如图，过作交于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）解：，理由： 取的中点，的中点，连接，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴，，， ∴，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （）如图所示， 当时，则在下方， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴，，由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：； 如图所示， 当时，则在上方，同理可得， 此时的周长为：， 综上可知：的周长为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识的应用，正确添加辅助线及分类讨论思想应用是解题的关键． 题型三 作垂线构造全等 8．（24-25八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上． (1)如图1，若点在轴正半轴上，，，交轴于点， ①若，则______： ②若点的坐标为，求点坐标． (2)如图2，若点在轴负半轴上，轴于点，轴于点，，交直线于点，若点，，求的长． 【答案】(1)①，②； (2)的长为． 【分析】本题考查了几何与坐标，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①先得到是等腰直角三角形，再得出，，利用三角形外角的定义即可求解； ②作轴于点轴于点，则，证明，得到，即可求解； （2）作于点，则，先证明，得到，再证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； ②如图1，作轴于点轴于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴； （2）解：如图2，作于点，则， ，，轴于点，轴于点， ∴，，，， ∴，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ， ∴的长为． 9．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足． (1)直接写出的面积； (2)如图1，若点C为线段上一点，连接，作，且，连接．求的度数； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，点，分别为，的中点，连接，，请探究线段与之间的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)8； (2)； (3)，，证明见解析． 【分析】（1）根据非负数的性质可得，最后根据三角形的面积公式得出答案； （2）如图1，过点作轴于，证明，得，，再证明和是等腰直角三角形，即可得出答案； （3）如图2，连接，，延长交于，连接，设与交于点，证明和，最后得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ，， ， 点，点， ， 的面积； （2）解：如图1，过点作轴于， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ； （3）解：，，证明如下： 如图2，连接，，延长交于，连接，设与交于点， ，是的中点， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知：， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ∴， 是等腰直角三角形， ， ，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，直角三角形的性质，非负数的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键． 10．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； (2)如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：； (3)如图（3），若点在轴上，且，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 【答案】(1) (2)见详解 (3)的长度不变， 【分析】本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． （1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． 【详解】（1）解：如图1，过点C作轴于点F，    ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点C作交y轴于点G，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 题型一 倍长中线构造全等 11．（24-25八年级上·北京·期中）老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，构造全等三角形． （1）延长中线至点Q，使；连接，得到，判定，推出，由三角形三边关系定理得，即可得到， （2）延长到K，使，连接，得到，判定，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，延长中线至点Q，使；连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图2，，理由如下： 延长到K，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（22-23八年级上·北京东城·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围： (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法； （1）延长使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解； （2）由（1）中即可求解； （3）延长使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明，即可求解． 【详解】（1）解：延长使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：； 由（1）得：， ∴，， ∴； （3）解：； 延长使得，连接，如图，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 13．（2023八年级上·全国·专题练习）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是___________． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形． （1）由题意可得及三角形三边关系，即可求解； （2）通过证明，得出，即可得出结论； （3）同（2）得，则，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， 故答案为； （2），理由如下， 延长到Q使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下， 在下图中，延长到Q使得，连接， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上：． 题型二 截长补短构造全等 14．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 题型三 补全图形构造全等 16．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为10． 17．（24-25八年级上·广东云浮·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，已知，，且 (1)判断的形状为______直接写结论； (2)如图1，已知，点C是线段上的一个动点不在端点上，连接，过点A向右作，且，连接，过点作直线轴交于点若，求点C的坐标； (3)如图2，在线段的延长线上取一点E，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形，连接若，，求的面积． 【答案】(1)等腰直角三角形 ，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意可求，即可求解； （2）由可证≌，可得，由可证≌，可得，即可求解； （3）由可证，可得，由可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，a，b为正数， ， ， 又， 是等腰直角三角形； （2）解：由（1）知是等腰直角三角形， ， 如图1，过点D作轴交y轴于点H，交直线于点G， ， ， ， ， ，， ， ， 轴， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点C在负半轴上， ； （3）解：由（1）得，， 如图2，延长到点P，使，连接， 是等腰直角三角形， ， ∵， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 18．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，菱形中，，点E为边上一点（不与点A、B重合），连接，点F在线段上满足，连接． (1)求证：； (2)连接，点N是线段中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)补全图形见解答过程；，理由见解答过程 【分析】（1）先证明和都是等边三角形得，则，再根据及三角形外角性质得，由此即可得出结论； （2）依题意补全图形即可；延长到，使，连接，并在延长线上取一点，使，连接，则，证明和全等得，进而得，再证明和全等得，进而可证明是等边三角形，则，进而得 ，由此可证明和全等，则，据此即可得出线段之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1所示： ∵四边形是菱形，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且是的外角， ∴， ∴； （2）解：依题意补全图形，如图2所示： 线段之间的数量关系是：，理由如下： 延长到，使，连接，并在的延长线上取一点，使，连接，如图3所示： ∴， ∵点是线段中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又 ∵， ∴是等边三角形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，理解菱形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 19．（24-25八年级上·北京·期中）在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 【答案】(1)6 (2)①图见详解；②，证明见详解 (3) 【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，计算，再由含角的直角三角形的性质可得，从而可得的长； （2）①依题意补全图形即可； ②先证，再证即可得到； （3）看见，考虑构造逆等线全等模型，过点A作，使，先证得到，从而将转化为，当N、D、C三点一线时，取得最小值，再利用角得和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴是等边三角形， ∵D为中点， ∴， ， ， ∴， ； （2）解：①补全图形如图所示． ②解：，证明如下： 连接， ，， ∴是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， ∴是等边三角形， ，． ，，， ， 在和中， ， ∴， ， ； （3）解：过点A作，使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ， ∴当N、D、C三点一线时，取得最小值，如图所示， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型四 旋转构造全等 21．（15-16八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______； (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)； (2)且，理由见解析 (3)， 【分析】（1）先判断出，进而证明，即可得出结论； （2）先证明，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）先证明，得出，，进而求出，最后用三角形外角的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：且； 理由如下：∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：且； （3）解：，，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，判断出是解本题的关键． 23．（20-21八年级上·河北唐山·期中）已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）如图①所示，直接写出线段BE和CD之间的数量关系和位置关系．数量关系：______，位置关系：_______． （2）将△ADE绕点A旋转到如图②所示的位置，请判断（1）中所得线段BE和CD之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由． （3）猜想：若将题目中的“∠BAC＝∠DAE＝90°”改为“∠BAC＝∠DAE＝60°”，其余条件不变，请直接写出直线BE和CD所夹锐角的度数为______． 【答案】（1）BE＝CD，BE⊥CD；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）60°． 【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，由余角的性质可得∠BND＝90°，可得结论； （2）由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，由三角形的内角和定理可得BE⊥CD； （3）由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，由三角形的内角和定理可求∠BFC＝60°． 【详解】解：（1）如图延长BE交CD于N， ∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴△ADC≌△AEB（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠ABE+∠ADC＝90°， ∴∠BND＝90°， ∴BE⊥CD， 故答案为：BE＝CD，BE⊥CD； （2）结论仍然成立， 理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CAD， 又∵AB＝AC，AE＝AD， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°， ∴∠EBC+∠ACB+∠ACD＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴BE⊥CD； （3）如图3， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠CAD， 又∵AB＝AC，AE＝AD， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD， ∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝120°， ∴∠EBC+∠ACB+∠ACD＝120°， ∴∠BFC＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】此题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰三角形与直角三角形的性质，解题中正确掌握全等三角形的判定定理及逻辑推理能力是解题的关键． 24．（24-25八年级上·北京海淀·期末）在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形及等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据题意补全图形即可；②延长至F，使得，连接，根据等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定得出，，再由全等三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：当点P在直线右下方时，当点P在直线左下方时，方法同②相似，求证即可． 【详解】（1）解：①补全图形如下： ②延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）当点P在直线右下方时，如图所示： 延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等腰三角形，， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在直线左下方时，如图所示： 同理得：，，， ∴， 综上可得：或． 25．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 26．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，已知等边，点在边上，，点是点关于直线的对称点，点在上满足，延长交于点．    (1)直接写出和的度数（用含的式子表示）； (2)探究线段、、满足的等量关系，并证明； (3)若，为中点，连接．当最短时，直接写出此时的值． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)1 【分析】（1）利用等边三角形的性质可得，结合角的和差运算可得，再利用三角形的外角的性质可得； （2）连接，在上截取，连接．证明， 再证明，可得，，可得．再证明，可得，再结合线段的和差可得结论； （3）如图，过作于，连接，，则，证明，，求解，，结合当，重合时，最小，则最小，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，而， ∴， ∵， ∴； （2）； 证：连接，在上截取，连接． ∵点是点关于直线的对称点， ∴，． ∵， ∴， ∴，．    ∵为等边三角形， ∴，． 在与中 ∵，，， ∴， ∴，， ∴． ∵，，， ∴． 又∵， ∴ ∴， ∴． （3）如图，过作于， 连接，，则， ∵为的中点，， ∴， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∵，则， ∴， 当，重合时，最小，则最小， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 27．（2023八年级上·江苏·专题练习）等腰，，，点，分别在轴，轴的正半轴上．    (1)如图，求证：． (2)如图2，若，，求点的坐标． (3)如图3，点，，两点均在轴上，且，分别以，为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，的长度是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不变， 【分析】（1）根据同角的余角相等得出结论即可； （2）先过点作轴于，再判定，利用全等三角形的性质得到，，进而得出，即可得到点的坐标； （3）先过作，交轴于，再，得出，，然后根据点，，求得，最后判定，得出，即可求得． 【详解】（1）证明：如图1所示：   ，， ， ； （2）解：过点作轴于，如图所示：    ， 在和中， ， ， ，， ， 又点在第三象限， ； （3）解：的长度不会发生改变． 理由如下： 过作，交轴于，如图所示：    ， 等腰、等腰， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 点，， ，即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ，即的长度始终是． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$